試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專(zhuān)題05數(shù)列真題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專(zhuān)用）一、單選題1．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）滿(mǎn)足對(duì)任意有且嚴(yán)格遞增的數(shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．無(wú)窮多個(gè) D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【分析】由題設(shè)可得，故可求，故可判斷符合條件的數(shù)列的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)，根據(jù)題意，有，從而，進(jìn)而，順此只有當(dāng)時(shí)，為嚴(yán)格遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列．故選：B.2．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意，有，其前n項(xiàng)和為，則的最大值等于（

）A．28 B．35 C．47 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列為遞減數(shù)列且從第5項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)，故可求的最大值.【詳解】根據(jù)題意，有，于是數(shù)列為8，4，，…，從第3項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，因此數(shù)列從第3項(xiàng)起單調(diào)遞減，而數(shù)列為，因此的最大值為．故選：A.3．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)x，y，z均不為，其中k為整數(shù)．已知成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【分析】利用和差化積、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，有，根據(jù)和差化積公式，可得，由和差角公式可得，兩邊同除以，可得，因此成等差數(shù)列，故選：C4．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知整數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意，有，則的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．4 C．2 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得，從而各項(xiàng)個(gè)位數(shù)字周期性出現(xiàn)，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，有，因此，從而，于是模10的余數(shù)為n123456789101448402886n111213141516171819208046626082n212223242526272829302420644840從第2項(xiàng)起，以24為周期，因此．故選A.5．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且實(shí)數(shù)p滿(mǎn)足．則p的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求數(shù)列的通項(xiàng)，再求出數(shù)列的最大值和最小項(xiàng)后可得正確的選項(xiàng).【詳解】在題中等式中分別令，有，，，于是，，進(jìn)而可得，．接下來(lái)考慮p的取值范圍．根據(jù)題意，p在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)之間．一方面，有，即．另一方面，當(dāng)時(shí)，有，且，于是有．綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍是．故選：A.6．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，若正整數(shù)m滿(mǎn)足，則m的最小值為（

）A．23 B．24 C．25 D．以上答案都不對(duì)【答案】B【分析】可證且，從而可得m的最小值.【詳解】引入?yún)?shù)，k，嘗試證明，該不等式若能遞推證明，需要，也即，取，則遞推證明成立，此時(shí)遞推起點(diǎn)可以選擇當(dāng)時(shí)取，有，這樣就得到了．類(lèi)似的，引入?yún)?shù)，p，嘗試證明，該不等式若能遞推證明，需要，也即，取，則遞推證明成立，此時(shí)遞推起點(diǎn)可以選擇當(dāng)時(shí)取，有，這排就得到了．綜上所述，m的最小值為24．故選：B.7．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)是與的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)，是與的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)．記的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)可得且，故可求的值.【詳解】容易證明的小數(shù)部分不可能為0.5，因此，整理可得，故，注意到當(dāng)時(shí)，，因此．類(lèi)似的，有，整理可得，故，注意到當(dāng)時(shí)，，因此．綜上所述，有．故選：A.二、多選題8．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）A．存在數(shù)列A，使得B．存在數(shù)列A，使得C．存在數(shù)列A，使得D．存在數(shù)列A，使得【答案】BC【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得可以取從到的所有奇數(shù)且，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋梢匀牡降乃衅鏀?shù).而，取可得，因此．而可以取從到21的所有奇數(shù)（可以遞推證明可以取從到的所有得數(shù)，可以取從到的所有奇數(shù)），因此可以取2（當(dāng)時(shí)）和10（當(dāng)時(shí)），無(wú)法取得0，12．故選：BC.9．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意，均存在，使得，則稱(chēng)數(shù)列為T(mén)數(shù)列．下列命題中正確的有（

