《化工傳遞過程》講稿

【講稿】

第一章傳遞過程概論（4學時）

傳遞現象是自然界和工程技術中普遍存在的現象。

傳遞過程：物理量（動量、熱量、質量）朝平

衡轉移的過程即為傳遞過程。

平衡狀態：物系內具有強度性質的物理量如

速度、溫度、組分濃度等不存在梯度。

*動量、熱量、質量傳遞三者有許多相似之處。

*傳遞過程的研究，常采用衡算方法。

第一節流體流動導論

流體：氣體和液體的統稱。

微元體:任意微小體積。

流體質點：當考察的微元體積增加至相對于分子的幾何尺寸足夠大，而相對于容器尺寸充

分小的某一特征尺寸時，便可不計分子隨機運動進出此特征體積分子數變化所導致的質量

變化，此一特征體積中所有流體分子的集合稱為流體質點。

可將流體視為有無數質點所組成的連續介質

一、靜止流體的特性

（一）流體的密度

流體的密度：單位體積流體所具有的質量。

M

對于均質流體V

dM

對于不均質流體點密度

ddV

*流體的點密度是空間的連續函數。

*流體的密度隨溫度和壓力變化。

流體的比體積：單位流體質量的體積。V

M

（二）可壓縮流體與不可壓縮流體

可壓縮流體：密度隨空間位置和時間變化的流體，稱為可壓縮流體。（氣體）不可

壓縮流體：密度不隨空間位置和時間變化的流體，稱為不可壓縮流體。（液體）

（=）流體的壓力一

流體的壓力（壓強，靜壓力）：垂直作用于流體單位面積上的力。pP

A

（四）流體平衡微分方程

1.質量力（重力）氏

單位流體質量所受到的質量力用fB表示。在直角坐標X,%Z三個軸上的投影分量分別

以X、Y、Z表示。

2.表面力:表面力是流體微元的表面與其臨近流體作用所產生的力用Fs表示。在靜止流體

1

*-所受外力為重力和靜壓力，這兩種力互相平衡，利用平衡條件可導出流體平衡微分方

黃山學院T匕學系化工傳遞過程基礎

圖―2所示的容器中為靜止液體，其密度均勻為

,液面上的壓力為p。，在液面之下深度為h水平

面某點2

萬卜的露X力頭Tn一點檸心上-二嘀而上任一占一7軸

h匕巴

解

上式表明對于一定密度的液體，壓力差大小與深度/7成正比.故液柱高度無可用來表

示壓力差的大小，這就是用mmHg或mH20柱表示壓力單位的依據。

二、流體流動的基本概念

(-)流速與流率

1.流速

流速即流體流動的速度。對于任意流動狀態速度為一空間向量，以M表示。設"在

直角坐標系x、y、z三個軸方向上的投影為"無、"y和az。，在d?時間內流體流過的距

離為ds,且辦在各坐標軸上的投影距離為dx、dy和dz,則流速的定義式為

若流體流動與空間的三個方向有關，稱為三維流動；與兩個方向有關。稱為二維流動；僅與

一個方向有關，則稱為一維流動。在化學工程中，許多流動狀態可視為一維流動,例如流體

在直管內流動時，經過進口和管件一定距離后的流動狀態，屬于與管軸平行的一維流動。

流體在導管或設備內作一維流動時，流速方向與流動的橫斷面(流動截面)相互垂直，在

流動截面上各點的流速稱為點流速。一般情況下，各點流速不相等，在同一截面上的點流

2

速的變化規律稱為速度分布。

2.流率:流率為單位時間內流體通過流動截面的量,以流體的體積計量稱為體積流率（習慣

上稱流量），/s；以質量計量稱為質量流率，kg/So

在流動截面上任取一微分面積dA,其點流速為狽，則通過該微分面的積體積流率

dVs為dVs=MXdA

質量流率與體積流率的關系為'1?'1

3.主體平均流速

當流體通過流動截面時，由于各點的流速不相等，實際應用很不方便。在工程上為了

簡化計算，通常采用截面上各點流速的平均值，稱為主體平均流速。

（二）穩態流動與不穩態流動

穩態流動:當流體流過任一截面時，流速、流率和其他有關的物理量不隨時間而變化，稱

為穩態流動或定常流動。

非穩態流動:流體流動時，任一截面處的有關物理量中只要有一個隨時間而變化，則稱為

不穩態流動或不定常流動。

在傳遞過程中的穩態和非穩態過程與流體流動的穩態和非穩態區分相類似。

（三）粘性定律和粘度

流體具有粘性，表現在流體運動時，由于粘性作用，流體層之間會產生剪切力；而且當

流體與固體壁面接觸時，它會附著于壁面上不滑脫。流體運動時的粘性作用，可用牛頓粘

性定律描述。

1.牛頓粘性定律

為了說明流體運動時的粘性作用，可考察圖1-3兩平板間的流體運動情況。由于粘性作

用，下板表面上已運動的流體便帶動其上相鄰的一層流體沿x方向流動，依此類推，兩板間的

