第08講同底數冪的除法1.同底數冪的除法法則同底數冪相除，底數不變，指數相減，即（≠0，都是正整數，并且）注：（1）同底數冪乘法與同底數冪的除法是互逆運算.（2）被除式、除式的底數相同，被除式的指數大于除式指數，0不能作除式.（3）當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質.（4）底數可以是一個數，也可以是單項式或多項式.2.零指數冪任何不等于0的數的0次冪都等于1.即（≠0）注：底數不能為0，無意義.任何一個常數都可以看作與字母0次方的積.因此常數項也叫0次單項式.3.零指數冪及負整數指數冪任何不等于零的數的（為正整數）次冪，等于這個數的次冪的倒數，即（≠0，是正整數）.引進了零指數冪和負整數指數冪后，指數的范圍已經擴大到了全體整數，以前所學的冪的運算性質仍然成立.（、為整數，）；（為整數，，）（、為整數，）.注：是的倒數，可以是不等于0的數，也可以是不等于0的代數式.例如（），（）.4.科學記數法的一般形式（1）把一個絕對值大于10的數表示成的形式，其中是正整數，（2）利用10的負整數次冪表示一些絕對值較小的數，即的形式，其中是正整數，.用以上兩種形式表示數的方法，叫做科學記數法考點剖析（同底數冪的除法運算）例1：計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是同底數冪的除法運算，根據同底數冪相除，底數不變，指數相減，計算即可．【詳解】解：，故選：B．變式1-1：如果，那么．【答案】2【分析】本題考查同底數冪的除法、冪的乘方．同底數冪相除：底數不變，指數相減；冪的乘方：底數不變，指數相乘．由此列出關于k的一元一次方程，即可求出k的值．【詳解】解：，，解得，故答案為：2．變式1-2：計算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】本題考查整式的乘法與除法運算：（1）根據同底數冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，整式的除法分別計算即可解答；（2）根據整式的除法進行計算．【詳解】（1）；（2）．（同底數冪的除法逆用）例2：已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查同底數冪的除法及冪的乘方的逆運用，根據對相應的運算法則將變形為是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，故選：C．變式2-1：若，則代數式的值為．【答案】1【分析】本題主要考查冪的乘方逆運算和同底數冪除法逆運算，先將變形為，再把變形為，然后整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：1．變式2-2：已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)試說明：．【答案】(1)16(2)62.5(3)見解析【詳解】（1）．（2），即的值為62.5．（3）．理由如下：，，，．【易錯點分析】本題解題的關鍵是掌握同底數冪的乘法法則和除法法則，冪的乘方法則及公式的逆運用．（冪的混合運算）例3：計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計算積的乘方和冪的乘方，再計算同底數冪的除法即可．【詳解】解：．故選A．【點睛】本題考查冪的混合運算．掌握運算法則是解題關鍵．變式3-1：（1）當時，如果，則．（2）計算，則．【答案】54【分析】（1）根據零指數冪公式，負整數指數冪公式，同底數冪的乘除法法則先化簡，再得出指數相等即可求解；（2）根據同底數冪的乘方先化簡，再得出指數相等即可求解；【詳解】解：（1）∵∴∴∴（2）∵∴∴∴故答案為：①5；②4．【點睛】本題考查同底數冪的乘法，零指數冪，負整數指數冪，冪的乘方等知識，掌握相關法則或公式是解題的關鍵．變式3-2：計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據積的乘方運算法則進行計算；（2）根據積的乘方，同底數冪乘法，同底數冪除法運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了乘方混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（零指數冪）例4：若，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查零指數冪的意義，根據零指數冪的定義即可判斷．【詳解】解：根據零指數冪的意義，，∴．故選：C．變式4-1：計算：．【答案】【分析】本題主要考查了零指數冪和負整數指數冪，先計算零指數冪，負整數指數冪，再計算減法即可，注意任何非零底數的零指數冪結果都為1．【詳解】解：，故答案為：．變式4-2：閱讀材料：①1的任何次冪都等于1；②的奇數次冪都等于；③的偶數次冪都等于1；④任何不等于零的數的零次冪都等于1．試根據以上材料探索使等式成立的x的值．【答案】x的值為或【分析】根據題干提供的信息，分情況討論求出x的值即可．【詳解】解：①當時，解得，此時，所以符合題意；②當時，解得，此時，所以不符合題意；③當時，解得，且，所以符合題意；綜上所述，x的值為或．【點睛】本題主要考查了冪的運算，解題的關鍵是熟練掌握冪的運算法則，特別注意．（負整數指數冪）例5：下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同底數冪的除法法則，零指數冪，負整數指數冪的意義等知識，掌握以上運算法則并能進行正確計算是解題的關鍵．根據同底數冪的除法法則，零指數冪，負整數指數冪的意義計算即可判斷．【詳解】解：A．，故不符合題意；B．，符合題意；C．，故不符合題意；D．，故不符合題意．故選：B．變式5-1：計算：．