）A．若則為T(mén)數(shù)列B．若（其中a為常數(shù)），則為T(mén)數(shù)列C．若均為T(mén)數(shù)列，，則為等差數(shù)列D．若為等差數(shù)列，則存在兩個(gè)T數(shù)列，，使得【答案】ABD【分析】求出前項(xiàng)和后可判斷AB的正誤，對(duì)于D，可將等差數(shù)列分拆為兩個(gè)等差數(shù)列，它們的公差為首項(xiàng)，從而可判斷D的正誤，通過(guò)反例可判斷C的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)應(yīng)的，因此取即可，命題正確．對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)應(yīng)的，因此取即可，命題正確．對(duì)于選項(xiàng)C，取且，則，不為等差數(shù)列．對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，則考慮，取，則命題成立．綜上所述，選項(xiàng)ABD正確．故選：ABD.三、填空題10．（2022·福建·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n，有，則___________.【答案】【詳解】設(shè)的公比為q，則由得，結(jié)合，得，，又，因此，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以，因此，對(duì)一切正整數(shù)n，，設(shè)，則，，于是，，所以，故答案為：.11．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且求．【答案】【詳解】若n為偶數(shù)，則，即，所以，于是．故．若n為奇數(shù)，則，即，所以．于是，；故答案為：.12．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.若，則___________.【答案】或56##56或9.【詳解】解析：（1）當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，所以，，或，解之得或，經(jīng)檢驗(yàn)，.（2）當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，或，解之得或，所以或8，經(jīng)檢驗(yàn)，.②當(dāng)時(shí)，，所以，無(wú)解.綜上所述，或56.故答案為：或56.13．（2022·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）已知與均為完全平方數(shù)且不超過(guò)2022，則正整數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.【答案】1【分析】根據(jù)題意整理可得：，構(gòu)建佩爾方程，先結(jié)合題意得，再根據(jù)廣義佩爾方程的通解可得，再根據(jù)特征方程可得二階線(xiàn)性遞推公式，代入檢驗(yàn)判斷．【詳解】設(shè)化簡(jiǎn)得到，即，由于為佩爾方程的一組解，由佩爾方程的性質(zhì)知其有無(wú)窮多組解，對(duì)其任意一組解，由于，所以為被3整除的正奇數(shù).則，知這樣的均為正整數(shù).由于，知，所以，為佩爾方程的基本解由佩爾方程的通解知，由特征方程知其所對(duì)應(yīng)的遞推公式為，得，因此僅滿(mǎn)足條件，此時(shí).所以這樣的為1個(gè).故答案為：1．14．（2022·浙江·高二競(jìng)賽）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，則的值為_(kāi)_____.（結(jié)果用和表示）【答案】【詳解】，，，易證得，，，故答案為：.15．（2022·浙江·高二競(jìng)賽）已知，，，，1，2，…，則滿(mǎn)足的最小正整數(shù)n為_(kāi)_____.【答案】23【詳解】，，，，，由此可知，數(shù)列為：，猜想數(shù)列中對(duì)，一定有兩個(gè)連續(xù)的項(xiàng)，據(jù)此可得數(shù)列中有項(xiàng)：，，，故假設(shè)對(duì)于也成立，由上述過(guò)程可知，只有型數(shù)為正，而大于2022的型數(shù)為2048，即的最小值為.16．（2021·江蘇·高三強(qiáng)基計(jì)劃）是與最接近的整數(shù)，則_________．【答案】##88.9【分析】先求解的范圍，再結(jié)合其特性寫(xiě)出的通項(xiàng)，最后求和.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)，所以化簡(jiǎn)得從而有所以滿(mǎn)足的有個(gè)，即的n有個(gè)所以.17．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如等，則__________．【答案】【分析】根據(jù)可求的形式，再利用分組求和可求數(shù)列的和.【詳解】由于，于是設(shè)原式為M，則．故答案為：.18．（2022·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）若三邊長(zhǎng)為等差數(shù)列，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】通過(guò)余弦定理以及等差數(shù)列的性質(zhì)，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的關(guān)系是，通過(guò)公差的范圍得出結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)三邊長(zhǎng)為，其中.此時(shí)：故答案為：.19．（2022·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，且中存在一項(xiàng)為3，可能的數(shù)列的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.【答案】211【分析】由題意記，則，設(shè)，則，對(duì)于給定的可唯一確定一組數(shù)列，從而可求出數(shù)列的個(gè)數(shù)【詳解】解：記，則，對(duì)確定的，數(shù)列各項(xiàng)間的大小順序即確定，設(shè)，則，對(duì)于給定的可唯一確定一組數(shù)列，由于且，這樣的數(shù)列共個(gè)，其中不符合題設(shè)條件的數(shù)列各項(xiàng)均為1或2，這樣的數(shù)列有個(gè)，綜上所述，符合要求的數(shù)列共有個(gè).故答案為：21120．（2022·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則最接近的整數(shù)為_(kāi)__________.【答案】4【分析】令，將原遞推化簡(jiǎn)為可得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.進(jìn)而得到，再根據(jù)的范圍確定的范圍即可【詳解】令，則且，原遞推即為，整理后即為，由得，即，故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以.所以，另一方面，，所以，綜上所述，，所以與之最接近的整數(shù)為4.故答案為：4四、解答題21．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求證：對(duì)于正整數(shù)n，令，數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)奇數(shù)和無(wú)窮多個(gè)偶數(shù)（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】在二進(jìn)制中，記，其中.