流體將全部沿x方向流動。由于上板靜止，故各層流速就沿y向逐層減慢，至上板面處的

流體層速度為零。經歷一段時間后，流動達到穩態，兩板間的流體建立起如圖1-3所示的

速度分布曲線。

凡遵循牛頓粘性定律的流體稱為牛頓型流體，否則為非牛頓型流體。所有氣體和大多

數低相對分子質量液體均屬牛頓型流體，如水、空氣等；而某些高分子溶液、油漆、血液

等則屬于非牛頓型流體，本書涉及的流體多為牛頓型流體。

2.動力粘度

流體的動力粘度（簡稱粘度）可用牛頓粘性定律定義，即由式（1-16）忽略負號得

UHdr

故粘度的物理意義為單位速度梯度時，作用在兩層流體之間的剪應力。

粘度有兩種常用單位：SI單位和物理單位。

粘度是流體狀態（溫度、壓力）的函數，氣體的粘度隨溫度的升高而增大，而液體粘度隨

溫度升高而減小；壓力對液體粘度的影響可忽略，氣體的粘度在壓力較低時（＜1000kPa）影

響很小，在更高壓力下，則隨壓力升高而增大。

（四）粘性流體與理想流體

自然界中存在的流體都具有粘性，

粘性流體:具有粘性的流體統稱為粘性流體或實際流體。

理想流體:完全沒有粘性即〃的流體稱為理想流體。

自然界中并不存在真正的理想流體，它只是為了便于處理某些流動問題所作的假設而已。

3

（五）非牛頓型流體

根據剪應力與速度梯度（亦稱剪切速率）關系的不同，可將非牛頓型流體分為若干類型。

圖1-4表示出了幾種常見類型的非牛頓型流體的剪應力與剪切速率之間關系曲線（a線為牛

頓型流體）。

（六）流動型態與雷諾數

流體流動時，在不同的流動條件下可以出現兩種截然不同的流動型態，即層流和湍流。

這一現象是由雷諾（Reynolds）首先發現的。下面先介紹雷諾的這一著名實驗。

1.雷諾實驗

圖1-5為雷諾實驗裝置示意圖。將一入口為喇叭狀的玻璃管浸沒在透明的水槽中，在

管的出口處裝有閥門用以調節水的流出速率。水槽上方放置小瓶，內充有色液體，將此有

色液體從小瓶底部引出經針閥調節后注入玻璃管的中心部位。從有色液體的流出狀態可以

觀察到管內水流中質點的運動情況。

隨著水流速的逐漸提高，當達到某一數值時，細線狀的有色液體開始出現不規則的波

浪形，流速再提高，細線波浪加劇直至被沖斷而向四周散開，最終導致整個玻璃管中的水

流呈現均勻一致的顏色，如圖l-6（b）所示。這種現象表明，在高的水流速度下，水的質點

除了沿管路向前運動之外，各質點還作不規則的脈動，且彼此之間相互碰撞與混合。

2.雷諾數:雷諾發現，若改用不同的流體在不同直徑的管內進行實驗，除流速〃之外，流

體的密度P、粘度〃和管徑d也都影響流動型態。

實驗表明，流體在管內流動時，若Re<2000,則流動總是層流；而當Re>10000時，

流動一般都為湍流；而當Re在2000?10000范圍內，流動處于一種過渡狀態，可能是層流

亦可能是湍流。若受外界條件影響，如管道直徑或方向的改變、外來的輕微振動都易促使

過度狀態下的層流變為湍流。

（七）動量傳遞現象

牛頓粘性定律描述了流體層流時動量傳遞現象。

層流流體在流向上的動量，沿著其垂直方向由高速流層向低速流層傳遞，導致流體層間的

剪應力，也可以理解為由于流體層的速度不同而發生相對運動所產生的內摩擦力。流層內

摩擦表現了流體的粘性作用。層流時由于流體粘性作用所引起的動量傳遞現象，本質上是

分子微觀運動的結果，屬于分子傳遞過程。

流體在湍流時，不但存在分子動量傳遞，而且還存在大量流體質點高頻脈動引起渦流

傳遞。渦流傳遞作用一般要比分子傳遞高幾個數量級。因此，湍流時的渦流動量通量比分

子傳遞通量大得多，相比之下，湍流時分子傳遞通量可忽略。流體湍流時由于旋渦混合造

成流體質點的宏觀運動所引起的動量傳遞現象，屬于渦流傳遞過程。

第二節動量、熱量與質量傳遞的類似性

一、分子傳遞的基本定律

如物系中存在著速度、溫度和濃度梯度，則分別發生動量、熱量和質量的傳遞現象。

動量、熱量和質量傳遞，既可由分子的微觀運動引起，也可由旋渦混合造成的流體微團的

宏觀運動引起。前者稱為分子傳遞，后者稱為渦流傳遞。由分子運動引起的動量傳遞，可

采用牛頓粘性定律描述；由分子運動引起的熱量傳遞為熱傳導的一種形式，可采用傅立葉

定律描述；而分子運動引起的質量傳遞稱為分子擴散，則采用費克定律描述。牛頓粘性定

律、傅立葉定律和費克定律都是描述由分子運動引起的傳遞現象的基本定律。

（一）牛頓粘性定律

牛頓粘性定律可用式（1-16）表示?

