試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年度第二學期九年級自適應練習數學試卷考生注意：1．本試卷共25題．2．試卷滿分150分．考試時間100分鐘．3．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．4．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的主要步驟．一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．3的倒數是（

）A．3 B． C． D．2．下列各式計算結果等于的是（

）A． B． C． D．3．某班有男生20人，女生18人．在一次測驗中，男生的平均分為分，女生的平均分為分，那么這個班級全體學生這次測驗的平均分為（

）A．分 B．分 C．分 D．分4．2025年“體重管理年”正式啟動，其中所涉及的體質指數“”是衡量人體胖瘦程度的標準，其計算公式為（表示體重，單位：公斤；表示身高，單位：米）成年人火女值標準見下表：范圍胖瘦程度瘦弱偏瘦正常偏胖肥胖已知某位成年人身高為1.6米，以下說法正確的是（

）A．數值隨著體重的值的增加而減少B．數值與體重的值之間成正比例關系C．數值與體重的值之間的函數圖像為雙曲線位于第一象限的一支D．如果這位成年人的體重為64公斤，他的胖瘦程度屬于正常5．已知和，的半徑長為，．如果與相交，那么的半徑長可以是（

）A． B． C． D．6．有若干個全等三角形，如果這些全等三角形恰好能拼成一個正多邊形，且這個正多邊形不是中心對稱圖形，那么下列三角形中，符合條件的是（

）A．頂角是的等腰三角形 B．頂角是的等腰三角形C．有一個銳角是的直角三角形 D．有一個銳角是的直角三角形二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．計算：．8．函數的定義域是．9．方程的解是．10．關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，那么的值等于．11．蘇州河是上海的“母親河”，普陀段的岸線約有米，正好相當于半程馬拉松的長度，被譽為“半馬蘇河”．數據用科學記數法可表示為．12．在不透明的布袋中裝有3個紅球，4個白球，這些球只是顏色不同．如果布袋中再放進2個同樣規格的紅球，那么此時從布袋中，任意摸出一個球恰好為紅球的概率是．13．如圖，平行四邊形中，點在邊上，，連結并延長交的延長線于點，設，．如果向量用向量、表示，那么．14．如圖，在中，，是邊的中點，過點作交邊于點，如果，，那么．15．在矩形中，，，、分別是邊、的中點，點、在對角線上（如圖）．如果四邊形是矩形，那么的長等于．16．常見的運動健身方式有三種：有氧運動、力量訓練和拉伸運動．某社區為了解本社區居民的健身情況，對居民進行了隨機抽樣調查，得到了一個樣本，制成了樣本統計圖：圖4-1是三種運動健身方式占比的扇形圖（每人只能選一種健身方式）；圖4-2是選擇有氧運動的居民，對有氧運動有關項目選擇的條形圖（每人只能選一種項目）．如果該社區居民約有8000人，那么根據抽樣調查結果，估計該社區最喜歡快走的居民大約有人．17．已知拋物線的頂點為，、、、是拋物線上的四點，且線段、都垂直于拋物線的對稱軸．如果，，那么的值等于．18．在中，，（如圖）．點在邊上，，為垂足，將繞點按順時針方向旋轉后得到，點、分別與點、對應，，射線與邊交于點．如果，那么的長是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．先化簡，再求值：，其中．20．解不等式組：21．如圖，在四邊形中，，，，，．(1)求的值；(2)連接交于點，求的長．22．【問題背景】我們學過用尺規作圖平分一條線段，小普同學想借助所學過的函數知識平分線段．在如圖1中，已知線段，為了平分線段，小普同學進行了如下的操作：①在平面直角坐標系中，畫出函數的圖像；②在軸的正半軸上截取，過點A作軸交函數的圖像于點；③以點為圓心，長為半徑作弧，交于點．所以點平分線段．【解決問題】(1)根據小普同學的做法，如果要將線段三等分，那么可以借助函數________的圖像在圖7-1中的線段上，找到點，使，于是可作出線段上的一個三等分點．（填函數解析式）(2)平面內的點可以用有序實數對來表示．在圖2中，點在軸的正半軸上，．運用我們學過的函數知識，在圖7-2中作出坐標為的點，寫出畫圖步驟．