高中PAGE1試題2023-2024學年北京市海淀區中關村中學高一（下）期中數學試卷一、本部分共10題，每題4分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出最符合題目要求的一項。1．（4分）已知角α的終邊經過點P（﹣1，2），則sinα＝（）A．?55 B．255 2．（4分）已知向量a→=（1，t），b→=（﹣2，1），若a→A．﹣2 B．?12 C．2 3．（4分）下列函數的最小正周期為π且為奇函數的是（）A．y＝cos2x B．y＝tan2x C．y＝|sinx| D．y＝cos（π2+24．（4分）要得到函數y＝sin2x的圖象，只需將函數y=sin(2x+πA．向左平移π4個單位 B．向右平移π4C．向左平移π8個單位 D．向右平移π5．（4分）已知扇形的圓心角為2rad，所對的弦長為4，則扇形的面積為（）A．2sin1 B．4sin21 C．2sin1 D．6．（4分）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則AF→A．34AB→+14AD→ 7．（4分）“sinθ+tanθ＞0”是“θ為第一或第三象限角”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）在△ABC中，AD→=32DC→，P是直線A．15 B．25 C．359．（4分）數學與音樂有著緊密的關聯，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復合音．如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應的函數解析式可以為（）A．y=sinx+1B．y=sinx?1C．y=sinx+1D．y=cosx+10．（4分）已知函數f（x）＝|sinx+a|，給出下列四個結論：①對任意a∈R，函數f（x）的最大值與最小值，之差為2；②存在a∈R，使得對任意x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2a；③當a≠0時，對任意非零實數x，f(x+π④當a＝0時，存在T∈（0，π），存在x0∈R，使得對任意n∈Z都有f（x0）＝f（x0+nT）．其中正確的是（）A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知θ為第三象限角，且sinθ=?23，則cosθ＝，sin（θ+π）＝12．（5分）已知O為坐標原點，A（3，﹣6），B（﹣5，2），OC→=12（OA→13．（5分）若tanα＝2，則sinαsinα+2cosα=14．（5分）已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示．①函數f（x）的最小正周期為；②將函數f（x）的圖象向左平移t（t＞0）個單位長度，得到函數g（x）的圖象．若函數g（x）為偶函數，則t的最小值是．15．（5分）f(x)=cos(ωx+π4)(ω＞0)①ω的取值范圍是[9②f（x）的最小正周期可能是23③f（x）在區間[0，π④f（x）在區間（0，π）上有且僅有3條對稱軸；其中所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（15分）已知A（﹣2，1），B（2，0），D（0，3），且BC→=AD→，AC與（1）求點C和點P的坐標；（2）求|AC17．（15分）設a→（1）若AB→=2a→?b→，BC（2）若8a→+kb→與k18．（15分）已知函數f(x)=2sin(2x?π（1）某同學利用五點法畫函數f（x）在區間[π（2）已知函數g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．①若函數g（x）的最小正周期為2π3，求g（x②若函數g（x）在[0，π3]xπ65π1211π127π62x?π0π3π22πf（x）020019．（14分）已知函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一個對稱中心到其相鄰的對稱軸的距離為π3，且圖像上一個最低點為M(（1）求f（x）的解析式；（2）若當x∈(π3，π)時方程f（x）+m20．（13分）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．位于濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設置有36個座艙．