4

式（1-16）中剪應力「是作用在與y方向相垂直的單位面積上的力,也表示y方向的動量通

量。式中的負號表示動量通量方向與速度梯度方向相反,即動量朝著速度降低的方向傳遞。〃

為流體的動力粘度，一般簡稱為粘度。

（二）傅立葉定律

對于導熱現象，可采用傅立葉定律（Fourier'slaw）描述

式中的q為y方向的導熱速率；A為垂直于熱流方向（y向）的導熱面積。式中負號表示熱通

量方向與溫度梯度方向相反，即熱量是朝著溫度降低的方向傳遞的。

導熱系數上是物質的物理性質。不同物質的左值差別很大。對于同一物質，導熱系數

主要是溫度的函數，壓力對它的影響不大，但氣體的導熱系數在高壓或真空下則受壓力的

影響。對于同一物質，發值可以隨不同方向變化，若左值與方向無關，則在此情況下的導

熱稱為各向同性導熱。

（三）費克定律

在混合物中若各組分存在濃度梯度時，則發生分子擴散。對于兩組分系統，分子擴

散所產生的質量通量，用用下式描述人士“二二

式中負號表示質量通量的方向與濃度梯度的方向相反，即組分A朝著濃度降低的方向

傳遞。擴散系數與組分的種類、溫度、組成等因素有關。

由牛頓粘性定律、傅立葉定律和費克定律的數學表達式（1-6）、（1-24）、（1-25）可以看出，動

量、熱量與質量傳遞過程的規律存在著許多類似性，即各過程所傳遞的物理量都與其相應的

強度因素的梯度成正比，并且都沿著負梯度（降度）的方向傳遞。各式中的系數只是狀態函數,

與傳遞的物理量及梯度無關。因此，通常將粘度、導熱系數和分子擴散系數均視為表達傳遞

性質或速率的物性常數。由于上述三式中，傳遞的物理量與相應的梯度之間均存在線性關系,

故上述這三個定律又常稱為分子傳遞的線性現象定律。

二、動量通量、熱量通量與質量通量的普遍表達式

（一）動量通量

（動量通量尸一（動量擴散系數）*（動量濃度梯度）

（二）熱量通量

（熱量通量）=—（熱量擴散系數）*（熱量濃度梯度）

（三）質量通量

（質量通量）=一（質量擴散系數）*（質量濃度梯度）

（四）分子傳遞的類似性

通過以上對于動量通量、熱量通量和質量通量的分析，可得到以下幾點結論。

（1）動量、熱量和質量傳遞通量，均等于各自量的擴散系數與各自量濃度梯度乘積的負

值，故三種分子傳遞過程可用一個普遍的表達式來表述，

即（通量）=-（擴散系數）*（濃度梯度）

（2）動量、熱量和質量擴散系數具有相同的因次。

（3）通量為單位時間內通過與傳遞方向相垂直的單位面積上的動量、熱量和質量。各量

的傳遞方向均與該量的濃度梯度方向相反，故通量的普遍表達式中有一負號。

通常將通量等于擴散系數乘以濃度梯度的方程稱為現象方程（phenomenologicalequation）它

是一種關聯所觀察現象的經驗方程。動量、熱量和質量傳遞過程有統一的、類似的現象方

程。

動量擴散系數（運動粘度）V、熱量擴散系數（導溫系數）a和質量擴散系數DAB可分別采

用式（1-26）、（1-27）和（1-25）定義，三者的定義式均為微分方程。

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動量、熱量和質量濃度梯度分別表示該量傳遞的推動力。對于各量傳遞的方向和梯度方

向可作如下規定：沿坐標軸（y軸）方向為傳遞的正方向，即當y值增加時，速度、溫度和組

分A濃度的值都降低，

但依梯度的定義，其相應量增加的方向為梯度的正方向，故此處坐標軸的相反方向（-y）

即為梯度的正方向，亦即傳遞方向與梯度方向相反。因此，現象方程中有“負”號時表示

傳遞方向與坐標軸方向相同而梯度與坐標軸方向相反。反之，現象方程中有“正”號時，

表示傳遞方向與坐標軸方向相反，而梯度方向與坐標軸方向相同。

第三節傳遞過程的衡算方法

動量、熱量與質量傳遞的規律，根據欲解決的問題需要，可以在設備尺度、流體微團

尺度和分子尺度三種不同范圍進行分析研究。分子尺度范圍的傳遞過程是由分子微觀運動

引起，其宏觀上的傳遞規律已在上一節中用現象方程描述。對于設備尺度和流體微團尺度

范圍的傳遞規律，則依據守恒原理運用衡算（Balance）方法進行。

依據質量守恒、能量守恒（熱力學第一定律）和動量守恒（牛頓第二運動定律）的原理，對

設備尺度范圍進行的衡算稱為總衡算或宏觀衡算；對流體微團尺度范圍進行的衡算稱為微

分衡算或微觀衡算。

進行衡算時必須確定一空間范圍，這一衡算的空間范圍稱為“控制體”，包圍此控制

體的邊界面稱為“控制面”。控制體大小、幾何形狀的選取則根據流體流動情況、邊界位置

和研究問題的方便等來確定。

一、總衡算

總衡算或宏觀衡算是針對某設備或其代表性部分，依據守恒原理進行傳遞規律的研究。

因此，控制體為一宏觀的空間范圍。總質量衡算是依據質量守恒定律，探討控制體進出口流

股的質量變化與內部流體總質量變化的關系。總能量衡算是依據能量守恒定律（熱力學第一

定律），探討控制體進出口及環境的狀態、能量變化與內部總能量變化的關系。總動量衡算是

依據動量守恒（牛頓第二運動定律），分析控制體進出口流股的動量變化與內部動量變化及受

力作用的關系。

總衡算的特點是由宏觀尺度的控制體外部（進出口及環境）各有關物理量的變化來考察

控制體內部物理量的總體平均變化，而對控制體內部逐點的詳細變化規律無法得知。

衡算可以解決工程實際中的物料衡算、能量轉換及消耗、設備受力等問題。下面討論

有關總質量和總能量衡算問題，關于總動量衡算，可參閱有關著作。

（一）總質量衡算

1.簡單控制體

簡單控制體系指控制體是流動系統中的某一段管道、一個或數個設備等。流體的進

出口可以有若干個，進出口流體的流速方向與控制面垂直。

2.總質量衡算的通用表達式

將質量守恒原理應用于控制體為任一宏觀空間范圍、有多個進出口且流動方向與控制

面的法向存在夾角的情況，可以得出總質量衡算方程的一般形式。

（二）總能量衡算

總能量衡算在化工管路計算、流體輸送機械的選擇以及流量測量等諸多方面有著廣

泛的應用。下面首先根據能量守恒原理推導總能量衡算方程的一般形式，然后再介紹這一

方程在化工流動系統中的應用。

『puEcosadA+'OIJ

二、微分衡算

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上面討論的總衡算方法，是由控制體外部（進出口及環境）有關流體物理量變化來考

