試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年上海市徐匯區中考二模數學試卷（時間100分鐘滿分150分）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題；答題時，考生務必按答題要求在答題紙規定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的】1．下列運算中，計算正確的是（

）A． B． C． D．2．將拋物線向左平移2個單位，再向上平移2個單位后所得拋物線的表達式是（

）A． B．C． D．3．已知正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于A,B兩點，如果點的坐標是，那么點的坐標是（

）A． B． C． D．4．下列調查中，最適宜采用普查方式的是（

）A．對我國初中學生視力狀況的調查B．對量子科學通信衛星上某種零部件的調查C．對一批節能燈管使用壽命的調查D．對“最強大腦”節目收視率的調查5．一次游學活動中，小杰從營地出發，沿北偏東方向走了米到達處，然后再沿北偏西方向走了500米到達目的地處（如圖所示），那么A,C兩地的距離是（

）A．米 B．1500米 C．米 D．1000米6．某校組織學生步行到科技展覽館參觀，學校與展覽館相距6千米，返回時由于步行速度比去時每小時少1千米，結果時間比去時多用了半小時，那么學生返回時步行速度是（

）A．2千米／小時 B．3千米／小時 C．4千米／小時 D．5千米／小時二、填空題(本大題共12題，每題4分，滿分48分)7．方程的解的是．8．函數的定義域是.9．方程組的解是.10．如果關于的方程有兩個實數根，那么的取值范圍是．11．若拋物線在直線右側部分是下降的，則的取值范圍是．12．如果拋物線上的點和關于它的對稱軸對稱，那么點的坐標是．13．三張外觀相同的卡片分別標有數字，，，從中隨機一次抽出兩張，這兩張卡片上的數字恰好都小于的概率是．14．如圖，甲、乙兩樓的樓間距為10米，小杰在甲樓樓底處測得乙樓樓頂的仰角為，在乙樓樓底處測得甲樓樓頂的仰角為，那么乙樓比甲樓高米（結果保留根號）．15．如圖，正六邊形中，，，那么（用含，的式子表示）．16．如圖，梯形中，，，，，那么的值是．17．如圖，在中，點是邊的中點，點在邊上，，和交于點，那么和四邊形的面積比是．18．如圖，矩形中，，將矩形繞著點順時針旋轉得矩形，恰好落在對角線上，連接，如果與邊相交，且，那么的長是．三、(本大題共7題，第19-22題每題10分;第23、24題每題12分;第25題14分;滿分78分)19．先化簡，再求值：，其中．20．解不等式組：并在數軸上把解集表示出來．21．某文具商店為了了解3月份計算器的銷售情況，對3月份各種型號計算器的銷售情況進行調查，并將調查的結果繪制成如圖1、圖2所示的兩幅不完整的統計圖.(1)根據圖中提供的信息，求3月份各種型號計算器的銷售總量；(2)求3月份A型計算器的銷售量，并將條形統計圖補充完整；(3)該店4月份準備只進購A、B、C三種型號的計算器，總數量和3月份各型號計算器銷售的總量相同，結果恰好用完進貨款8200元，設購進A型計算器個、B型計算器個，求關于的函數關系式．其中，三種型號的計算器的進價如下表：A型B型C型進價（單位：元／個）50302022．“數學探究小組”研究如下問題：如圖1，點是矩形內一點，求作一個四邊形，使得四邊形的四邊分別等于、、、，并且兩條對角線互相垂直．小組成員小杰提出了如下的作法：1．過點作并截取；2．分別連接、．那么四邊形就是所求作的四邊形．(1)請判斷小杰的作法是否正確，并說明理由；(2)如圖2，點是菱形內一點，請根據上述信息提出一個類似問題，并予以解決（只需寫出作法或畫出圖形、結論，不必說明理由）．23．如圖，是正方形的對角線，點E、F分別在邊上，，延長到，且，連接．(1)求證：；(2)延長交于點，連接，求證：．24．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與直線交于點和．(1)求拋物線的表達式；(2)已知點在軸上，當以點A、B、O、D為頂點的四邊形是矩形時，求點到直線的距離；(3)設直線與軸交于點，已知點P、Q在直線上且在直線的下方（點在點的右側），如果，求點P、Q的坐標．25．如圖，在中，，點是邊上的動點，以點為圓心，為半徑的圓交邊于點．設．