試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題04向量真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三校考強基計劃）在中，．點P滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】根據題設條件可得P為的費馬點，如圖，以為邊作等邊三角形，可證，故可判斷各項的正誤.【詳解】根據題意，方向上的單位向量之和為零向量，因此，進而P為的費馬點．如圖，以為邊作等邊三角形，則，故四點共圓，故，故，故，同理，，因此所有選項均正確．故選：ABCD.2．（2022·全國·高三專題練習）已知點是邊長為1的正方形所在平面上一點，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立直角坐標系，設，根據題中的式子列出方程，由點的幾何意義即可求得的最小值.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，’設，則，，，，由題意知：，即，點在以為圓心，半徑為的圓上，又表示圓上的點到的距離，.故選A.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是數形結合，利用點的幾何意義進行解答.3．（2020·浙江溫州·高一統考競賽）已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設向量與的夾角為，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意有，則．又因為，所以，所以．故選：C.二、多選題4．（2020·北京·高三校考強基計劃）設平面向量滿足，且，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為0 D．最小值為【答案】AC【分析】利用柯西不等式可求的最大值，利用特例可求的最小值.【詳解】首先，取，則可以取，因此的最小值為0．接下來，考慮，于是，等號當且時取得，因此所求最大值為．故選：AC.三、填空題5．（2021·全國·高三競賽）已知向量，則的最大值是___________．【答案】5【詳解】，當時等號成立故答案為：5.6．（2021·全國·高三競賽）已知兩個非零向量滿足，則的最大值是_____．【答案】【詳解】設，則．則：.當且僅當，即時，等號成立．即最大值為.故答案為：.7．（2021·全國·高三競賽）中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，O是的外心，點P滿足，若，且，則的面積為_________．【答案】【詳解】由，得，即．注意到，所以．同理，，所以P是的垂心，，所以，，所以．故答案為：.8．（2021·全國·高三競賽）已知平面單位向量，且，記，則y的最大值為________．【答案】4【詳解】單位向量滿足，則有，不妨設四個向量如圖所示，分別為，X在單位圓O的上．設，則有，故有，即有，故．故答案為：4.9．（2021·全國·高三競賽）已知點A滿足，B、C是單位圓O上的任意兩點，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】.又，取等可以保證，故所求范圍為．故答案為：.10．（2020·浙江·高三競賽）已知，為非零向量，且，則的最大值為__________.【答案】.【詳解】解法一

設，，則.解法二

設，則，且，所以.故答案為：.11．（2022春·浙江·高一校聯考競賽）設平面向量，，滿足，，，.若，則____________.【答案】【詳解】如圖所示，作，，，由題意得，，設直線OC與直線AB交于點P.因為，故點P在線段AB上（不含端點），又，結合等和線性質可知，作于G，于H，有，，記，①當點G在線段AB上時，，，由，得，可解得，進而有，此時，，.點為線段AH的中點，在線段AB上，符合題意，可得，所以.②當點G在線段AB的反向延長線上時，同①方法可推得點P與點A重合，矛盾.綜上所述，.故答案為：.12．（2018·河北·高二競賽）在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1，動點P在邊CD上.設，，則的最大值為________.【答案】-3【詳解】因為，所以問題轉化為求的最小值.由等面積法可得.所以.當，即時，所求最大值為-3.13．（2019·河南·高二校聯考競賽）在平面上，，，，若，則的取值范圍是________.【答案】【分析】根據題意,建立平面直角坐標系,設出、、、的坐標,由及可得關于O點坐標的不等式組,結合兩點間距離公式即可表示出的取值范圍.【詳解】因為,則為矩形,以所在直線為軸,以為軸建立平面直角坐標系.如下圖所示:設,則,,,因為所以變形可得因為,即由以上兩式可得即因為,即所以則綜上可知因為所以,即故答案為:【點睛】本題考查了平面向量在坐標系中的綜合應用,向量的加法運算與向量的模長,通過建立平面直角坐標系,用坐標研究向量關系是常見方法,屬于中檔題.14．（2022·浙江·高二競賽）已知平面向量，，滿足，且，則最大值為______.【答案】6【詳解】，當且僅當時取得最大值.故答案為：6.15．（2022·福建·高二統考競賽）如圖，點M?N分別在△ABC的邊AB?AC上，且，，D為線段BC的中點，G為線段MN與AD的交點.若，則的最小值為___________.【答案】【詳解】依題意有：，因為M?G?N三點共線，所以，所以，由柯西不等式知，，所以，當且僅當，即，，時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.16．（2022·貴州·高二統考競賽）甲烷分子的四個氫原子位于棱長為1的正四面體的四個頂點，碳原子C位于四面體的中心，記四個氫原子分別為，，，，則_____．【答案】【詳解】在面的射影為，，則，∴，又，∴，即，∴，∴，所以，故答案為：.17．（2018·山東·高三競賽）在中，，的平分線交于，且有．若，則______．【答案】