慮內部物理量的總體平均變化情況，而對于控制體內部流體物理量逐點的變化規律無法解

決。例如對于流體流過管截面的流速情況，總質量衡算只能解決主體平均流速問題，而截

面上各點的速度變化規律（速度分布）則無法求解。

要進一步探討動量、熱量與質量傳遞規律問題，必須在流體微團尺度范圍的控制體中

進行微分衡算，導出微分衡算方程，然后在特定的邊界和初始條件下將微分方程求解，才

能得到描述流體流動體系中每一點的有關物理量隨空間位置和時間的變化規律。

微分衡算是在流體任一微分的體積單元即微元體中進行，故又稱微觀衡算。

微分衡算所依據的物理定律與總衡算一樣，微分質量衡算依據質量守恒原理；微分能

量衡算依據能量守恒即熱力學第一定律；微分動量衡算則依據動量守恒即牛頓第二運動定

律。

在傳遞過程中，對單組分流體流動系統或不考慮組分濃度變化的多組分流體流動系統，

進行微分質量衡算所導出的方程稱為連續方程。對流體流動系統，進行微分能量衡算所導出

的方程稱微分能量衡算方程或能量方程。對流體流動系統，進行微分動量衡算所導出的方程

稱運動方程。對組分濃度變化的多組分流體流動系統中某一組分，進行微分質量衡算所導出

的方程稱為微分質量衡算方程或對流擴散方程。

依據守恒原理，運用微分衡算方法所導出的連續性方程、能量方程、運動方程和對流

擴散方程統稱為變化方程。描述分子傳遞的現象方程即牛頓粘性定律、傅立葉定律和費克

定律又稱本構方程。變化方程和本構方程是動量、熱量與質量傳遞過程理論計算的基本方

程。

【講稿】

第二章動量傳遞概論與動量傳遞微分方程（4學時）

如前所述，為了揭示流體流動系統內部物理量的變化規律，解決諸如速度分布、壓力

分布、流動阻力的計算等問題，必須進行微分質量與微分動量衡算。本章通過對等溫流動

體系進行微分質量衡算和微分動量衡算，建立描述動量傳遞的變化方程一一連續性方程與

運動方程。

第一節描述流動問題的兩種觀點

在推導流體流動的微分衡算方程之前，首先對推導方程采用的觀點及物理量的時間導數

作一簡單介紹。

一、歐拉觀點與拉格朗日觀點

在研究和分析流體流動時，常采用兩種觀點：歐拉（Euler）觀點與拉格朗日關點（Lagrange）。

（一）歐拉觀點

歐拉觀點以相對于坐標固定的流場內的任一空間點為研究對象，研究流體流經每一空間

點的力學性質。如果每一點的流動規律都已經知道，則整個流場的運動規律也就知道了。其

具體方法是，在流體運動的空間中取一位置、體積均固定的流體微元，對此流體微元依據守

恒定律作相應的衡算，可以得到相應的微分方程。為了獲得整個流體的運動規律，可以對微

分方程積分。

采用歐拉觀點進行微分衡算時，選取的衡算范圍為一微團尺寸范圍的控制體（流體微元）。

它的特點是體積、位置固定，輸出和輸入控制體的物理量隨時間改變。

（二）拉格朗日觀點

與歐拉觀點不同，拉格朗日觀點的著眼點不是流體空間上的固定點，而是流體運動的

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質點或微團，研究每個流體質點自始至終的運動過程。如果知道了每一個流體質點的運動

