高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省徐州市2025屆高三下學期2月調研測試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，若，則實數的取值構成的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得.當時，，滿足；當時，因為，所以或，解得或.故選：C.2.若復數（其中是虛數單位），則復數的共軛復數的模為A.1 B.C D.2【答案】B【解析】，故選B.3.已知命題：，為真命題，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為命題：，為真命題，所以不等式的解集為.若，則不等式可化為，解得，不等式解集不；若，則根據一元二次不等式解集的形式可知：，解得，綜上可知：，故選：D.4.下列說法中，正確的是（）A.一組數據的第70百分位數為13B.若樣本數據的方差為2，那么數據的方差為6C.已知隨機事件A和B互斥，且，，則D.某一組樣本數據為，則樣本數據落在區間內的頻率為【答案】ACD【解析】A選項，數據從小到大排列為，由，故第5個數作為第70百分位數，即13，A正確；B選項，樣本數據的方差為2，則數據方差為，所以B選項錯；C選項，因為A和B互斥，則，可得，所以，C正確；D選項，樣本數據落在區間有有4個，所以樣本數據落在區間內的頻率為，故選D；故選：ACD．5.設定義域為的單調函數，對任意，都有，若是方程的一個解，則可能存在的區間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，則，且，當時，，由函數在上為增函數，且得，，∴，故，由得，，設，則，，∴根據零點存在性定理可知在內存在零點，即.故選：B.6.若滿足條件的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據正弦定理可知，代入可求得因為滿足條件的△ABC有兩個，所以有兩個角即函數與函數的圖象有兩個交點，如下圖所示由圖可知，，所以故選：C7.在平面直角坐標系中，若圓上存在點，且點關于直線的對稱點在圓上，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圓的圓心為，設關于直線的對稱點為，所以，解得，關于直線的對稱點為，由題意得，以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點，所以，解得：.故選：B．8.如圖，直角的斜邊長為2，，且點分別在軸，軸正半軸上滑動，點在線段的右上方．設，（），記，，分別考查的所有運算結果，則A.有最小值，有最大值 B.有最大值，有最小值C.有最大值，有最大值 D.有最小值，有最小值【答案】B【解析】依題意，所以.設，則，所以，，所以，當時，取得最大值為.，所以，所以，當時，有最小值為.故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論中正確的有（）A.若為正實數，，則B.若a，b，m為正實數，，則C.若，則D.當時，的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，∵為正實數，，∴，故A正確；對于B，若為正實數，，則，則，故B錯誤；對于C，，若，則，故C正確；對于D，當時，根據基本不等式可得：，的最小值為，當且僅當時取等號，故D正確.故選：ACD10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.是偶函數 B.是周期函數C.關于直線對稱 D.當時，【答案】BCD【解析】A項，，，得，所以不是偶函數，故選項A錯誤；B項，，所以是以為周期的周期函數，故選項B正確；C項，，所以關于直線對稱，故選項C正確；D項，由關于直線對稱，只需看當時，是否成立.當時，，，，，所以，即；又因為，所以，所以，即，所以，故選項D正確.故選：BCD.11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點，點滿足，則下列結論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若的外心為，則為定值2C.若，則點的軌跡長度為D.若且，則存在點，使得的最小值為【答案】ACD【解析】A選項，在上分別取，使得，，因為，所以，因為，所以，即，故，即，所以三點共線，因為，，所以，故平面，故點為平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項，取的中點，因為的外心為，所以⊥，又題意得，則，B錯誤；C選項，取的中點，因為底面為菱形，，故⊥，以為坐標原點，以，分別為軸，建立空間直角坐標系，故，設，則，化簡得，點滿足，即點在正方形內，包括邊界，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內的部分，如圖所示：因為，，故，故為等腰直角三角形，，故點的軌跡長度為，C正確；D選項，若且，，即，即，又，，設，設，即，解得，即，，如圖所示，設，且⊥，⊥，在線段上取一點，設，則，故，顯然，直接連接，此時取得最小值，最小值即為，由勾股定理得，故的最小值為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某次調研測試中，考生成績X服從正態分布．若，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于90的概率為________．【答案】【解析】因考生成績服從正態分布，所以，故任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于90的概率為．故答案為：.13.