高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省南通市區部分高中2024-2025學年高二下學期3月質量檢測數學試卷一、單選題：本題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以；故選：A2.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A.140種 B.120種 C.35種 D.34種【答案】D【解析】由題意得：選出4人參會，總的選法共有種，選出4人均為男生的選法有種，則4人中既有男生又有女生的選法共有種，故選：D.3.在二項式的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數項為 B.各項的系數和為64C.第3項的二項式系數最大 D.奇數項二項式系數和為【答案】A【解析】對于A，展開式通項為，當時，常數項為，選項A正確；對于B，令，得各項的系數和為，選項B錯誤；對于C，展開式共7項，二項式系數最大應為第4項，故選項C錯誤；對于D，依題意奇數項二項式系數和為，選項D錯誤.故選：A.4.棱長為2的正四面體ABCD中，點E是AD的中點，則（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】，所以．故選：A．5.甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相鄰的情況有：所有排列為：,甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的情況有：,所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為，故選：C6.在一個口袋中裝有大小和質地均相同的5個白球和3個黃球，第一次從中隨機摸出一個球，觀察其顏色后放回，同時在袋中加入兩個與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機摸出一個球，則此次摸出的是黃球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設事件為第一次從中隨機摸出一個球的顏色為白色，事件為第二次再從中隨機摸出一個球是黃球，則.故選：B.7.已知，若，則（）A. B. C.15 D.35【答案】A【解析】令，可得，解得，，展開式中的系數為.故選：A.8.設二項式（）展開式的二項式系數和與各項系數和分別為，，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】由于二項式（）展開式的二項式系數和與各項系數和分別為，，則，，所以，故選:C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全都選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.被7除后的余數為5B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是C.已知，則D.從一批含有10件正品、4件次品的產品中任取3件，則取得2件次品的概率為【答案】BC【解析】對于A：由于，所以，所以，即被7除后的余數為2，故A錯誤；對于B：兩位男生和兩位女生隨機排成一列共有種排法，兩位女生不相鄰的排法有，則兩位女生不相鄰的概率為，故B正確；對于C：由可得，解得，故C正確；對于D：從一批含有10件正品、4件次品的產品中任取3件，共有種取法，取得2件次品共有，則取得2件次品的概率為，故D錯誤.故選：BC.10.已知，.若隨機事件A，B相互獨立，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對B，，B正確；對A，，，A錯誤；對C，，，C正確；對D，，D正確.故選：BCD.11.正方體的棱長為2，為的中點，則（）A. B.與所成角余弦值為C.面與面所成角正弦值為 D.與面的距離為【答案】AD【解析】根據題意建立如圖所示的空間直角坐標系正方體的棱長為2，易求、、、、、、、、.選項A：因為，，所以所以，故A正確.選項B：因為，，所以，設異面直線和所成的角為，則：，故B不正確.選項C：易求平面的法向量.設平面的法向量為，易求,，由，令，則.設平面與平面所成角為，則,，即，故選項C不正確.選項D：因為平面的法向量為，，設到平面的距離為，向量與法向量的夾角為，則：,故選項D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.在的二項式中，所有的二項式系數之和為256，則常數項等于________．【答案】252【解析】∵在的二項式中，所有的二項式系數之和為256，∴，解得，∴中，，∴當，即時，常數項為．故答案為：252．13.已知展開式中所有奇數項的二項式系數和為64，現將展開式中的各項重新排列，則有理項互不相鄰的概率為_______.【答案】【解析】依題意，，解得，因此二項式的展開式共8項，展開式的通項為，當時，是有理項，則展開式的有理項共4項，所以將展開式中的各項重新排列，其中有理項互不相鄰的概率.故答案為：14.某單位4男3女參加鄉村振興工作，這7人將被派駐到A，B，C3個鄉村進行鄉村振興工作(每個鄉村至少派駐1人)．若只考慮3個鄉村的名額分配，則有________種不同的名額分配方式；若每個鄉村至少派駐1男1女兩位工作人員，且男性甲必須派駐到A鄉村，則有_______種不同的派駐方式．(用數字填寫答案)【答案】15；72.【解析】第一空，隔板法，將7個名額排成一排，在除去兩端的6個空位中選擇2個空位插入隔板，共有種分配方式；第二空，先將3女分配到3個鄉村，有種，再將4男分成3組，有種，將有男性甲的一組分配到A鄉村有1種，然后將剩余兩組分配到其他兩個鄉村，有種分法，所以共有種分配方式.故答案為：15；72.四、解答題．本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟．15.6位同學報名參加2022年杭州里運會4個不同的項目（記為A，B，C，D）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目．（1）6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種?（2）若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式?解：（1）根據題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外兩位同學排列有種排法，第二步：再把丙丁插空排列有種排法，所以共有種排法；（2）先將6為同學分成4組，按人數分有和種分法：第一類：按分法有種分法；第二類：按分法有種分法；所以共有：種分法.所以一共有種不同報名方式.16.已知在的展開式中滿足，且常數項為，求：（1）二項式系數最大的項（2）系數絕對值最大的是第幾項（3）從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項，求共有多少種不同的取法．解：（1）根據展開式的通項可得令，解得即時，常數項，解得所以二項式系數最大的項（2）系數絕對值最大的項等價于系數最大的項；設第項系數最大，則即，又，所以，即第8項系數最大，也即展開式中第8項系數絕對值最大.（3）令，，解得，即展開式中有理項共有6項，無理項有5項；所以從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項的取法共有種；17.甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，丙袋中有4個白球和4個紅球.先隨機取一只袋，再從該袋中先后隨機取2個球．（1）求第一次取出的球為紅球的概率；（2）求第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．解：（1）設第一次取出的球為紅球為事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋為事件，，，則，由全概率公式可得：（2）設第二次取出的球是白球為事件，由全概率公式可得：，所以18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，，面ABCD，E、F分別為PA、AB的中點，直線AC與DF相交于O點．（1）證明：平面DEF；（2）求直線PC與平面DEF所成角的正弦值；（3）求二面角A-EO-D的余弦值.解：（1）以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，設平面DEF的法向量為，，，∵，，∴，取；又，∴，∴，面DEF，所以平面DEF.（2）∵，∴，設直線PC與平面DEF所成角為，則.（3），，，，，