規律，則整個流場的運動狀況也就清楚了。在微分衡算中，采用拉格朗日方法是在運動的

流體中，選取任一質量固定的流體質點，將守恒定律用于該流體質點，進行相應的微分衡

算，從而得出描述物理量變化的微分方程。

采用拉格朗日觀點進行微分衡算時，所選取的流體質點的特點是質量固定，而位置和體積

是隨時間變化的。這是由于質點隨流體一起運動，而流體在不同位置的狀態不同，故質點

的體積亦隨之受到壓縮或膨脹。

將上述流體質點稱為微元系統，系統外的流體稱為環境。

在微分衡算方程的推導過程中，這兩種觀點均可采用，但選擇哪一種觀點比較合適，

則視問題的分析研究較為簡化而定。本章推導連續性方程采用歐拉觀點，而推導運動方程

則采用拉格朗日觀點

二、物理量的時間導數

在動量、熱量與質量傳遞過程中，眾多物理量如密度、速度、溫度等隨時間的變化率，

是傳遞過程速率大小的量度。物理量的時間導數有三種：偏導數、全導數和隨體導數。下

面以測量大氣的溫度t隨時間e的變化為例說明之。氣溫隨空間位置和時間變化，可表

為r="x,y,z,0）,/為空間和時間的連續函數。

第二節連續性方程

在單組分等溫流體系統（如水）或組成均勻的多組分混合物系統（如空氣）中，運用質量守

恒原理進行微分質量衡算，所得方程稱為連續性方程。

一、連續性方程的推導

連續性方程的推導采用歐拉觀點。如圖2-1所示，在流場中的空間點M（x,y,z）處取

一微元控制體dv=dxdydz,其相應的各邊分別與直角坐標系的x、y和z軸相平行。設位于

M點處流體的速度為u,密度為P,且u和P均為空間和時間的函數。

根據質量守恒原理，對所選取的控制體進行質量衡算，得

（流出質量流率）-（流入質量流率）+（累積質量速率）=0

我。1琦+或"%ap%）上eP_

dx?~~oT~前=°N

式（2-6）即為流體流動時的微分質量衡算方程，亦稱連續性方程。任何流體的流動均滿足此

方程，即對于穩態或非穩態流動、理想流體或實際流體、不可壓縮流體或可壓縮流體、牛

頓型或非牛頓型流體均適用。連續性方程是研究動量、熱量與質量傳遞過程的最基本和最

重要的微分方程之一。

二、對連續性方程的分析

三、柱坐標與球坐標系的連續性方程

化工過程中所處理的流體大多為圓形管道或容器內的流動，此時采用柱坐標來表達微分

衡算方程要比直角坐標方便。又如流動系統為球形或球形的一部分時，宜采用球坐標系的方

程。下面給出這兩種坐標系對應于式（2-6）的連續性方程的推導結果，其推導過程從略。

第三節運動方程

通過微分動量衡算，可以導出流體的運動方程。運動方程與連續性方程結合起來，可

以處理許多流體流動問題。

一、用應力表示的運動方程

（一）動量守恒定律在流體微元上的表達式

任何物體的運動，都遵循動量守恒定律即牛頓第二定律，流體的運動也不例外。將牛

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頓第二定律應用于運動著的流體時，可理解為：流體的動量隨時間的變化率應等于作用在

燈d（.W?）

該流體上的諸外力向量之和，即d”

由于采用拉格朗日觀點，故在推導微分動量衡算方程時，可在流場中選一固定質量的

流體微元即微元系統，如圖2-3所示，考察該微元系統隨環境流體一起流動過程中的動量

變化。

（二）作用在流體上的外力分析

式（2-18）左側的dF為作用在微元系統上的合外力。在第一章流體平衡微分方程的推

導中已提到，按作用力的性質，可將其劃分為兩類：體積力和表面力，下面將這兩類力更

深人地予以討論。

1.體積力

體積力（Bodyforce）亦稱質量力，是作用在所考察的流體整體上的外力，它本質上是

一種非接觸力。例如地球引力、帶電流體所受的靜電力、電流通過流體產生的電磁力等均

為體積力。

fB=Xi+Yj+Zk

2.表面力

流體微元與其周圍環境流體（有時可能是固體壁面）在界面上產生的相互作用力稱為表

面力（surfaceforce）□表面力又稱為機械力，本質上是一種接觸力。

（三）用應力表示的運動方程

根據前面的討論可知，作用在流體微元系統上的合外力為體積力與表面力之和，即

dF=dFs

下面以圖2-3所示的流體微元所受到的機械應力或表面應力的情況為例進行討論。圖中示

出的流體微元的6個表面上都受著與之毗鄰的環境流體而來的機械應力。每一個這樣的機械

應力，在直角坐標系上又都可以分解成為三個平行于x,y和z三個坐標軸的應力分量。在圖

2-3中僅示出了尤方向上的這種機械應力分量。圖2-3中的機械應力分量的下標含義同前。

下面首先考察微元流體系統在尤方向上受到的體積力和表面力。顯然

dF「dFt、+dF：

對于三維流動系統，可以從理論上推導應力與形變速率之間的關系，但其內容已超出本

課程的范圍。下面僅給出應力與形變速率之間關系的表達式，其推導過程可參見有關專著。

（一）剪應力

在第一章中曾經指出，對于牛頓型流體的一維流動，當速度梯度與y軸方向相同時，

剪應力與剪切速率（或形變速率）成正比，即du：

式（2-33）僅可用于描述一維流動時剪應力修圜切速率之間的關系，對于三維流動，情況

要復雜得多，每一剪應力與其相應兩方向的形變速率有關。

（二）法向應力

第一章曾經指出，流體靜止時，法向應力在數值上即為流體的靜壓力。當流體流動時，

這一關系并不成立。它是由兩部分組成的：其一是流體的壓力，它使流體微元承受壓縮，

9

發生體積形變；其二由流體的粘性作用引起，它使流體微元在法線方向上承受拉伸或壓縮

發生線性形變。

三、奈維.斯托克斯方程

現將牛頓型流體的本構方程(2-34)及(2-35)代人式(2-27)中，經簡化后即可得流體的運

動方程的最終形式為

21

u

UuJ

四、對奈維-斯托克斯方程的分析

(一)方程組的可解性

以直角坐標系的奈維一斯托克斯方程(2-36a、b、c)為例討論。對于等溫流動(〃=常數)，

方程中共有5個未知量，而方程亦有5個，即連續性方程(2—6)和運動方程(2—36a)、(2-36b)、

(2-36c),以及流體的狀態方程f(P,p)=0。因此原則上講，奈維一斯托克斯方程是可以應

用數學方法求解的。

但事實上到目前為止，還無法將奈維一斯托克斯方程的普遍解求出，其原因是方程

組的非線性以及邊界條件的復雜性，只有針對某些特定的簡單情況才可能求得其解析解。

奈維一斯托克斯方程描述的是任一瞬時流體質點的運動規律。原則上講，方程既適用于層

流，也適用于湍流。但實際上只能直接用于層流，而不能直接地嚴格解決湍流問題。(二)