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數，根據上述運算法則得出，共需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列滿足：（為正整數），，若，記數列的前項和為，則______．【答案】4725或4746【解析】由，得，或，若，則數列是周期數列，其周期為3，因此；若，則數列去掉前3項后是周期數列，其周期為3，因此.故答案為：4725或474614.如圖所示，由半橢圓和兩個半圓，組成曲線，其中點、分別是的上、下焦點和、的圓心.若過點、作兩條平行線、分別與、和、交于、和、，則的最小值為______.【答案】【解析】半圓的圓心為，半徑為，半圓的圓心為，半徑為，對于橢圓的焦距為，則，可得，所以，橢圓的方程為，如圖所示，設直線與橢圓另一個交點為，由橢圓的對稱性可知，點與點關于原點對稱，即點為線段、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，若的斜率不存在，則直線過點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，聯立可得，，由韋達定理可得，，所以，，故當時，取最小值，則的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求角的大小；（2）求且，求．解：（1）由正弦定理得，故，即，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，得，又∵為銳角三角形，∴，∴．∴，則，∴，∴．16.如圖所示的幾何體中，為三棱柱，平面，，四邊形為平行四邊形，，.（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.（1）證明：∵為三棱柱，且平面，，∴四邊形是正方形，.∵平面，∴，又∵，，∴，，∵，平面，∵平面，∴.∴平面.（2）解：∵，∴，，∴三棱錐的體積，.17.一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現三次音樂獲得150分，出現兩次音樂獲得100分，出現一次音樂獲得50分，沒有出現音樂則獲得-300分.設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立.（1）若一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為，求的最大值點；（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤游戲，出現音樂的盤數為隨機變量，求每盤游戲出現音樂的概率，及隨機變量的期望；（3）玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了.請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因.解：（1）由題可知,一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為：,由得或（舍）當時,；當時,,∴在上單調遞增,在上單調遞減,∴當時,有最大值,即的最大值點；（2）由（1）可知,則每盤游戲出現音樂的概率為由題可知∴；（3）由題可設每盤游戲的得分為隨機變量,則的可能值為-300,50,100,150；∴；；；；∴；令,則；所以在單調遞增；∴；即有；這說明每盤游戲平均得分是負分,由概率統計的相關知識可知：經過若干盤游戲后,與最初的分數相比,分數沒有增加反而會減少.18.已知橢圓短軸長為2，左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓C交于兩點，其中分別在軸上方和下方，，直線與直線交于點，直線與直線交于點（1）若的坐標為求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過點并垂直于軸的直線交C于點，橢圓上不同的兩點滿足成等差數列.求弦的中垂線在軸上的截距的取值范圍；（3）若，求實數的取值范圍.解：（1）橢圓短軸長為2，則有，故橢圓，，則為的中點，又為的中點，可知為的重心，則，故，代入橢圓方程得，解得，所以橢圓C的方程為；（2）由橢圓C的方程得，，，成等差數列，，設，AD中點，由弦長公式，=，，，同理，代入可得，①當AD斜率存在時，由，兩式作差可得，，∴，∴弦AD的中垂線方程為，當時，AD的中垂線在軸上的截距為，AD中點在橢圓C內，∴，得，且．②當AD斜率不存在時，AD的中垂線為軸，在軸上的截距為．∴綜上所述，即弦AD的中垂線在軸上的截距的取值范圍為.（3），則為的中點，為的中點，又為的中點，可知點分別為，的重心，設，，設點，，則根據重心性質及面積公式得，，而，∴，∴，∴，設，則，令，任取，有，時，，，，，即；時，，，，，即；則在上單調遞增，在上單調遞減，，，可得，即，設直線，則聯立橢圓方程得，消元化簡得，，∴，，∴，∴，則對任意的m恒成立，即，得，故實數a的取值范圍為．19.設數列的前n項和為，對一切，，點都在函數圖象上.（1）求，，，歸納數列的通項公式（不必證明）：（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為、、、、、、、、、…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成新的數列為，求的值；（3）設為數列的前n項積，若不等式對一切都成立，求a的取值范圍.解：（1）因為點在函數的圖象上，故，所以，令，得，所以，令，得，所以，令，得，所以，由此猜想：，當時，，且已知，，當時，，故，化簡整理得，當時，，兩式相減可得，結合，故數列是以4為首項，4為公差的等差數列，即，數列是以2為首項，4為公差的等差數列，即，故，經檢驗符合題意，且當時，，，故成立.（2）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為，，，；，，，；，…每一次循環記為一組，由于每一個循環含有4個括號，故是第25組中第4個括號內各數之和，由分