第03講函數(shù)的極值與最大（小）值一、函數(shù)的極值（一）函數(shù)的極值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，（1）若對(duì)于附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；（2）若對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱極值．在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．即是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要非充分條件．例如函數(shù)，在處，，但不是函數(shù)的極值點(diǎn)．②可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是，且在兩側(cè)的符號(hào)相異．二、函數(shù)的最值（一）函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得．②函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只有一個(gè)．【典型例題】1、已知函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2、已知函數(shù)在上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C． D．3、已知函數(shù)，，則的最小值為.4、若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5、已知函數(shù)在處的切線平行于軸．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)的極小值．6、已知函數(shù)，求的極值.7、已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.(3)若方程有三個(gè)根，寫出k的取值范圍（無(wú)需解答過(guò)程）.2025年4月2日高中數(shù)學(xué)作業(yè)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值 B．函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值C．函數(shù)的極大值為0，無(wú)極小值 D．函數(shù)的極小值為0，無(wú)極大值2．如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則的（

）．A．極大值為，極小值為0B．極大值為0，極小值為負(fù)的C．極小值為，最大值為0D．極小值為0，極大值為4．已知函數(shù)的極小值為，則（

）A． B． C．1 D．25．函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)不存在極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù).若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的解集是 B．是極小值，是極大值C．沒有最小值，也沒有最大值 D．有最大值，沒有最小值二、多選題9．函數(shù)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的是（

）A．在上函數(shù)為增函數(shù) B．在上函數(shù)為增函數(shù)C．在上函數(shù)有極大值 D．是函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C．的最小值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減三、填空題11．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則．12．已知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是.四、解答題13．給定函數(shù)（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）畫出函數(shù)的大致圖象；（3）求出方程的解的個(gè)數(shù)《2025年4月2日高中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案題號(hào)12345678910答案AAACAACCACAC1．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的極值.【詳解】的定義域?yàn)椋谶f增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A2．A【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷即可.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象知在x＝－2處f′(－2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝－2是極大值；在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正，x＝－1是極小值；在x＝－3處f′(2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝2是極大值；所以f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查極值點(diǎn)的定義以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】由于的圖象與軸相切且切點(diǎn)為，則將代入中得到，又因?yàn)橄嗲袝r(shí)函數(shù)圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則，從而可求出的值，確定的解析式，求出導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出極值【詳解】由，得，因?yàn)榈膱D象與軸相切且切點(diǎn)為，所以，即，，解得，所以，則，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，故選：A4．C【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用極小值可求答案.【詳解】因?yàn)椋裕划?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，沒有極值.當(dāng)時(shí)，由得；時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，有極小值，，解得.故選：C.5．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合已知條件得，從而求出的取值范圍．【詳解】∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，又∵在區(qū)間上有最小值，∴，解得．故選：A．6．A【分析】由題意函數(shù)不存在極值，則在上恒成立，從而可解.【詳解】函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)不存在極值，則在上恒成立，則，得.故選：A7．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，則存在，使得成立，再利用分離參數(shù)法求解即可.【詳解】由成立，可得，設(shè)，則存在，使得成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.8．C【分析】解不等式判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、最值判斷BCD.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于A，，解得，即的解集是，A正確；對(duì)于BCD，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此是極小值，是極大值，B正確；顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋虼擞凶畲笾担瑳]有最小值，C錯(cuò)誤，D正確.故選：C9．AC【解析】根據(jù)圖象判斷出的單調(diào)區(qū)間、極值（點(diǎn)）.【詳解】由圖象可知在區(qū)間和上，遞增；在區(qū)間上，遞減.所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.在區(qū)間上，有極大值為，C選項(xiàng)正確.在區(qū)間上，是的極小值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10．AC【分析】通過(guò)可判斷A；通過(guò)可判斷B；通過(guò)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最值可判斷C，D.【詳解】由于，故A正確；由于，即的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以的最小值為，故C正確；由以上分析可知，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義直接求值.【詳解】由，得，依題意可得，解得，當(dāng)時(shí)．，，令，解得，列表單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在處取得極小值，故答案為：.12．/0.5【分析】根據(jù)平移變換可得，函數(shù)在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，得，由，得，令，，則，因?yàn)椋瑒t，故，∴恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，即，∴m的最大值為.故答案為：.13．（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值,；（2）答案見詳解；（3）當(dāng)時(shí)，解為個(gè)；當(dāng)或時(shí)，解為個(gè)；當(dāng)時(shí)，解為個(gè)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）由函數(shù)的單調(diào)性、極值即可作出圖象.