高級中學名校試題PAGEPAGE1吉林省吉林市普通高中2025屆高三第三次模擬測試數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設，則（）A. B. C. D.，或【答案】A【解析】∵，∴，∴.故選：A2.如圖，在圓中，已知弦的長度為2，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】過點作，則，所以，所以，故選：B.3.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】已知點在拋物線上，可得，解得.在拋物線中，焦點的坐標為，準線方程為.由拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離.所以點到準線的距離為，即.故選：B.4.若是兩條直線，是兩個平面，且．設，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，由線面平行性質定理可得，充分性成立；若，，由線面平行的判定定理可得，必要性成立.所以是的充要條件.故選：C5.若函數（且）在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是由，復合而成，由題意知：，在區間上單調遞增，若函數（其中且）在區間上單調遞減，所以單調遞減，可得：,又對于恒成立，所以，解得：，綜上所述：.故選：A6.棱長為2的正方體中，棱的中點為，棱的中點為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設的外心，由外心的定義可知，為線段的四等分點（靠近），則球心在過且與平面垂直的直線上．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設球心，由，求出，從而求出，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.7.已知正實數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，則，當時，，當時，，故在上遞增，在上遞減，故，所以，故，故，故的圖像在的下方.∵∴，如圖，為函數與函數圖象交點的橫坐標，為函數與函數圖象交點的橫坐標，為函數與函數圖象交點的橫坐標，由圖知，，而，由為增函數得，故，故A，B選項錯誤.由得，．∵與的圖象關于直線對稱，∴點和關于對稱，且，，∴且，∴，故C選項錯誤.∵，∴，故D選項正確．故選：D.8.以“冰雪同夢亞洲同心”為主題的第九屆亞冬會于2025年2月7日在哈爾濱盛大開幕，場館上方懸掛的120萬朵小雪花片裝置，讓觀眾仿佛置身于冰雪童話之中．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”．它可以這樣畫：如圖，畫一個邊長為1的正三角形，第一步，把每一邊三等分；第二步，取三等分后的一邊中間的一段，以此為邊向外作正三角形，并把這中間的一段擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，形成雪花曲線，記雪花曲線的周長為，則數列的最大項為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于初始的正三角形，邊長，周長,由構造規則可知，從到，每一條邊都變為原來的倍.因為有3條邊，的邊數是條，且每條邊長度為，所以.從到，同樣每一條邊變為原來的倍，的邊數是條，每條邊長度為，所以.以此類推，可得,代入可得：,令,則,則,令，解得,令，解得.所以，.故選：B二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在的展開式中，則（）A.各二項式系數的和是32 B.各項系數的和是1C.二項式系數最大的項是第3項 D.的系數是40【答案】AB【解析】關于的展開式，其通項為：對于選項A：展開式中二項式系數之和，故A正確；對于選項B：利用賦值法的應用，當時，各項的系數的和為，故B正確；對于選項C：展開式共有6項，其中二項式系數最大的項為第3和第4項，故C錯誤；對于選項D：由通項：，令，可得，所以展開式中的系數為.故D錯誤.故選：AB.10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.的周期為B.的圖象關于對稱C.在上恰有3個零點D.若在上單調遞增，則的最大值為【答案】ABD【解析】①當時，，②當時，，③當時，，④當時，，因此，，.所以函數的圖象，如圖所示：A選項：因為，所以的周期為，故A正確；B選項：因，所以的圖象關于對稱，故B正確；C選項：由的函數解析式以及函數圖像可知：當時，，當時，，當時，，所以在上有無數個零點，故C錯誤；D選項：由，，得，因為在上單調遞增，所以由的圖象可知，解得，則的最大值為，故D正確；故選：ABD.11.牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程根的一種解法——牛頓法．具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，在橫坐標為的點處作的切線與軸交點的橫坐標為；用代替重復上面過程得到；一直進行下去，得到，使得當很大時，很小，我們可以把的值作為的近似值．已知函數是函數的一個零點，取，則下列說法正確的是（）A.