高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省鹽城市五校聯盟2023-2024學年高一下學期第一次學情調研檢測（3月）數學試題一、單項選擇題：（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）1.化簡等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.2.在中，是的中點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，.故選：D.3.已知平面向量，且，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】由題意知，所以，解得，故A正確.故選：A.4.已知是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：由題意知，，為非零向量，當時，可得，故充分性滿足；必要性：當時，即，解得或，故必要性不滿足；所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確.故選：A.5.若是平面內的一組基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（）A B.2C. D.【答案】D【解析】A選項，，所以共線，不能作為基底；B選項，，所以共線，不能作為基底；C選項，，所以共線，不能作為基底；D選項，易知不共線，可以作為基底.故選：D.6.設，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，所以原式.故選：B.7.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，所以，所以，.故選：D.8.若函數在區間上有且僅有兩個零點，則實數的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知在區間上有且僅有兩個零點，當時，，則，解得，所以實數的最小值為，故C正確.故選：C.二、多項選擇題：（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）9.對于菱形ABCD，給出下列各式，其中結論正確的為（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】菱形中向量與的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結論正確，A結論錯誤；因為，，且，所以，即C結論正確；因為，，所以D結論正確.故選：BCD.10.在中，下列命題正確的是（）A.B.若，則為等腰三角形C.D.若，則為銳角三角形【答案】BC【解析】對于A，由向量的線性運算法則，可得，所以A錯誤；對于B，由，得，即，所以為等腰三角形，所以B正確；對于C，因為，所以C正確；對于D，在中，，則，可得A為銳角，但不能確定其它角是否是銳角，所以D錯誤．故選：BC.11.已知向量，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因為，所以，即，整理可得，再由，且，可得，所以，，A選項正確，D選項錯誤；，即向量，的夾角，故向量，共線且方向相反，所以，B選項正確；，C選項正確.故選：ABC.三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，計15分．不需要寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上．）12.若與反向，且，則＝________．【答案】2【解析】依題意，.故答案為：.13.已知為一個單位向量，與的夾角是，若在上的投影向量為，則________．【答案】4【解析】因為為一個單位向量，與的夾角是，所以，，又在上的投影向量為，即，所以，即，所以，則.故答案為：.14.如圖，正方形的邊長為，是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點，若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，存在這樣的點，使得，則的長度等于________．【答案】或【解析】如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系，則，設，，，，，，又，，由，解得，，由題得，①當點在上時，設，，；②當點在上時，設，∴，，舍去；③當點在上時，設，∴，，舍去；④當點在上時，設，∴，，綜上，存在，或者，.故答案為：或.四、解答題：（本大題共5小題，共77分，請在答題紙指定的區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.（1）已知向量與相等，其中，，求的值．（2）已知點，，且，求點的坐標.解：（1）因為，，所以，又，所以，解得.（2）因為，，所以，設，則，又，所以，所以，解得，所以.16.已知向量，，當k為何值時：（1）？（2）與的夾角是鈍角？解：（1）因為，所以，所以.（2）若與的夾角是鈍角，則，且，所以，且，所以取值范圍為且.17.如圖，在平面直角坐標系中，銳角，的終邊分別與單位圓交于，兩點，如果點的縱坐標為，點的橫坐標為.（1）求的值；（2）將繞原點順時針旋轉到，求點的坐標.解：（1）因為銳角，的終邊分別與單位圓交于，兩點，且點的縱坐標為，點的橫坐標為，所以，，則，，所以.（2）依題意可知所對應的角為，所以，，所以點的坐標為.18.已知向量和，則，，.求：（1）的值；（2）的值；（3）與的夾角θ的余弦值．解：（1）∵，，，∴.（2）∵，∴.（