初始條件與邊界條件

在求解運動方程時，應滿足一定的初始及邊界條件。初始條件系指d=0時，在所考

慮的問題中給出下述條件：u=u(x,y,z),p=p(x,y,z)

邊界條件的形式很多，下面僅給出最常見的三種邊界條件

(1)靜止固面：在靜止固面上，由于流體具有粘性，u=0；

(2)運動固面：在運動固面上，流體應滿足

(3)自由表面：通常的自由表面系指一個流動的液體暴露于氣體(多為大氣)中的部分界面。

【講稿】

第三章動量傳遞方程組的若干解(4學時)

第二章導出的連續性方程與奈維-斯托克斯方程是描述流體流動規律的基本方程組。

從本章開始，討論該方程組的求解問題。

對于任何層流流動問題，原則上都可以通過求解上述方程獲得流動的速度分布、壓力

分布，進而計算動量傳遞的速率即流動阻力。但由于方程本身的非線性特點，即使是對于

層流流動，也僅僅對于比較簡單、為數較少的流動情況，才能直接獲得方程的解析解。這

是由于這類簡單的流體流動問題，不但可以將上述的三維非線性方程簡化成二維、甚至一

維的線性方程，而且方程中的若干項可能為零而從方程中消去。例如，求解圓管中的層流

問題時，就可以對奈維一斯托克斯方程作上述簡化。本章第二和第三節將討論這類典型問

題。

工程實際中的許多流動問題，直接采用上述解析方法往往是困難的。于是，為滿足工

程實際的需要，人們提出了另外一種求解途徑，即根據待求問題的特點，比較方程中各項

物理量的相對大小，將某些雖然不等于零但對流動影響較小的項略去，使方程得以簡化，

然后再分析求解。例如本章對于爬流、勢流問題的處理就是采用這種方法。在求解微分動

量衡算方程之前，先對動量傳遞速率的若干基本概念予以介紹。

第一節阻力系數

粘性流體動量傳遞研究的重點問題之一是動量傳遞的速率即流體流動的阻力。

10

流體的阻力是由于壁面的介入，使得流體內部產生動量濃度梯度而進行動量傳遞，從而消

耗了流體能量的結果。

流體流動問題按其流動方式大致可分為兩類：流體在封閉通道內的流動和圍繞浸沒

物體的流動(繞流)。前者如化工管路中的流體流動，后者如流體在平板壁面上的流動、粒

子的沉降、填充床內的流動等等。下面分別給出兩種情況下的阻力系數的定義。

(一)繞流流動與曳力系數

當粘性流體流過一個固體表面或圍繞浸沒物體流動時，流體將要受到壁面的阻力，而

物體則受到流體所施加的曳力(dragforce)?因此曳力和阻力的方向相反，是一個事物的兩

個方面。

現以圖3-1的流體繞過置于流場中的一根長圓柱體流動的情況為例進行討論。理論分

析和實驗均證明，流體對柱體所施加的曳力可用下式表示9=%三'"八

總曳力R1由兩部分組成：一部分是壓力分布在物體表面上不對稱所引起的形體曳力

(formdrag)或稱壓差曳力；另一部分是物體表面上剪應力所引起的摩擦曳力(viscousdrag

或skindrag)。總曳力為形體曳力與摩擦曳力之和。

(二)管內流動與范寧摩擦因數

許多工程流體流動特別是化工流體輸送過程，流體是在封閉導管內部流動。

上式即為范寧摩擦因數f的定義式。f亦可用動量傳遞理論推導或實驗方法求得，通

過f可計算流體在管內流動的阻力。

第二節平壁間與平壁面上的穩態層流

在求解微分衡算方程時，應適當地選擇坐標系。坐標系的選擇原則是使被研究的問題

在選定的坐標系上具有對稱性，以便減少獨立的空間參數。在本章中求解運動方程時，對

于平壁間的流體流動采用直角坐標系，對于圓管中的流體流動采用柱坐標系，而對于繞過

球體的爬流，則采用球坐標系。

一、平壁間的軸向平行層流

在工程實際中，經常遇到流體在兩平壁間作平行穩態層流流動的問題，例如板式熱交

換器、各種平板式膜分離裝置等。這類裝置的特點是平壁的寬度遠遠大于兩平壁間的距離，

因此可以忽略平壁寬度方向流動的變化，即認為平壁為無限寬，流體在平壁間的流動僅為簡

單的一維流動。

加X4弭dll.