【詳解】過點作交于點，交于點，由題設，所以，，．因此，所以，，因此．所以．由此得．18．（2019·重慶·高三校聯考競賽）已知向量滿足，且，若為的夾角，則_______.【答案】【詳解】因為，所以，所以.因為，所以.又因為k∈Z+，所以k=2，所以.故答案為：．19．（2019·廣西·高三校聯考競賽）已知點P(－2，5)在圓上，直線l：與圓C相交于A、B兩點，則____________.【答案】【詳解】由已知求得圓C：(x－1)2+(y－1)2=52到直線l的距離為3，從而.所以.故答案為：．20．（2020春·浙江·高三校聯考階段練習）已知點為所在平面內任意一點，滿足，若，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由已知條件變形得到，通過等價變形把表示為的函數，根據的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】解：，所以..因為，,所以，則的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查向量的化簡變形及函數的值域計算，關鍵在于向量等式的等價變形，屬于中檔題.21．（2021·全國·高三競賽）如圖，在中，是邊上一點，且．若點滿足與共線，，則的值為_________．【答案】或【詳解】因為，所以，即．因為與共線，所以存在實數，使得．因為，所以，從而，所以．因為，所以，所以．因為，所以，即，解得或．因此或．故答案為：或.22．（2021·全國·高三競賽）設P是所在平面內一點，滿足，若的面積為1，則的面積為__________.【答案】【詳解】因為，所以，即，記的中點為M，于是，因此.故答案為：.23．（2021·全國·高三競賽）已知為三內角，向量.如果當最大時，存在動點，使得成等差數列，則最大值為________.【答案】【詳解】，，等號成立僅當.令，因，所以是橢圓上的動點.故點，設，則：，.當時，.即.故答案為：.24．（2022·江蘇南京·高三強基計劃）已知向量，，滿足，，，且，則最小值為___________.【答案】【詳解】依題意得：，設，所以，如圖將，放入平面直角坐標系，設，，OC中點為B，則，，，畫圖可知：的終點在以AB為直徑的圓上，可得圓心坐標，，∴，故答案為：.25．（2021·全國·高三競賽）已知平面向量??，滿足，若，那么的最小值為___________.【答案】##【分析】設，則即為點到點（圓上的動點）的距離與到點的距離，利用對稱可求其最小值.【詳解】解析：建立直角坐標系.設，則.問題轉化為點到點的距離與到點的距離之和最小，其中點在直線上運動，點在圓上運動，所以.點O關于直線對稱的點為，所以，所以，等號可以取到，所以最小值是.故答案為：.【點睛】思路點睛：向量的模的最值問題，可建立平面直角坐標系，將問題轉化為動點到幾何對象的距離和最值的問題.26．（2019·福建·高三校聯考競賽）已知為△ABC的內心，且.記R?r分別為△ABC的外接圓?內切圓半徑，若，則R=____________.【答案】32【詳解】解法一：如圖，取BC的中點D，依題意，有.所以A?I?D三點共線，AB=AC.由r=ID=15，知IA=24.作IE⊥AB于E，則IE=ID=15，.所以.又.所以.解法二：依題意，有.由三角形內心的向量表示：若a?b?c分別為△ABC的內角A?B?C的對邊，I為△ABC的內心，則.可得，a：b：c=5：4：4，設a=10k，則b=c=8k.作AD⊥BC于D，則，.又r=15，，因此，.又，所以.故答案為：32．27．（2019·貴州·高三校聯考競賽）在△ABC中，.則____________.【答案】【詳解】設△ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.由，知G為△ABC的重心.又GA⊥GB，所以.得到.故：.故答案為：．28．（2021·全國·高三競賽）已知三個非零向量、、，滿足（其中為給定的正常數）．則實數t的最小值為___________．【答案】【分析】應用及求和的輪換關系得到，再分類討論即可得解.【詳解】，所以．故．假設，則．故，所以，這與、為非零向量矛盾．從而．又，所以，當兩兩同向且模均為時等號成立．故．故答案為：四、解答題29．（2020·浙江溫州·高一統考競賽）若平面上的點滿足．（1）求的最大值；（2）設向量,,定義運算．若,求的取值范圍．(其中О為坐標原點)【答