切線的方程為 B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】，，，所以切線的方程為，故A正確；令，得，，，所以，令，有，故B錯誤；在橫坐標為的點處的切線斜率為，所以在橫坐標為的點處的切線方程為，令，則，故C正確；因為在上恒成立，所以在上單調遞增．，則．由零點存在性定理可知，在上存在唯一零點，且．，則．．要證，只需證，只需證，即證，，成立．，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.12.已知，則_____．【答案】【解析】根據題意，，可得.將其代入中，得到.進行通分，即.則，所以.則.故答案為：.13.已知復數滿足，復數滿足，則的最小值為_____．【答案】【解析】設，由得，∴，整理得，∴復數在復平面內對應的點的軌跡為直線.設，則，由得，，即，∴復數在復平面內對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，∵表示復平面內與所對應的點之間的距離，圓心到直線的距離為，∴的最小值為.故答案為：.14.雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過右支上一點作雙曲線的切線與軸交于點，設為的內心，且，則_____，_____．【答案】①.②.【解析】由雙曲線的光學性質有：是角的角平分線，由角平分線定理可知，，由雙曲線定義可知，在中，由余弦定理可得，，，連接為內心，是的角平分線，在中，由角平分線定理可知．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數列的公差，且滿足，，記是數列的前項和，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．解：（1）由題意得，解得或（舍），，即數列的通項公式是；（2）①，當時，，得，當時，②，由①②得，，化簡得，，即，數列是以為首項，為公比的等比數列，，，．16.DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學習的決心．DeepSeek主要功能為內容生成、數據分析與可視化、代碼輔助、多模態融合、自主智能體等，在金融領域、醫療健康、智能制造、教育領域等多個領域都有廣泛的應用場景．為提高DeepSeek的應用能力，某公司組織A，B兩部門的50名員工參加DeepSeek培訓．（1）此次DeepSeek培訓的員工中共有6名部門領導參加，恰有3人來自部門．從這6名部門領導中隨機選取2人，記表示選取的2人中來自部門的人數，求的分布列和數學期望；（2）此次DeepSeek培訓分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，每輪培訓結果相互獨立，至少兩輪培訓達到“優秀”的員工才能合格．（ⅰ）求每位員工經過培訓合格的概率；（ⅱ）經過預測，開展DeepSeek培訓后，合格的員工每人每年平均為公司創造利潤30萬元，不合格的員工每人每年平均為公司創造利潤20萬元，且公司需每年平均為每位參加培訓的員工支付3萬元的其他成本和費用．試估計該公司兩部門培訓后的年利潤（公司年利潤員工創造的利潤-其他成本和費用）．解：（1）的所有可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布．的分布列為012的數學期望．（2）（ⅰ）記“每位員工經過培訓合格”，“每位員工第輪培訓達到優秀”（），，根據概率加法公式和事件相互獨立定義得，．即每位員工經過培訓合格的概率為．（ⅱ）記兩部門開展DeepSeek培訓后合格的人數為，則，，則（萬元）即估計兩部門的員工參加DeepSeek培訓后為公司創造的年利潤為1100萬元．17.已知橢圓離心率為，且過點．（1）求橢圓的標準方程：（2）已知，為橢圓上異于點兩點，且，，點為垂足，求證：直線過定點；并判斷是否存在定點，使得為定值．若存在，求出定值；若不存在，請說明理由．解：（1），即橢圓的標準方程為．（2）（法一）由題可知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，設，由消去，得．，，，，化簡得，或（舍），即直線過定點．（注：此處亦可按如下方法求）設為的中點，即．若與不重合，則是的斜邊，；若與重合，則．綜上所述，存在定點，使得為定值．（法二）1.當直線斜率不存在時，設，，，解得，不符題意（舍），或，符合題意．直線過點．2.當直線斜率存在時，設直線的方程為，設，由消去，得．．，．，．化簡得：，或．當時，，此時直線過點，不符題意，舍去：當時，，此時直線過定點．綜上所述，直線過定點．設為的中點，即．若與不重合，則是的斜邊，；若與重合，則．綜上所述，存在定點，使得為定值．18.如圖，直四棱柱中，是邊長為的等邊三角形，，棱的中點為．（1）求證：平面；（2）矩形以邊所在直線為旋轉軸，逆時針旋轉．至矩形，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1）證明：中，由正弦定理得，即，故，又．又為正三角形，．又平面平面．又平面平面．（2）解：以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，．，．設平面的法向量為，則取．設直線與平面所成角為，則．令，則，當且僅當時取等號．故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．19.函數在處的階帕德逼近定義為：，且滿足（其中）．已知函數在處的階帕德逼近．（1）求；（2）比較與