高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省南京市五校共同體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知點(diǎn)，則與向量方向相反的單位向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由點(diǎn)，可得，且，則與向量方向相反的單位向量.故選：B.2.計(jì)算的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C.8 D.40【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄浚瑵M足，，，所以，則.故選：B．4.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（）A.－8 B.8 C.6 D.－6【答案】A【解析】由已知得，三點(diǎn)A，B，D共線，存在實(shí)數(shù)使，，，解得.故選：A.5.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.鈍角三角形【答案】D【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫忠驗(yàn)椋傻茫裕驗(yàn)椋傻茫裕忠驗(yàn)椋裕詾殁g角三角形.故選：D.6.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，，，，.故選：B.7.在中，，，為線段上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，∵三點(diǎn)共線，∴，故，∴.∵，∴，∵，，，∴.故選：B.8.已知，且，則有（）A.最大值 B.最小值C.取不到最大值和最小值 D.以上均不正確【答案】D【解析】由可得：，展開得：，即（*），因且，故，由（*）可得：.由，因，則，由，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，時(shí)，等號(hào)成立，故時(shí)，有最大值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BC【解析】對(duì)于A：，則，故三角形有2個(gè)解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：三角形三邊確定，三角形唯一，故B正確；對(duì)于C：由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以能唯一確定三角形，故C正確；對(duì)于D：由余弦定理得，所以，，方程無解，所以無法構(gòu)成三角形，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.與共線 B.與的夾角余弦值為C.向量在向量上的投影向量為 D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，，又，，與不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，又，，故B正確；對(duì)于C，向量在向量上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故D正確.故選：BD.11.已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的取值范圍是B.若D是AC邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值為C.若三角形是銳角三角形，則的取值范圍是D.若O是的外心，，則【答案】BCD【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫砜傻茫捎嘞叶ɡ砜傻茫矗遥?對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋遥瑒t，可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的面積的最大值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋忠驗(yàn)椋獾茫傻茫瑒t，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因，則，可知點(diǎn)在優(yōu)弧上（端點(diǎn)除外），因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋遥傻茫矗忠驗(yàn)椋矗獾茫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．【答案】【解析】由，得．又與的夾角為鈍角，∴，得，若，則，即．當(dāng)時(shí)，與共線且反向，不合題意．綜上，k的取值范圍為.13.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為___________.【答案】18【解析】在中，由的平分線交于點(diǎn)，得，而且，則，化簡(jiǎn)得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為18.14.已知，函數(shù)，，在上單調(diào)，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】因?yàn)椋驗(yàn)椋?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因?yàn)椋瑒t．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，.（1）若與垂直，求實(shí)數(shù)值；（2）若與方向相同，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）已知，展開可得.因?yàn)椋裕瑒t，解得.因?yàn)榕c垂直，所以.展開可得：，將，，代入上式可得：，化簡(jiǎn)得，解得.（2）因?yàn)榕c方向相同，所以與共線.則存在實(shí)數(shù)，使得，即.由此可得方程組，將代入可得：，即，，解得.因?yàn)椋裕瑒t.16.已知，函數(shù).（1）若，求函數(shù)最值及對(duì)應(yīng)的的值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?==，∵x∈，∴，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，.（2）方法一：∵），，故的取值范圍為.方法二：∵），，故的取值范圍是.17.在①，②，且，③，三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角所對(duì)的邊分別.已知______．（1）求角的大小；（2）若是的中點(diǎn)，，求面積的最大值．解：（1）選擇條件①：∵，∴，由余弦定理得，∵，∴.選擇條件②：∵，，，∴，故，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，即.選擇條件③：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴.（2）∵是的中點(diǎn)，∴，即，∴，即，∴，∵，∴，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴面積，即面積的最大值為.18.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，，為等邊三角形，記，.（1）若，求的面積；（2）證明：；（3）若，求面積的取值范圍.解：（1）在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，記，在中，由余弦定理，，所以，則，所以，又因?yàn)榈冗吶切危裕遥裕瑒t的面積為.（2）在中，由正弦定理可得，即且，由于，故，由于三角形中，，因此，得證.（3）在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，，設(shè)，在中，由余弦定理，，，在中，由正弦定理，，即，所以，結(jié)合，，又因?yàn)椋裕裕吹拿娣e的取值范圍為．19.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系.在仿射坐標(biāo)系中，若，記.（1）在仿射坐標(biāo)系中.①若，求；②若，且，的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，B，C