高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省宿遷市泗洪縣2023-2024學年高二下學期期中數學試題注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共6頁，包含單項選擇題（共8題）、多項選擇題（共3題）、填空題（共3題）、解答題（共5題），滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將答題卡交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、考試號等用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡的指定位置．3．作答題目必須用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關于x軸對稱的點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點坐標為.故選：C.2.已知向量，且，則x的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】根據可得存在實數滿足，即，即可得，解得.故選：D.3.某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（）A.24種 B.10種 C.9種 D.15種【答案】D【解析】依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有中選擇；所以共有種選擇.故選：D.4.已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】因為空間單位向量兩兩垂直,所以，所以.故選：A.5.已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點，F在AC上，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：取，，為基底，則，，所以.又，.所以.故選：C.6.數學與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當中都蘊含了一個美麗的數學模型Fibonacci（斐波那契數列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，這個數列前兩項都是1，從第三項起，每一項都等于前面兩項之和，請你結合斐波那契數列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共6級臺階，小明每步可以上一級或二級，請問小明的不同走法種數是（）A.20 B.13 C.12 D.15【答案】B【解析】設級臺階的走法為，則，（走法有每步上一級或一步二級，共2種走法），當時，（可以從第級臺階跨一級到達第級，或從第級臺階跨二級到達第級）.所以：，，，.故選：B.7.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側面是正方形，且，，，若P是與的交點，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中,四邊形是平行四邊形,側面是正方形,又是的交點,所以是的中點,因為,,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以異面直線與的夾角的余弦值為.故選：A.8.已知正方體的棱長為2，球是正方體的內切球，點是內切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取中點為，因為，，所以，又，則，又正方體棱長為2，則正方體的內切球半徑為1，則，，所以，所以，所以當，反向時，，有最小值為；當，同向時，，有最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小愿，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知，則B.已知，則C.4個人排成一排，則甲不站首尾的排法有12種D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，則甲、乙兩人不相鄰共有12種排法【答案】ACD【解析】對A：由，且，解得，故A正確；對B：由或解得或，故B錯誤；對C：先排甲，有2種排法，再排其余3人，有種排法，故滿足條件的排法有：種.故C正確；對D：先排丙、丁兩人，有種排法，出現3個空，再排甲、乙兩人，有種排法，故滿足條件的排法有：種.故D正確.故選：ACD.10.已知，，若隨機事件A，B相互獨立，則（）A B. C. D.【答案】BC【解析】隨機事件A，B相互獨立，，，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC.11.已知展開式中共有8項．則該展開式結論正確的是（）A.所有項的二項式系數和為128 B.所有項的系數和為1C.系數最大項為第4項 D.有理項共有4項【答案】AD【解析】因為的展開式共有8項，所以.所以所有項的二項式系數和為，故A正確；對B：令，可得所有項的系數和為，故B錯誤；因為二項展開式的通項公式為：.對C：設，由，所以第3項的系數最大，故C錯誤；對D：由為整數，且可得，的值可以為：，所以二項展開式中，有理項共有4項，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.展開式中，x的一次項的系數為______．【答案】4【解析】因為的展開通項公式為，所以的一次項的系數為.13.已知，，，若向量與垂直（O為坐標原點），則x等于______．【答案】【解析】，，向量與垂直，，．14.設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，則的一個可能的值為______．【答案】（答案不唯一，在內均可）【解析】因為A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，；當A，B互斥時，，當事件B包含事件A時，；所以可得，即，因此的一個可能的值為.（答案不唯一，在內均可）四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖所示，在空間四邊形中，與成角，與成角，與成角，且，為的中點，為的中點，試求，間的距離．解：以，，為基底，則，.又，所以，所以，即，間的距離為3.16.某快遞中轉站有甲、乙、丙三個快遞員，已知各快遞員運送量分別占該中轉站業(yè)務量的25%，35%，40%，據統(tǒng)計各業(yè)務員被客戶評為滿意的依次為5%，4%，2%．現從該中轉站隨機運送一件快遞．（1）求客戶滿意的概率；（2）若客戶滿意，則本次滿意是甲、乙、丙的概率分別是多少？解：（1）從該中轉站隨機運送一件快遞，是甲運送且被客戶評為滿意的概率為：；從該中轉站隨機運送一件快遞，是乙運送且被客戶評為滿意的概率為：；從該中轉站隨機運送一件快遞，是丙運送且被客戶評為滿意的概率為：.所以從該中轉站隨機運送一件快遞，客戶滿意的概率為：.（2）設“客戶滿意”為事件，此快遞由甲，乙，丙運送分別記為事件，則客戶滿意且是甲運送的概率為：,客戶滿意且是乙運送的概率為：,客戶滿意且是丙運送的概率為：.17.如圖所示：多面體中，四邊形為菱形，四邊形為直角梯形，且，平面，．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的余弦值．解：（1）因為平面，平面，所以；又底面為菱形，所以；又，平面，所以平面.（2）如圖：設，取的中點，連接，則，所以平面.故可以以為原點，建立如圖空間直角坐標系.因為為直線與平面所成的角，所以.又,所以O0,0,0，，，，，則，.設平面的法向量為，則，取.又為平面的法向量，設平面與平面所成的角為，則.18.高考結束后，甲、乙兩同學決定各購置一部手機，經了解，目前市場上銷售的主流國產手機有：華為、小米、、等；甲從華為、、中挑選，乙從，中挑選，甲、乙二人選擇各類型手機的概率如下表：華為甲乙0若甲、乙都選概率為.（1）求，的值；（2）求甲、乙選擇不同手機的概率；（3）某手機市場舉辦購買手機進行打折活動，活動標準如下表：手機華為補貼金額（百元部）354記甲、乙兩人購手機所獲得的補貼和為元，求的分布列.解：（1）由題表中數據及題意，得，所以，又因為，所以；（2）設甲、乙選擇不同手機為事件，則；（3）根據題意，的可能取值為700，800，900，1000，則，，，，