游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當到達最高點距地面145米時大約需要15分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．（1）經過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數關系式滿足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)，求摩天輪轉動一周的解析式H（2）游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達到52米？（3）若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔5個座艙，從游客甲坐上摩天輪后開始計時，多長時間游客乙和游客甲距離地面的高度首次恰好相同？21．（13分）對于分別定義在D1，D2上的函數f（x），g（x）以及實數k，若存在x1∈D1，x2∈D2使得f（x1）﹣g（x2）＝k，則稱函數f（x）與g（x）具有關系M（k）．（1）若f（x）＝cosx，x∈[0，π]；g（x）＝sinx，x∈[0，π]，判斷f（x）與g（x）是否具有關系M（﹣2），并說明理由；（2）若f（x）＝2sinx，f（x）＝2sinx與g（x）＝2cos2x+sinx﹣1具有關系M（k），求k的取值范圍；（3）已知a＞0，h（x）為定義在R上的奇函數，且滿足：①在[0，2a]上，當且僅當x=a2時，h（②對任意x∈R，有h（a+x）＝﹣h（a﹣x）．判斷f（x）＝sin2πx+h（x）與g（x）＝h（x）﹣cos2πx是否具有關系M（4），并說明理由．

2023-2024學年北京市海淀區中關村中學高一（下）期中數學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案BBDDDDCBAD一、本部分共10題，每題4分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出最符合題目要求的一項。1．（4分）已知角α的終邊經過點P（﹣1，2），則sinα＝（）A．?55 B．255 【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義，求得sinα的值．【解答】解：角α的終邊經過點P（﹣1，2），則sinα=2故選：B．【點評】本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題．2．（4分）已知向量a→=（1，t），b→=（﹣2，1），若a→A．﹣2 B．?12 C．2 【分析】利用向量平行的條件直接求解．【解答】解：∵向量a→=（1，t），b→=（﹣2，1），∴1?2解得t=?1故選：B．【點評】本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量平行的性質的合理運用．3．（4分）下列函數的最小正周期為π且為奇函數的是（）A．y＝cos2x B．y＝tan2x C．y＝|sinx| D．y＝cos（π2+2【分析】結合正弦函數，余弦函數，正切函數的周期性及奇偶性分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：A：y＝cos2x為偶函數，不符合題意；B：y＝tan2x的最小正周期T=πC：y＝|sinx|為偶函數，不符合題意；D：y＝cos（2x+π2）＝﹣sin2x為奇函數，且T=故選：D．【點評】本題主要考查了三角函數的奇偶性及周期性的判斷，屬于基礎題．4．（4分）要得到函數y＝sin2x的圖象，只需將函數y=sin(2x+πA．向左平移π4個單位 B．向右平移π4C．向左平移π8個單位 D．向右平移π【分析】先把y＝sin（2x+π4）整理為sin2（x【解答】解：因為：y＝sin（2x+π4）＝sin2（x根據函數圖象的平移規律可得：須把函數y＝sin2（x+π8）相右平移π8個單位得到函數y故選：D．【點評】本題主要考查三角函數的平移．三角函數的平移原則為左加右減上加下減．5．（4分）已知扇形的圓心角為2rad，所對的弦長為4，則扇形的面積為（）A．2sin1 B．4sin21 C．2sin1 D．【分析】先求出扇形的半徑，再結合扇形的面積公式，即可求解．【解答】解：扇形的圓心角為2rad，所對的弦長為4，則sin1=2r，即r故扇形的面積為12故選：D．【點評】本題主要考查扇形的面積公式，屬于基礎題．6．（4分）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則AF→A．34AB→+14AD→ 【分析】根據題意得：AF→【解答】解：根據題意得：AF→又AC→=AB所以AF→故選：D．