【答案】【分析】本題考查了積的乘方運算法則，零指數冪的性質，負指數冪的性質，正確掌握運算法則是解答本題的關鍵．利用積的乘方運算法則，零指數冪的性質，負指數冪的性質，分別計算出結果，然后整理得到最終答案．【詳解】解：根據題意得：，故答案為：．變式5-2：計算：【答案】【分析】本題考查了負整數指數冪，零指數冪，有理數的乘方；根據負整數指數冪，零指數冪，有理數的乘方進行計算即可求解．【詳解】解：（整數指數冪的運算）例6：計算，并把結果化為只含有正整數指數冪的形式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據冪的乘方和積的乘方，負整數指數冪的運算法則計算即可．【詳解】解：．故選：D【點睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，負整數指數冪，熟練掌握這些運算法則是解題的關鍵．變式6-1：計算：．【答案】【分析】根據整數指數冪的運算法則計算即可．【詳解】解：；故答案為：【點睛】本題考查的負整數指數冪的含義，整數指數冪的運算，熟記運算法則是解本題的關鍵．變式6-2：計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）根據同底數冪的乘法，積的乘方進行計算，然后合并同類項即可求解；（2）根據冪的乘方，積的乘方進行計算，然后根據同底數冪的除法進行計算即可求解；（3）根據冪的乘方，積的乘方進行計算即可求解；（4）根據負整數指數冪，零次冪進行計算即可求解；（5）根據同底數冪的乘法進行計算即可求解；（6）根據積的乘方，單項式乘以單項式，同底數冪的除法進行計算即可求解；（7）根據負整數指數冪，零次冪，有理數的乘方進行計算即可求解；（8）根據零次冪，負整數指數冪，逆用積的乘方進行計算即可求解．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【點睛】本題考查了冪的混合運算，負整數指數冪，零次冪，掌握冪的運算法則是解題的關鍵．（科學記數法）例7：隨著科技的不斷發展，我國北斗芯片研發技術達到國際領先水平，目前，國產北斗芯片尺寸已可達12納米（即1納米＝0.000000001米），則數據12納米用科學記數法表示為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】本題考查科學記數法，按照定義，確定與的值是解決問題的關鍵．用科學記數法表示較小的數時，一般形式為，其中，為整數，按要求表示即可．【詳解】解：1納米米，根據科學記數法要求的小數點從原位置移動到1后面，動了有9位，從而用科學記數法12納米表示為米，故選：D．變式7-1：我國一款手機的芯片采用了先進的制造工藝，已知，將用科學記數法表示為：【答案】【分析】此題考查科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．科學記數法確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值時，n是負整數．【詳解】的左邊起第一個不為零的數字7前面的0有9個，故答案為：變式7-2：科學記數法表示數時，不改變數的符號，只是改變數的書寫形式，可以方便地表示絕對值較大的數或較小的數.請看下面用科學記數法解決實際問題的實例．科學研究發現，與我們日常生活密不可分的一個水分子的質量大約是0.00000000000000000000000003kg．(1)用科學記數法表示此數；(2)6g水中大約有多少個水分子？(3)通過進一步研究科學家發現：一個水分子是由兩個氫原子和一個氧原子構成的．已知氧原子的質量約為.求一個氫原子的質量．【答案】(1)；(2)個；(3)kg【分析】（1）根據科學記數法的表示方法解答即可；（2），再除以（1）題的結果求解即可；（3）用一個水分子的質量減去一個氧原子的質量，再除以2即可求解．【詳解】（1）（2）因為，所以水中大約有水分子：（個）（3）一個氫原子的質量為：．【點睛】本題考查了負整數指數冪的運算，涉及科學記數法、負整數指數冪的運算等知識，熟練掌握負整數指數冪的運算法則是關鍵．過關檢測選擇題（共6題，每題4分）1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了冪的相關運算，掌握運算法則是解題關鍵．【詳解】解：，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；故選：C2．芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻質量約為千克，將用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】絕對值小于1的利用科學記數法表示，一般形式為，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，n由原數左邊起第一個不為零的數字前面0的個數所決定．【詳解】解：，故選：B．3．若，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同底數冪的除法法則，根據同底數冪的除法法則進行計算，建立關于m，n的方程求解即可．【詳解】解：，，，故選：B．4．下列四個算式：①；②；③；④．其中計算不正確的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】B【分析】本題考查冪的運算，涉及同底數冪的除法、積的乘方、冪的乘方等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．根據同底數冪的除法、積的乘方、冪的乘方法則逐個解題【詳解】解：①，錯誤，②，正確，③，錯誤，④，正確故①③錯誤，故選：B．5．若，則的值為(