而不&一°o

二、平壁面上的降落液膜流動

流體在垂直平壁面上呈膜狀向下流動是化工過程經常遇到的一種流動方式，它涉及多

種傳熱、傳質過程，例如膜狀冷凝、濕壁塔吸收等。圖3-4示出一垂直放置的固體壁面，液

體在重力作用下成膜狀沿壁面下流。液膜內流動速度很慢，呈穩態層流流動。液膜的一側緊

貼壁面，另一側為自由表面。下面從連續性方程和運動方程出發，求解液膜內的速度分布、

主體平均流速及液膜厚度。

下面確定邊界條件。在壁面處，流體粘附于壁面，流速為零；而液膜的外表面為自由

11

表面，剪應力為零，故有

液膜內的主體流速可如下求得：如圖3-4所示，在z方向上取一單位寬度，并在液膜內的

任意x處，取微分長度d.r,則通過微元面積dA=dx?⑴的流速為uy,體積流率為dVs=

uydx(l)o于是，通過單位寬度截面的體積流率為

第三節圓管與套管環隙間的穩態層流

一、圓管中的軸向穩態層流

流體在圓管中的流動問題在物理學、化學、生物學和工程科學中經常遇到。下面考

察不可壓縮流體在水平圓管中作穩態層流流動的情況，并設所考察的部位遠離管道進、出

口，且流動為沿軸向(z方向)的一維流動，如圖3-5所示。

對于管內流動問題，采用柱坐標系表示的連續性方程(2-14)和奈維-斯托克斯方程(2-39)進

行分析比較方便。

叫+峰…)+工裊外

%)+pu)=0

d0rdrr,「88、2

10,一1L

V7C<rilr)+-Z--------+—-=0

0rr

rOffft化工傳遞過程基礎

Zk>0Hr帆”,而，<0ar

r7T里---廠+u-----+------------------+ic------

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10Pd1e\面z1"",也，

_+——

，無，*dr入S2a?

1tJ

17:2236

12

化工傳遞過程基礎

弧年/=0，冊=0，〃8=0加

—1-=0

duz!dJ=()(^uz/d42=()*

快傳遞過程基礎

_濡竹庫盛損段淮管環隙空間沿軸向的流動在物料的加熱或冷

一、套^牌亶黜爨'嘲鐘套管換熱器。如圖3-6所示，有兩根同心套37

流體便根胸管的圜端經海t沿軸曲葡的耕曲翎物如熱麗圍縮流韓朝例如套管

換熱器。管胡隙-間喝軸向鐮稱嘴鷹轡察朕嘟位逃離海8出雌白啜解套管r2,不可

壓縮流御隙甫擱翅融漏、流崖體編藏圖電■角降前裳遇式V求解套管環隙內的速

度分布、主此解眥理僦的集■性方程和運動方程的分析可知，描述

圓管層流流動的運舉方程優44）餌嬲，即

d

z常數

1ddu丁呼

rrdrz

rdrdrdz

但邊界條件變為

(1)r=0,"z=0

die

⑶「=rmax-nz="max，~~~=0

(2)r=r2.wz=0

三、同1724心套管環隙間的周向層流45

流體在兩個轉動的長同心圓筒環隙間的周向流動（9方向）也是一種常見的流體流動形

式。用于測量流體粘度的旋轉粘度計就是依據此原理制成的。

（一）速度分布

圖3-7所示為兩個垂直的同軸圓筒，內筒的半徑為a,外筒的半徑為b,在兩筒的環

隙間充滿不可壓縮流體。當內筒以角速度31、外筒以角速度32旋轉時.將帶動流體沿

圓周方向繞軸線作層流流動。若圓筒足夠長，端效應可以忽略。

對此流動問題，采用柱坐標系的連續性方程與運動方程求解較為方便。柱坐標下不

可壓縮流體的連續性方程為

（二）旋轉粘度計原理

在柱坐標中，，方向上的剪應力與形變速率的關系為

Q；u?\,1M

13

4itb^aL

第四節爬流

根據第二章對運動方程的分析可知，運動方程的每一項都代表著作用在流體質點上

的力，其中對流動起決定作用的是慣性力和粘性力，而壓力是在二者之間起平衡作用的一

種力。因此，如果一個流動問題的粘性力遠大于慣性力即粘性力起主導作用時，則從物理

上說，可以將運動方程中的慣性力項全部或部分地略去，得到簡化的線性方程。本節對爬

流的處理即屬于此種情況。

(一)爬流的概念與爬流運動方程

爬流，又稱蠕動流(creepingflow),是指非常低速的流動，細粒子在流體中的自由沉

降、氣溶膠粒子的運動以及某些潤滑問題，均屬于典型的爬流問題。

下面通過對不可壓縮流體的運動方程作適當處理建立爬流時的運動方程。以x方向

的運動方程(2-37a)為例討論

tl

("z/"z

OZ或步a?

(二)粒子在流體中的沉降與斯托克斯定律

斯托克斯(Stokes)定律描述粒子以極低雷諾數(Re<l)在流體中沉降時的運動規律。如

圖3-8所示，一個半徑為的球形粒子在靜止的無界粘性不可壓縮流體中以速度作勻速

直線運動。由于雷諾數Re很小，故可以由爬流的運動方程出發，求出流體受粒子干擾后的

速度分布、壓力分布以及球形粒子所受的曳力。

根據伽利略相對性原理，上述問題等價于無窮遠處速度為的粘性不可壓縮流體繞

過球形粒子的穩態流動。化工傳遞過程基礎

1dp

rd3dr

(2-40)

邊界條件為(1)「=「0(球面上).，=0,〃8=0

(2)r=oo,wr=n0cos0,it-MQsin0,p=p0

上述方程可采用分離變量法求解，具體步驟讀者可參閱有關著作。下面僅給出求解結果

17:3271

14

式(3-77a)至(3-77c)是由3個偏微分方程構成的線性

偏微分方程組，用來確定3個為知量，

和。上述方程可采用分離變量法

求解，具體步驟讀者可參閱有關著作。下面僅給出求解

結果

r(\/pi

.3roIro

PH—Icose

_「(3-79)

磁傳遞過程基礎

A

17:33

=21優

(rrrcosJ-r八夕sin^)sin夕dA

=2兀〃(%+4兀〃rouQ

=66〃r0n0

=bd廣Fds

(383)