（保留作圖痕跡）23．已知：如圖，平行四邊形的對角線和相交于點，交的延長線于點，．(1)求證：四邊形為菱形；(2)連結交于點，如果，求證：．24．在平面直角坐標系中，已知拋物線的開口向下，與軸交于點和，與軸交于點．直線交拋物線于點．(1)如圖，拋物線的對稱軸是直線．①求此時拋物線的表達式；②如果，求點的橫坐標；(2)如果點關于直線的對稱點恰好是的重心，求的值．25．如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以等邊三角形的邊長為半徑，以另兩個頂點為端點畫圓弧，由首尾相連的三段圓弧可組成一個曲線圖形，這個曲線圖形叫做萊洛三角形．(1)下面結論中，正確的是________．（寫出所有正確結論的序號）萊洛三角形是軸對稱圖形；萊洛三角形上的任意一點到等邊三角形的中心的距離相等；萊洛三角形的每段圓弧所對的圓心角都為；萊洛三角形的面積等于．(2)如果、是萊洛三角形上的兩點，連接、，滿足且，求此時的正切值；(3)已知、分別是、上的兩個動點：點沿從點運動到點，點沿從點運動到點，它們同時出發且速度相同，連接．試表述線段的中點的軌跡．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】本題考查了倒數:乘積是1的兩數互為倒數．利用倒數的定義求解即可．【詳解】解：3的倒數是．故選：C．2．A【分析】本題考查整式的除法及單項式乘單項式，利用整式的除法及單項式乘單項式法則，合并同類項法則將各式計算后進行判斷即可．【詳解】解：，則A符合題意，，則B不符合題意，，則C不符合題意，與無法合并，則D不符合題意，故選：A．3．D【分析】本題考查了平均數的定義，屬于基礎題型，熟練掌握平均數的計算方法是解題關鍵．根據加權平均數的定義解答即可．【詳解】解：由題意得：這個班的全體同學的平均分．故選：D．4．B【分析】本題考查了反比例函數的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、一次函數的應用，根據題意及反比例函數圖象上點的坐標特征，逐項分析判斷即可．【詳解】解：A、某位成年人身高為1.6米，數值隨著體重m的值的增加而增加，原說法錯誤，不符合題意；B、某位成年人身高為1.6米，數值與體重m的值之間成正比例關系，原說法正確，符合題意；C、某位成年人身高為1.6米，數值與體重m的值之間的函數圖象為第一象限內的直線，原說法錯誤，不符合題意；D、某位成年人身高為1.6米，這位成年人的體重為64公斤，則數值是25，屬于偏胖，原說法錯誤，不符合題意；故選：B．5．C【分析】本題考查了兩圓相交的條件，解絕對值不等式以及解一元一次不等式，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．由與相交得的半徑滿足不等式，解出的取值范圍，即可得解．【詳解】解：的半徑長為，，與相交，的半徑滿足不等式：，解得：，故選：C．6．D【分析】本題考查了正多邊形的性質，中心對稱圖形的定義，三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握相關知識．由題意可得：拼成的正多邊形的邊數為奇數，分別求出每個選項中各個三角形的內角，進而得到組成的正多邊形的內角，再根據正多邊形的內角和公式判斷出正多邊形的邊數，即可求解．【詳解】解：這些全等三角形恰好能拼成一個正多邊形，且這個正多邊形不是中心對稱圖形，拼成的正多邊形的邊數為奇數，A、頂角是的等腰三角形，則底角為，可能拼成的正多邊形的內角為或，但無法對應奇數邊正多邊形的內角，故該選項不符合題意；B、頂角是的等腰三角形，可拼成正六邊形，但正六邊形是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；C、有一個銳角是的直角三角形，則另一個銳角為，可能拼成的正多邊形的內角需為、或的組合，但無法匹配奇數邊的正多邊形內角，故該選項不符合題意；D、有一個銳角是的直角三角形，則另一個銳角為，正五邊形的內角為，可由兩個角組成，正五邊形邊數為奇數，且不是中心對稱圖形，故該選項符合題意；故選：D．7．3【分析】本題考查了分數指數冪，求一個數的算術平方根，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先由分數指數冪得到，再求算術平方根即可．【詳解】解：，故答案為：3．8．【分析】本題主要考查函數自變量取值范圍，根據分式有意義分母不為0，列式求解即可．