(1)當點是邊的中點時，求的值；(2)已知點是線段AE的中點（規定：當點與點重合時，點也與點重合），以點為圓心、為半徑作①當與邊有公共點時，求的取值范圍；②如果經過邊的中點，求此時與的公共弦長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】本題考查了合并同類項，同底數冪乘法、冪的乘方、積的乘方，掌握相關運算法則是解題關鍵．根據合并同類項，同底數冪乘法、冪的乘方、積的乘方逐項計算即可．【詳解】解：A、和不是同類項，不能合并，原計算錯誤，不符合題意；B、，原計算錯誤，不符合題意；C、，原計算錯誤，不符合題意；D、，原計算正確，符合題意；故選：D．2．C【分析】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換．根據“左加右減，上加下減”的平移規律求解即可．【詳解】解：把拋物線向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到拋物線即的圖象，故選：C．3．A【分析】本題主要考查一次函數與反比例函數的綜合．根據正比例函數與反比例函數圖像的中心對稱性，可得關于原點中心對稱，進而即可求解．【詳解】解：∵反比例函數的圖象與正比例函數的圖象相交于兩點，∴關于原點中心對稱，∵點的坐標是，∴點的坐標是．故選：A．4．B【詳解】試題分析：A．對我國初中學生視力狀況的調查，人數太多，調查的工作量大，適合抽樣調查，故此選項錯誤；B．對量子科學通信衛星上某種零部件的調查，關系到量子科學通信衛星的運行安全，必須全面調查，故此選項正確；C．對一批節能燈管使用壽命的調查具有破壞性，適合抽樣調查，故此選項錯誤；D．對“最強大腦”節目收視率的調查，人數較多，不便測量，應當采用抽樣調查，故本選項錯誤；故選B．考點：全面調查與抽樣調查．5．D【分析】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，平行線的性質，平角的定義等知識．作出輔助線求出為是解題的關鍵．過B點作直線，根據平行線的性質，平角的定義，勾股定理即可得到結論；【詳解】解：如圖，過B點作直線，∴，∵，∴，∴為直角三角形．∵，，∴，故選：D．6．B【分析】本題考查了分式方程的應用．設學生返回時步行的速度為x千米/小時，則去時步行的速度為千米/小時，根據時間=路程÷速度結合返回時比去時多用了半小時，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【詳解】解：設學生返回時步行的速度為x千米/小時，則去時步行的速度為千米/小時，依題意，得：，整理，得：，解得：，，經檢驗，，是原方程的解，符合題意，不符合題意，舍去．答：學生返回時步行的速度為3千米/小時．故選：B．7．【分析】把方程兩邊平方去根號后即可轉化成整式方程，解方程即可求出x的值，然后進行檢驗.【詳解】兩邊平方得：x+1=9，解得：x=8．檢驗：x=8是方程的解．故答案為x=8．【點睛】本題考查的知識點是平方根的定義，解題的關鍵是熟練的掌握平方根.8．【分析】本題主要考查函數的定義域及分式有意義的條件．根據分式有意義的條件即可得出函數的定義域．【詳解】解：由得，故答案為：．9．或【分析】本題考查解二元二次方程組，代入消元法．將方程組先轉化為或，再進行求解即可．【詳解】解：，由①得：，∴或，∴或，∴方程組的解為：或；故答案為：或．10．##【分析】本題考查了二次方程根的判別式，解一元一次方程，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．根據判別式的意義得到，然后解關于的不等式即可．【詳解】解：關于的方程有兩個實數根，，解得：，故答案為：．11．【分析】本題考查了本題考二次函數圖像與系數的關系，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．根據題目中的函數解析式和二次函數的性質確定的取值范圍即可．【詳解】解：∵拋物線，對稱軸為直線，在直線右側部分是下降的，∴該函數的開口向下，，故答案為：．12．【分析】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，解題的關鍵是了解對稱點的性質．首先確定拋物線的對稱軸，然后根據對稱點的性質解題即可．【詳解】解：∵的對稱軸為，點關于該拋物線的對稱軸對稱點的坐標為．故答案為：．13．【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩張卡片上的數字恰好都是小于3的情況數，再利用概率公式即可求出答案．【詳解】畫樹狀圖得：