由式(3-83)亦式可供口比3),球僦蜥受為的斯?托力中克,斯2/方理為摩，擦它阻表力，明1/球林為所形

體受阻的力阻。力斯托克與斯方儺)是成將正運膾肪，程與作球零級體近的似半即全徑部忽喊)以慣及

性力猛體求廨的粘結度為亦了瞰鼻遜辨蟹族點…奧由堿Oseen)(蝴將運動亦方可

程知作-,級球嘛以即所保受留的部分阻慣力性械1廝/：渡為結摩嚅為

阻力，1/3為形體阻力。

17:3477

第五節勢流

對于大Re數的流動問題，與上一節爬流的情形相反，粘滯力的作用遠小于慣性力。

此時除了貼近物體壁面的區域不能忽略粘性力的影響之外，流動的大部分區域可按理想流

體處理。研究理想流體流動的學科稱為理論流體動力學，在航空航天、水利工程等領域應

用廣泛。例如，在研究流體繞過沉浸物體流動的問題時，理想流體的理論可以用來解決壓

力分布等問題。

(一)理想流體的運動方程化工傳遞過程基礎

理想流體弧面*：(2-36a、b、c)簡化得到,

即此“x---+My——

即xdxy?

_y1bp

oep°y

dudududii7

H—--+ri--+--N__L型

dxydv"&dGpdz

15

17:3683

（二）流體的旋度與速度勢函數

1.流體的旋度

流體運動時，流體質點除了沿著一定的路徑作平動之外，還可能產生形變和旋轉運動。

描述流體質點旋轉性質的物理量稱為流體的旋度，其定義為

2.速度勢函數

（三）勢流

所謂勢流，是指理想流體的無旋流動。下面討論勢流的求解問題。將速度勢函數的定義

式（3-90a、b、c）代人不可壓縮流體的連續性方程（2-12）中，有

.2.2-2

o（po<pO（P

..-T---—+---=0

2a?

在工程實際中，勢流常用于預測流場的壓力分布、流量的測量等。如圖3-10所示。當流體

以勢流繞過一長圓柱體流動時，由于理想流體無粘性，故當它流過圓柱體時，在柱體表面

處滑脫。

【講稿】

第四章邊界層流動（4學時）

從第三章討論粘性流體運動方程的求解方法可知，直接簡化方程而獲得的解析解為數

甚少，遠遠不能滿足工程實際的需要。而小Re數下的爬流流動也只能包括一部分實際問題，

例如重力沉降、潤滑理論等。大量工程問題所遇到的課題絕大部分都是大Re數的情形。這

是因為自然界中最常見的流體是水和空氣，它們的粘性都很小，如果與流動相關物體的特

征尺寸及流體的特征速度都不太小的話，則Re數可以達到很高的數值。由此可見，研究大

Re數的流動問題具有重大的實際意義。

與爬流的情形正好相反，大Re數的流動問題表現為流體的慣性力遠遠大于粘性力。那

么是否也可以忽略粘性力的影響，而將奈維-斯托克斯方程簡化成理想流體的歐拉方程呢?大量

的實驗研究表明，答案是否定的。如果完全忽略粘性力的影響，就會導致與實際情況不相符

的錯誤結果。

這里當然會產生這樣的疑問：為什么對于雷諾數很小的流體，可以忽略慣性力的影響，

而對于雷諾數很大的流體，卻不能忽略粘性力的影響？

這個問題直到德國力學家普蘭德（Prandtl）提出了邊界層理論之后才獲得了令人滿意

的解決。多年來，邊界層理論已經發展成為流體動力學中最重要的學說之一。在化學工程

領域中，邊界層學說除了與流體動力學過程直接有關外，也與傳熱過程和傳質過程密切相

關。

第一節邊界層的概念

一、普蘭德邊界層理論的要點

邊界層學說是普蘭德于1904年提出的，其理論要點為：當實際流體沿固體壁面流速動

時，緊貼壁面的一層流體，由于粘性作用將粘附在壁面上而不“滑脫”，即在壁面上的流為

零;而由于流動的Re數很大，流體的流速將由壁面處的零值沿著與流動相垂直的方向迅速增

大，并在很短的距離內趨于一定值。換言之，在壁面附近區域，存在著一薄的流體層。在

16

該層流體中，與流動相垂直方向上的速度梯度很大。這樣的一層流體稱為邊界層。在邊界

層內，絕不能忽略粘性力的作用。而在邊界層以外的區域，流體的速度梯度則很小，幾乎

可視為零，因此在該區域中完全可以忽略粘性力的作用，將其視為理想流體的流動。普蘭

德的邊界層理論已被大量的實驗研究所證實。

二、邊界層的形成過程

現以一粘性流體沿平板壁面的流動說明邊界層的形成過程，如圖4-1所示。一流體

以均勻一致的流動速度流近壁面，當它流到平板前緣時，緊貼壁面的流體將停滯不動，

流速為零，從而在垂直于流動的方向上建立起一個速度梯度。與此速度梯度相應的剪應力

將促使靠近壁面的一包播抹蛇磕;擊神碣耳於的而汴見巨山干前'由為對其外的流體持續

作用，促使更多E的流體的流速分布

如圖4-1所示。可

I.I:dSB(3篇施邊界培

~";一一展一；

在湍流邊界后，這一薄流體層

稱為層流內層或后

Re央〃

對于平板壁面上的流動，雷諾數的定義為’“

化工過程中經常遇到的是流體在導管內的流動。管內流動同樣也形成邊