【詳解】解：根據題意得，，解得，，故答案為：．9．【分析】本題考查無理方程的解法，熟練掌握解無理方程是解題的關鍵．方程兩邊平方得，再解這個一元二次方程，得或1，最后進行檢驗即可．【詳解】解：把方程兩邊平方，得，整理，得，，解得或1，經檢驗是增根，舍去，是原方程的解，所以方程的解是．故答案為：．10．【分析】本題考查了一元二次方程的根的個數與判別式的關系．解題的關鍵在于明確一元二次方程有兩個相等的實數根時判別式．根據，計算求解即可．【詳解】解：原方程可化為，由題意知解得故答案為：．11．【分析】本題考查了科學記數法“將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數的方法叫做科學記數法”，熟記科學記數法的定義是解題關鍵．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．根據科學記數法的定義即可得．【詳解】解：，故答案為：．12．【分析】本題考查概率公式，根據題意和題目中的數據，可以計算出任意摸出一個球恰好為紅球的概率．【詳解】解：由題意可得，任意摸出一個球恰好為紅球的概率，故答案為：．13．【分析】本題考查平面向量，平行向量等知識，利用三角形的法則以及相似三角形的判定與性質求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴∴，∴，故答案為：．14．【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，解直角三角形，根據直角三角形斜邊上的中線的性質得，根據等邊三角形的判斷得的等邊三角形，所以，，可得，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵D是邊的中點，∴，∴的等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．15．##【分析】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關鍵．連接，，，根據勾股定理求出，證明四邊形為平行四邊形，得出，證明四邊形為平行四邊形，得出，最后求出結果即可．【詳解】解：連接，，，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∵、分別是邊、的中點，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴．故答案為：．16．1600【分析】本題考查了扇形統計圖，條形統計圖，樣本估計總體，先根據扇形統計圖計算出有氧運動的占比，再根據條形統計圖計算出喜歡快走的占比，兩項占比乘以總人數即可．【詳解】解：估計該社區最喜歡快走的居民大約有：（人）．故答案為：1600．17．【分析】本題主要考查拋物線的頂點式、對稱軸性質，以及幾何圖形中三角形面積的計算，解題的關鍵在于理解線段與對稱軸垂直的幾何意義，進而確定點的坐標，計算面積比．先根據拋物線的頂點式確定頂點坐標為和對稱軸為直線，再根據對稱軸性質設點坐標為，點坐標為，點坐標為，點坐標為，進而求得的縱坐標為：，的縱坐標為：，再利用底和高的關系，求出面積比．【詳解】解：∵拋物線方程為，∴頂點為，對稱軸為直線，∵線段、都垂直于拋物線的對稱軸，，，∴線段、為水平方向，中點在對稱軸上，∴設點坐標為，點坐標為，點坐標為，點坐標為，∴的縱坐標：，的縱坐標為：，∴的面積：底為，高為頂點到的垂直距離，面積為，的面積：底為，高為頂點到的垂直距離，面積為，∴面積比為，故答案為：．18．4或4.8【分析】先過點A作交與點F，利用等腰三角形的性質以及余弦的定義得出，然后分兩種情況，當P在的延長線上時和當P在線段上時想，證明四邊形為平行四邊形，根據設出，，有旋轉的性質得出，得出，最后根據余弦的定義求出x，進而可得出答案．【詳解】解：過點A作交與點F，∵，∴，，∴，分兩種情況：當P在的延長線上時，如下圖：由旋轉的性質得出，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵∴設，則，則，，∴，∵，∴，解得：，則；當P在線段上時，如下圖：同理可設，則，則，∴，∵，∴，解得：，則，綜上：的值為4或4.8，故答案為：4或4.8．【點睛】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質，解直角三角形的計算，平行四邊形的判定和性質，旋轉的性質等知識，學會分類思考是解題的關鍵．