高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省無錫市江陰市三校2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計40分）1.物體運動的方程為，則時的瞬時速度為（）A.5 B.25 C.125 D.625【答案】C【解析】物體運動的方程為，則，代入，得時的瞬時速度為.故選：C2.某同學逛書店，發現3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A.4種 B.6種 C.7種 D.9種【答案】A【解析】買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；因此共有方案(種)．故選：A.3.若函數，則函數的單調遞減區間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數，定義域為，，令，解得，則函數的單調遞減區間為.故選：C.4.已知函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，所以，又，故曲線在點處的切線的方程為，即.故選：A.5.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得．因為，所以．故選：C．6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個不同景錄點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽的不同的方法，其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，即可求解概率.詳析：由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽，共有中不同的方法，其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，所以所求概率為，故選D.7.已知，則的大關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，則，當時，，在上遞增；當時，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.8.若函數，在其定義域上只有一個零點，則整數a的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】根據指數函數性質在上單調遞增，故當時，則在上單調遞增，，根據零點存在定理，在存在唯一零點，則當時，無零點時，，令，則，時，則；在上單調遞減，在上單調遞增，于是時，有最小值依題意，，解得，所以最小整數為故選：C二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計18分）9.關于，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】令，則，即，故A正確；令，則，即，所以，故B錯誤；根據二項式展開式的通項公式：，故C錯誤；令，則，令，則，兩式相加可得，①兩式相減可得，②②①可得，所以，故D正確.故選：AD10.下列正確的是（）A.由數字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復數字的三位數B.由數字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復數字的三位偶數C.由數字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼D.由數字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數【答案】ACD【解析】由數字1，2，3，4能夠組成沒有重復數字的三位數有個，故A正確；若三個數是偶數，則個位可以是2，4，則共有沒有重復數字有個，故B錯誤；數字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個，故C正確；若三位數比320大，則百位是4時，有個，若百位是3，則十位可以是2，3，4時，個位可以是1，2，3，4，共有個，則比320大的三位數有個，故D正確．故選：ACD．11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.函數有極小值B.函數在處切線的斜率為4C.當時，恰有三個實根D.若時，，則的最小值為2【答案】AD【解析】由題意可得：，令，解得；令，解得或；則在上單調遞減，在上單調遞增，可知的極大值為，極小值為，且當x趨近于，趨近于，當x趨近于，趨近于，可得的圖象如下：對于選項A：可知極小值為，故A正確；對于選項B：因為，所以函數在處切線的斜率為，故B錯誤；對于選項C：對于方程根的個數，等價于函數與的交點個數，由圖象可知：時，恰有三個實根，故C錯誤；對于選項D：若時，，則，所以的最小值為2，故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計15分）12.計算：___________.（用數字作答）【答案】65【解析】因為，所以.故答案為：6513.已知隨機變量的分布列如下，則______.【答案】9【解析】，，所以.故答案為：.14.已知函數，若關于的方程恰有個不同實數根，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】當時，，則，令，解得，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，根據題意可作出圖象如下：若關于的方程恰有4個不同實數根，令，，則有兩個不等實數根，故與都有2個交點，或者與有1個交點，與有3個交點；當與都有2個交點，根據圖象可得，不滿足，舍去；當與有1個交點，與有3個交點，則，當時，，解得，故，解得或，舍去；故，兩個實數根的范圍為，所以，解得，所以實數的取值范圍為．故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，計77分）15.已知函數，當時，取得極值．（1）求的解析式；（2）求在區間上的最值．解：（1）依題意可得，又當時，取得極值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當變化時，的變化情況如下表所示：單調遞增單調遞減單調遞增因此，在區間上，的最小值為，最大值為.16.已知在的展開式中，前3項的系數成等差數列，求：（1）展開式中二項式系數最大的項；（2）展開式中系數最大的項．解：（1）的展開式的通項為，（，1，…，n），因為前3項系數成等差數列，所以，化簡得，解得或（舍）．展開式共有9項，二項式系數最大的項為.（2）由（1）知，展開式的通項為，（，1，…，8），設第項的系數最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項與第4項系數最大，即和.17.“國家反詐中心”APP集合報案助手、舉報線索、風險查詢、詐騙預警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰艦”.2021年該APP于各大官方應用平臺正式上線，某地組織全體村民下載注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機抽取其中100份問卷，統計測試得分（滿分100分），將數據按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數據用該組數據區間的中點值代替）；（2）若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強”．現從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強”的人數為X，求X的分布列和數學期望．解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．100份問卷的平均分為：（分）．（2）從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識差”的人數為，“防范意識強”的人數為．則的所有可能的值為0，1，2．則，，，故的分布列為012.18.6位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.（1）6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？（2）若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？（3）若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？解：（1）根據題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進行排列，再把丙丁插空進行排列，所以共有.（2）先分為4組，則按人數可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個項目，即可得共有；（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項目共有種，同學乙參加項目共有種；甲參加項目同時乙參加項目共有種，根據題意減去不滿足題意的情況共有種.19.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若函數存在單調遞減區間，求實數b的取值范圍；（3）設是函數的兩個極值點，證明：.解：（1），定義域為，當時，，當時，，當時，在上遞增，上遞減；當時，，若，即時，，所以在上單調遞增；若，即時，令，得，當或時，，當時，，∴在上遞增，在上遞減，當時，時，，當時，，∴在上遞增，上遞減，綜上所述，當時，在上遞增，上遞減；當時，在上單調遞增；當時，在上遞增，在上