【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡單應用，屬于基礎試題7．（4分）“sinθ+tanθ＞0”是“θ為第一或第三象限角”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由三角函數的象限符號結合充分必要條件判斷即可．【解答】解：因為sinθ+tanθ=sinθ(cosθ+1)所以tanθ＞0，θ為第一或第三象限角，反之，若θ為第一或第三象限角，則必有sinθ+tanθ＞0．所以“sinθ+tanθ＞0”是“θ為第一或第三象限角”的充分必要條件．故選：C．【點評】本題考查三角函數的象限符號與充分必要條件的判定，是基礎題．8．（4分）在△ABC中，AD→=32DC→，P是直線A．15 B．25 C．35【分析】依題意可得AC→【解答】解：因為AD→=3又P是直線BD上的一點，所以AP→又AP→所以x=131?x=5t故選：B．【點評】本題考查了平面向量共線定理的推論及平面向量基本定理，屬于中檔題．9．（4分）數學與音樂有著緊密的關聯，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復合音．如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應的函數解析式可以為（）A．y=sinx+1B．y=sinx?1C．y=sinx+1D．y=cosx+【分析】根據函數的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判斷即可．【解答】解：對于A，函數y=f(x)=sinx+12sin2x+因為f(?x)=?sinx?1又f(π4)=對于B，函數y=f(x)=sinx?12sin2x?因為f(?x)=?sinx+1又f(π4)=對于C，函數y=f(x)=sinx+12cos2x+因為f(0)=56≠對于D，當x＝0時，y=cosx+12cos2x+故選：A．【點評】本題主要考查了三角函數的圖象和性質，屬于中檔題．10．（4分）已知函數f（x）＝|sinx+a|，給出下列四個結論：①對任意a∈R，函數f（x）的最大值與最小值，之差為2；②存在a∈R，使得對任意x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2a；③當a≠0時，對任意非零實數x，f(x+π④當a＝0時，存在T∈（0，π），存在x0∈R，使得對任意n∈Z都有f（x0）＝f（x0+nT）．其中正確的是（）A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④【分析】由已知結合正弦函數的性質及函數圖象的變換檢驗各結論即可判斷．【解答】解：當a＝0時，f（x）＝|sinx|的最大值為1，最小值為0，①錯誤；當a＝1時，f（x）＝|sinx+1|，則f（x）+f（﹣x）＝|1+sinx|+|1﹣sinx|＝1+sinx+1﹣sinx＝2，②正確；當a≠0時，f（x+π2）＝|sin（x+π2）+a|＝|a+cosx|，f（π2?x）＝|a+sin（π2當a＝0時，f（x）＝|sinx|的周期T＝π，取T=π2，x0=π4，即存在T∈（0，π），存在x0∈R，使得對任意n∈Z都有f（x0）＝f（x0+故選：D．【點評】本題主要考查了正弦函數的圖象變換及函數性質的綜合應用，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知θ為第三象限角，且sinθ=?23，則cosθ＝?53，sin（θ+π）＝【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式及誘導公式求解．【解答】解：∵θ為第三象限角，且sinθ=?2∴cosθ=?1?sisin（θ+π）＝﹣sinθ=2故答案為：?53；【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查誘導公式及同角三角函數基本關系式的應用，是基礎題．12．（5分）已知O為坐標原點，A（3，﹣6），B（﹣5，2），OC→=12（OA→【分析】由題設知，點C為線段AB的中點，由中點坐標公式即可求得．【解答】解：由OC→=12（OA→又A（3，﹣6），B（﹣5，2），則C（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．【點評】本題考查向量的線性運算，屬基礎題．13．（5分）若tanα＝2，則sinαsinα+2cosα=1【分析】由同角三角函數基本關系式化弦為切求解．