因為一共六種等可能的結果，而兩張卡片上的數字恰好都是小于3的有兩種情況，所以兩張卡片上的數字恰好都是小于3的概率為．故答案為：【點睛】本題考查了利用樹狀圖或者列表法求出概率，解題的關鍵是要注意是否有放回，用到的知識點是：概率=所求情況和總情況的比．14．##【分析】本題考查了解直角三角形的應用．在和中，利用三角函數的定義分別求得和的長，據此計算即可求解．【詳解】解：在中，米．在中，米，米．故答案為：．15．##【分析】本題考查平面向量，正六邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形法則．首先得出，然后根據三角形法則求解即可．【詳解】∵正六邊形中，∴，∴∵∴．故答案為：．16．##【分析】本題考查的是梯形是性質、解直角三角形、平行四邊形的判定和性質．過點C作，交的延長線于E，根據平行四邊形的性質求出，根據勾股定理求出，再根據正弦的定義計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作，交的延長線于E，則，∵，，∴，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，由勾股定理得：，∴，∴，故答案為：．17．【分析】本題考查三角形的面積．連接，設，，根據“同高的兩個三角形，其面積比等于底邊長之比”將各三角形的面積用含S的代數式表示出來，從而求出和四邊形的面積比即可．【詳解】解：如圖，連接．設，，∵，點D是邊的中點，∴，，∵，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴．故答案為：．18．##【分析】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，公式法解一元二次方程．先證明，推出，設，由勾股定理得，，根據，列式計算即可求解．【詳解】解：設，記和相交于點，∵矩形，∴，，，∴，由旋轉的性質得，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設，∴，，由勾股定理得，，∵，∴，解得，∴．故答案為：．19．，【分析】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：，當時，原式．20．，解集在數軸上表示見解析【分析】分別求出每個不等式的解集，再求兩個解集的公共部分，然后把解集在數軸上表示出來即可．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：故不等式組的解集為：解集在數軸上表示出來如下：【點睛】本題考查了解一元一次不等式組及在數軸上表示不等式組的解集，關鍵正確求出每個不等式的解集．21．(1)3月份各種型號計算器的銷售總量為300個(2)A型計算器銷售量為120個，圖形見解析(3)y關于x的函數關系式為【分析】本題考查了統計圖和一次函數，解決本題的關鍵是利用一次函數的性質解決實際問題．（1）根據條形統計圖B型的銷售量和扇形統計圖B型計算器所占百分比求出3月份各種型號計算器的銷售總量；（2）根據A型計算器所占的百分比計算A型計算器的數量，即可補充條形圖；（3）根據設購進A型計算器x只，B型計算器y只，則C型計算器為只，根據其數量和與3份計算器銷量的總數量相同，結果恰好用完進化款共8200元，得到，整理即可．【詳解】（1）解：（個），∴3月份各種型號計算器的銷售總量為300個；（2）解：A型計算器銷售量為：（個），條形統計圖如圖：；（3）解：∵設購進A型計算器x只，B型計算器y只，∴C型計算器為只，根據其數量和與3份計算器銷量的總數量相同，結果恰好用完進化款共8200元，∴，整理得：，∴y關于x的函數關系式為．22．(1)小杰的作法正確，理由見解析；(2)見解析【分析】本題考查了矩形和菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形外角的性質，掌握特殊四邊形的判定和性質是解題關鍵．（1）根據矩形的性質證明四邊形和四邊形都是平行四邊形，即可得到答案；（2）先根據（1）提出類似問題，再過點作分別交、于點、，并截取；2．分別連接、．利用平行四邊形的判定和性質，即可證明四邊形就是所求作的四邊形．【詳解】（1）解：小杰的作法正確，理由如下：四邊形是矩形，，，，，，，，，，四邊形和四邊形都是平行四邊形，，，四邊形就是所求作的四邊形．（2）解：如圖2，點是菱形內一點，求作一個四邊形，使得四邊形的四邊分別等于、、、，并且兩條對角線的夾角度數等于菱形的一個內角度數．作法：1．過點作分別交、于點、，并截取；2．分別連接、．那么四邊形就是所求作的四邊形．理由如下：四邊形是菱形，，，，，，，，四邊形和四邊形都是平行四邊形，，，，，，，，四邊形就是所求作的四邊形．23．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由正方形的性質結合平行線分線段成比例得到，然后證明即可；（2）由，得到，證明，由直角三角形斜邊上中線的性質得到，證明，則，那么，再交叉相乘即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖：∵，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質等知識點，找出相似三角形是解題的關鍵．24．(1)；(2)點D到的距離為；(3)，．【分析】（1）先求出A和B坐標，再代入拋物線求解即可；（2）利用矩形對角線相等求出，所以，再求出C點坐標，進而利用的面積建立方程求解即可；（3）先求出直線的解析式，再設出P和Q坐標，利用兩點距離公式表示出，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將代入得，，將代入得，，∴，，將A、B代入