用反證法，先證明數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)偶數(shù)．假設(shè)，數(shù)列中只有有限個(gè)偶數(shù)，那么存在整數(shù)N，，是奇數(shù)，則存在正整數(shù)，使得，且當(dāng)時(shí)，，故，矛盾！同理可證明數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)偶數(shù)．所以數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)奇數(shù)和無(wú)窮多個(gè)偶數(shù)．22．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）數(shù)列滿(mǎn)足且．證明：其中無(wú)理數(shù)．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證法一：由遞推關(guān)系有.故．兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得：．故．有，，…．將上述不等式兩邊相加可得．即，故．證法二：由數(shù)學(xué)歸納法易證對(duì)成立，故．令，則．對(duì)上述不等式兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得：．故，，…．將上述不等式兩邊相加可得：．因．故．故，又顯然，故對(duì)一切成立．23．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求最大的正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n及正實(shí)數(shù)，均有．【答案】的最大值為3．【分析】先取，通過(guò)對(duì)其求和可得的范圍，再利用放縮法可得，最后求出最大的正實(shí)數(shù)的值.【詳解】一方面，取，得即．令，得．另一方面對(duì)正實(shí)數(shù)x，y有，故，，，……．以上各式相加，得．故時(shí)，原不等式恒成立．綜上，的最大值為3．24．（2022·江蘇南京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)的兩個(gè)根分別為，，設(shè).(1)求證：；(2)求的個(gè)位數(shù)字.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意可知，，此時(shí)：，，則：，此時(shí).（2）因?yàn)椋鲜鰞墒较嗉涌傻茫O(shè)為的個(gè)位數(shù)字，則：，，，，，，，，則數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，則.25．（2022·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，且，.(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合符號(hào)分析可得故與同號(hào)，進(jìn)而可證，再代入原式放縮可得，可證；（2）根據(jù)題意可得，利用累加法得，進(jìn)而分析得，再利用放縮可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和證明．(1)由已知數(shù)列滿(mǎn)足，，且，，即，故，由，，有，，故與同號(hào)，因?yàn)椋瑒t，，以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，則，所以.(2)因?yàn)椋瑒t，，，累加得，所以，可得.當(dāng)時(shí)，，故.【點(diǎn)睛】解該題的關(guān)鍵是因式分解和放縮的運(yùn)用，觀察題中遞推公式因式分解得：；放縮的靈活準(zhǔn)確運(yùn)用：，和．26．（2020·浙江·高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，.（1）若對(duì)任意的正整數(shù)，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)，有恒成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【詳解】解（1）必要條件：，解得，此時(shí).設(shè)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋剩蓴?shù)學(xué)歸納法可知時(shí)，有.（2）由題意有，，，則，.因?yàn)椋剩簦瑒t，則恒成立，這不可能成立，故，猜想：，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，設(shè)當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，；另一方面：.由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立.因?yàn)閷?duì)任意大于1的正整數(shù)，有恒成立，故，故對(duì)任意大于1的正整數(shù)，有恒成立，取，則，取，則，故，而，故.下證：,當(dāng)時(shí)，由的取值范圍的來(lái)源可得不等式成立，設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，而()，所以，又而，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法得到對(duì)任意的恒成立，故的最小值為：27．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】當(dāng)時(shí)，，并且時(shí)，，因此，對(duì)任意，存在唯一的，使得.則有，所以.同理，，所以（其中充分大使得）.28．（2022·江蘇南京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知整數(shù)，證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】解同除：，設(shè)，原題即證：，而，所以，即，，又，所以，即，，綜上可得：時(shí)，，即.29．（2021·浙江·高二競(jìng)賽）設(shè)為給定的正整數(shù)，，，…，為滿(mǎn)足對(duì)每個(gè)都有的一列實(shí)數(shù)，求的最大值.【答案】.【分析】先利用和的變換得到，然后利用絕對(duì)值不等式放縮，并利用已知條件得到，然后構(gòu)造滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)組，并使得這里的所有“≤”取等號(hào)，從而說(shuō)明的最大值為.【詳解】由，所以.取則滿(mǎn)足對(duì)每個(gè)都有，且此時(shí),所以的最大值為,故答案為：.30．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求所有無(wú)窮正整數(shù)列滿(mǎn)足下列條件：（1）；（2）不存在正整數(shù)（可以相同i、j、k）使．（3）有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)k，使．【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】所求的正整數(shù)列只有．一方面，不難驗(yàn)證此數(shù)列滿(mǎn)足條件．另一方面，我