【解答】解：∵tanα＝2，∴sinαsinα+2cosα故答案為：12【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查同角三角函數基本關系式的應用，是基礎題．14．（5分）已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示．①函數f（x）的最小正周期為3π2②將函數f（x）的圖象向左平移t（t＞0）個單位長度，得到函數g（x）的圖象．若函數g（x）為偶函數，則t的最小值是π4【分析】由特殊點的坐標求出φ和ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的性質，可求出正數t的最小值．【解答】解：①由函數f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分圖象可得函數的圖象經過點（0，1），故有2sinφ＝1，結合圖象可得φ=π6，f（x）＝2sin（ωx再把點（3π4，﹣1）代入，可得2sin（3ωπ4+π6結合圖象可得3ωπ4+π6=7π6，∴ω=43，故函數f②將函數f（x）＝2sin（43x+π6）的圖象向左平移t得到函數g（x）＝2sin（43x+若函數g（x）為偶函數，則4t3+π6=kπ+π2（k∈Z），即則正數t的最小值是π4，此時，k故答案為：①3π2；②π【點評】本題主要考查由函數y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于中檔題．15．（5分）f(x)=cos(ωx+π4)(ω＞0)①ω的取值范圍是[9②f（x）的最小正周期可能是23③f（x）在區間[0，π④f（x）在區間（0，π）上有且僅有3條對稱軸；其中所有正確結論的序號是①②③．【分析】①由x的范圍，可得ωx+π4的范圍，再由函數的對稱中心的個數，可得ωπ+π4的范圍，進而解得ω的范圍，判斷出①的真假；②由①選項的分析，可得函數的最小正周期的范圍，判斷出②的真假；③由①選項的分析可得π16ω+π4的范圍，判斷出函數在給定區間的單調性，判斷出③的真假；④由①的分析，當5π【解答】解：①中，因為x∈[0，π]，所以ωx+π4∈[π4，ωπ+又因為f(x)=cos(ωx+π4)(ω＞0)所以5π2≤ωπ+π4＜7π2②中，最小正周期T=2πω∈（813π，89π]，因為2π3∈（813π③中，因為x∈（0，π16），所以ωx+π4∈[π4，π16又由①選項的分析，94≤ω＜134，所以25π所以f（x）在區間[0，π16]④中，由①選項的分析，當5π2≤ωπ+π則f（x）在區間（0，π）上有且僅有2條對稱軸，所以④不正確．故答案為：①②③．【點評】本題考查三角函數的性質的應用，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（15分）已知A（﹣2，1），B（2，0），D（0，3），且BC→=AD→，AC與（1）求點C和點P的坐標；（2）求|AC【分析】（1）設C（x，y），根據向量相等列方程求出點C的坐標；判斷四邊形ABCD為平行四邊形，利用AP→=1（2）根據平面向量的模長公式計算即可．【解答】解：（1）設C（x，y），因為BC→=（x﹣2，y），AD→所以x?2=2y=2，解得C因為BC→=AD→，A、B、C、所以AP→=1所以OP→=OA→+AP→（2）因為AC→=（6，1），所以【點評】本題考查了平面向量的坐標運算問題，是基礎題．17．（15分）設a→（1）若AB→=2a→?b→，BC（2）若8a→+kb→與k【分析】（1）可得出BD→=AB→，并且有公共點B，從而得出A，（2）根據共線向量基本定理得出8a→+k【解答】解：（1）證明：BD→∴BD→∥AB∴A，B，D三點共線；（2）∵a→，b又8a→+kb→與k∴kλ=82λ=k，解得k【點評】本題考查了平面向量基本定理和共線向量基本定理，是基礎題．18．（15分）已知函數f(x)=2sin(2x?π（1）某同學利用五點法畫函數f（x）在區間[π（2）已知函數g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．①若函數g（x）的最小正周期為2π3，求g（x②若函數g（x）在[0，π3]xπ65π1211π127π62x?π0π3π22πf（x）0200【分析】（1）利用五點法可得表中的數據，并畫出一個周期的圖象；（2）①由函數的最小正周期，可得ω的值，再根據正弦函數的性質求出函數的單調遞增區間；②由x的范圍，可得2ωx?π3的范圍，由題意可得?π3＜2【解答】解：函數f(x)=2sin(2x?π3)，xxπ65π122π311π127π62x?π0π2π3π22πf（x）020﹣20（2）①因為g（x）＝f（ωx）＝2sin（2ωx?π因為函數的最小正周期T=2π2ω=2π即g（x）＝2sin（3x?