19．，【分析】本題考查分式化簡求值，先分解因式約分，再根據同分母分式加減法則把所求式子化簡，最后把a的值代入計算即可．【詳解】解：，當時，原式．20．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握求不等式解集的步驟和方法是解題關鍵．分別求出兩個不等式的解集，則兩個不等式解集的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①：，解不等式②：，不等式組的解集為．21．(1)(2)【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后利用勾股定理逆定理得到，然后根據正切的定義求解即可；（2）連接交于點，首先利用勾股定理求出，然后求出，證明出，得到，然后代數求解即可．【詳解】（1）∵∴∴∵，，∴∴∴；（2）如圖所示，連接交于點，∵，，∴∴∵，∴∴∴∴，即∴．【點睛】此題考查了解直角三角形，相似三角形的性質和判定，勾股定理以及逆定理等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．22．(1)(2)見詳解【分析】（1）由題意得，，設，則，點，即可解答．（2）先畫出和的圖像，再過點B作軸的垂線，分別交兩個函數于C、D兩點，再作圓O，長為半徑畫圓交x軸于點E，過點E作直線垂直于x軸，過E為圓心，為半徑畫圓交直線l于點Q，即可解答．【詳解】（1）解：若，，設，則，點，∴．（2）如圖：畫圖步驟：①畫平面直角坐標系中和的圖像；②過點B作軸的垂線，分別交兩個函數于C、D兩點，則，，③以點O為圓心，長為半徑畫圓交x軸于點E．④過點E作直線垂直于x軸；⑤過E為圓心，為半徑畫圓交直線l于點Q．∴Q為所求．【點睛】本題考查了反比例函數的綜合題，熟練掌握反比例函數的性質，尺規作圖，正比例函數．23．(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）先證，由，得，即可解答．（2）由四邊形為菱形，得，由，得①，②，由①×②得，，再證和，得到．本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．【詳解】（1）∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為菱形．（2）如圖：∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴①∵，，∴，∴即②由①×②得，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴即．24．(1)①；②點的橫坐標為(2)【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，待定系數法求函數表達式，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，三角形重心定理，中點坐標，等腰直角三角形的判定和性質等知識點，解題的關鍵是數量掌握以上性質并正確作輔助線．（1）①利用對稱軸確定系數的關系，再利用待定系數法即可求出拋物線表達式；②利用圓周角定理確定點的位置，過點做輔助線構造直角三角形，假設出點的坐標，表示出相關點的坐標，證出，利用列出方程，解方程即可；（2）做輔助線確定的重心，表示出，和相關線段的長度，證明，利用對應邊成比例表示出，設，則，利用等腰直角三角形的性質和點在直線上，列出方程求解即可求出的值．【詳解】（1）解：①拋物線的對稱軸是直線，，即，將代入拋物線得：，則，解得：，，拋物線的表達式為；②如圖，連接,以為直徑作圓，與拋物線在第一象限的交點即為點,過點作軸于點，過點作交的延長線于點，，，，，，，，在中，令，則，，直線交拋物線于點，，設，則，，，，，，，，即，整理可得：，解得：（負值已舍去），點的橫坐標為；（2）解：如圖，取的中點，連接，過點作軸于點、交于點，過點作軸于點，與交于點，連接交于點，，拋物線的開口向下，與軸交于點和，，，即，，拋物線的對稱軸為直線，，，，是的重心，點是的中點，點在上，，，，，，，，，，設，則，，，點關于直線的對稱點是，，，，，，，，，即，整理得：，設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，直線的解析式為