)A． B．1或 C．或1或3 D．或1【答案】B【分析】本題考查零指數冪公式，和1的n次方的結果等知識，可按當時與當時兩種情況討論，掌握乘方結果是的三種情況：即①底數不為0，指數是0，②底數是1，③底數是，指數為偶數是解題的關鍵．【詳解】解：①當，即時，，即∴；②當，即時，則有(i)；(ii)且為偶數；(i)由解得：，(ii)解得：，此時，為奇數，不合題意，∴；綜上所述：或，故選：B．6．已知xa=3，xb=4，則x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．19【答案】B【分析】根據同底數冪的除法和冪的乘方的逆運算即可得出結果．【詳解】解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整體代入即可得原式=33÷42=．故選:B．【點睛】此題主要考查了同底數冪的除法和冪的乘方，解題關鍵是明確同底數冪的除法和冪的乘方的法則，然后逆用代入計算即可．同底數冪相除，底數不變，指數相減；冪的乘方，底數不變，指數相乘．填空題（共8題，每題4分）7．計算．【答案】【分析】本題主要考查了零指數冪，負整數指數冪，熟知零指數冪和負整數指數冪的計算法則是解題的關鍵，注意任何非零底數的零指數冪結果都為1．【詳解】解；，故答案為：．8．計算：．【答案】【分析】本題考查整式的運算中積的乘方及整式除法，解題的關鍵是掌握整式運算的相關法則．先算積的乘方，再從左到右依次計算；【詳解】解：，故答案為：．9．每立方厘米的空氣質量約為，用科學記數法表示為．【答案】【分析】本題主要考查了科學記數法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．10．已知，，則的值是．【答案】/【分析】本題考查了同底數冪的除法的逆運算、冪的逆運算．根據同底數冪的除法的逆運算、冪的逆運算法則求解即可．【詳解】解：∵，，∴故答案為：．11．已知，則“★”所表示的式子是．【答案】【分析】本題考查了整式除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．由題意可知，“★”所表示的式子是被除數除以商，根據同底數冪的除法法則計算即可．【詳解】，，，故答案為：12．如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則的值等于．

【答案】2【分析】本題主要考查了整式的加減計算，同底數冪除法的逆運算，先分別表示出經過取走和取出后，甲、乙、丙三個袋子中的球數分別為，，，再由題意可得最后三個袋子中的球都是21個，由此得到，即，最后根據進行計算求解即可．【詳解】解：經過取走和取出后，甲、乙、丙三個袋子中的球數分別為，，，∵一共有個球，且最后三個袋子中的球的數量相同，∴最后三個袋子中的球都是21個，∴，∴，∴，故答案為：2．13．已知，，，則、、三個數的大小關系是．【答案】【分析】先把、、都化為六次方根的形式，再比較大小即可.【詳解】解：，，，又，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是負整數指數冪的含義，分數指數冪的含義，無理數的大小比較，掌握分數指數冪的運算法則是解本題的關鍵.14．若am=20，bn=20，ab=20，則=．【答案】1【分析】先根據可得，再結合可得，由此結合可得，由此可得，進而可求得答案．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了冪的運算，熟練掌握同底數冪的乘除法法則及冪的乘方法則是解決本題的關鍵．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先將每項單獨求出來，再進行有理數加減運算；（2）先將每項單獨求出來，再進行同底數冪乘除運算【詳解】（1）解：，，；（2）解：，，，．【點睛】本題考查冪的乘方，積的乘方，有理數加減法，同底數冪乘除，負整數指數冪，掌握運算法則是解題的關鍵．16．若（，，，都是正整數），則，利用上面結論解決下面問題：(1)已知，求的值．(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】根據同底數冪的乘法進行計算即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，，．【點睛】本題主要考查同底數冪的乘法與除法，掌握同底數冪的乘法與除法法則是解題的關鍵．17．在數學中，我們經常會運用逆向思考的方法來解決一些問題．例1：“若，，求的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運用同底數冪的乘法公式，即（m，n都是正整數），則，所以．例2：“若，求的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運用同底數冪的乘方公式，即（m，n都是正整數），則，所以．(1)若，，請你也利用逆向思考的方法求出的值．(2)下面是小賢用逆向思考的方法完成的一道作業題，請你參考小賢的方法解答下面的問題：小賢的作業計算：．解：．①小賢的求解過程逆用的冪的乘法公式是________；A．

B．

C．②計算：．【答案】(1)4(2)①C，②4【分析】本題主要考查同底數冪相乘和冪的乘方，（1）利用給定的逆向運用同底數冪的乘法公式和逆向運用同底數冪的乘方公式即可求得；（2）①利用積的逆運算即可；，②結合①的運算法則即可求得答案．【詳解】（1）解：逆向運用同底數冪的乘法公式和逆向運用同底數冪的乘方公式得，，∵，∴，得．（2）①由可得小賢的求解過程用到，故選：C．②．18．我們規定兩數a、b之間的一種運算，記作：如果，那么．例如，對于任意自然數n，可以證明．理由如下：設，則，∴，∴，∴，∴．(1)根據以上規定求出：_____；_____；(2)①說明等式成立的理由；②并計算；(3)類比猜想：．【答案】(1)3，0(2)①見解析；②14(3)6【分析】此題主要考查了同底數冪的乘除運算法則，正確將原式變形分析是解題關鍵．（