π函數g（x）的單調遞增區間滿足：?π2+2kπ≤3x?π3≤π2解得?π18+23kπ≤x≤5π18所以函數g（x）的單調遞增區間為：[?π18+23kπ，5π18+②函數g（x）在[0，π因為x∈[0，π3]，所以2ωx?π3∈[?所以?π3＜2解得0＜ω＜1即ω的取值范圍為（0，16【點評】本題主要考查五點法畫三角函數圖象及三角函數的性質的應用，屬于中檔題．19．（14分）已知函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一個對稱中心到其相鄰的對稱軸的距離為π3，且圖像上一個最低點為M(（1）求f（x）的解析式；（2）若當x∈(π3，π)時方程f（x）+m【分析】（1）由題意可得T4=π3，進而求出最小正周期T，再求出ω的值，再將點M的坐標代入，可得（2）由x的范圍，可得32x+π4的范圍，由方程f（x）+m【解答】解：（1）由題意可得T4=π3而T=2πω=4π再由圖像上一個最低點為M(5π6，?2且5π6×32+φ=3π2+2kπ，可得φ=π所以f（x）=2sin（32x（2）當x∈(π3，π)時方程f（x）+m＝0有唯一實根，即﹣m＝f所以32x+π4∈（3π設t=32x+π4∈（設g（t）=2sint∈（3π4，所以t∈（3π4，5π4）時，g（f（x）∈[﹣1，1）時滿足方程f（x）+m＝0有唯一實根，或者f（x）=?2所以m∈（﹣1，1]或m=2【點評】本題考查三角函數的解析式的求法及三角函數的性質的應用，屬于中檔題．20．（13分）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．位于濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設置有36個座艙．游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當到達最高點距地面145米時大約需要15分鐘．當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．（1）經過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數關系式滿足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)，求摩天輪轉動一周的解析式H（2）游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達到52米？（3）若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔5個座艙，從游客甲坐上摩天輪后開始計時，多長時間游客乙和游客甲距離地面的高度首次恰好相同？【分析】（1）根據題意求出A、B和T、ω與φ，即可寫出函數解析式；（2）令H（t）＝52，求出t的值即可；（3）由題意，令H（t）＝H（t﹣5），求出t的值即可．【解答】解：（1）由題意知，A=12×124＝62，A+B＝62+B又T＝15×2＝30，所以ω=2πt＝0時，H（t）＝62sinφ+83＝145﹣124＝21，解得sinφ＝﹣1，因為|φ|≤π2，所以φ所以H（t）＝62sin（π15t?π2（2）令H（t）＝52，得62sin（π15t?π2）+83＝52，解得sin（π15t即cosπ15t=12，令π15t所以游客甲坐上摩天輪后5分鐘，距離地面的高度第一次恰好達到52米；（3）由題意知，H（t）＝62sin（π15t?π2）+83＝﹣62cosπ15t+83，中間間隔5個座艙，即H（t﹣6）＝﹣62cos[令H（t）＝H（t﹣5），得cosπ15t＝cos（π15t?π3）=12cosπ即12cosπ15t?32sinπ15t＝0，所以cos（π15t+π3）＝0，解得π15所以t=52+15k，k∈Z；k＝0時，t＝2.5＜5，不合題意；當k即從游客甲坐上摩天輪后開始計時，17.5分鐘游客乙和游客甲距離地面的高度首次恰好相同．【點評】本題考查了三角函數模型應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．21．（13分）對于分別定義在D1，D2上的函數f（x），g（x）以及實數k，若存在x1∈D1，x2∈D2使得f（x1）﹣g（x2）＝k，則稱函數f（x）與g（x）具有關系M（k）．（1）若f（x）＝cosx，x∈[0，π]；g（x）＝sinx，x∈[0，π]，判斷f（x）與g（x）是否具有關系M（﹣2），并說明理由；（2）若f（x）＝2sinx，f（x）＝2sinx與g（x）＝2cos2x+sinx﹣1具有關系M（k），求k的取值范圍；（3）已知a＞0，h（x）為定義在R上的