PAGEPAGE7第30練正弦定理、余弦定理[基礎保分練]1.(2024·紹興模擬)在△ABC中，內角C為鈍角，sinC＝eq\f(3,5)，AC＝5，AB＝3eq\r(5)，則BC等于()A.2B.3C.5D.102.(2024·嘉興模擬)南宋數學家秦九韶早在《數書九章》中就提出了已知三角形的三邊求其面積的公式：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方，得積.”(即△ABC的面積S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))，其中△ABC的三邊分別為a，b，c，且a>b>c)，并舉例“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知為田幾何？”則該三角形沙田的面積為()A.82平方里 B.83平方里C.84平方里 D.85平方里3.(2024·湖州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數列，且a2＝c2＋ac－bc，則eq\f(c,bsinB)等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)4.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝2，S△ABC＝3eq\r(3)，則eq\f(a＋b－2c,sinA＋sinB－2sinC)等于()A.eq\f(2\r(7),3)B.eq\f(4\r(21),3)C.4D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)5.在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，則△ABC的周長為()A.7.5B.7C.6D.56.(2024·杭州高級中學模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且sinB＝eq\r(3)cosC，則下列結論中正確的是()A.A＝eq\f(π,6) B.c＝2aC.C＝eq\f(π,2) D.△ABC是等邊三角形7.(2024·衢州二中模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意eq\r(3)sinC－cosAcosB＝eq\f(a,b)cos2B，則B等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)8.△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿意a＝4，asinB＝eq\r(3)bcosA，則△ABC面積的最大值是()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.8eq\r(3)D.49.(2024·金華十校聯考)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a,2sinB＝3sinC，△ABC的面積為eq\f(3\r(15),4)，則cosA的值為______，a＝______.10.銳角△ABC中，AB＝4，AC＝3，△ABC的面積為3eq\r(3)，則BC＝________.[實力提升練]1.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，則△ABC為()A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.銳角非等邊三角形 D.鈍角三角形2.若△ABC的內角滿意sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是()A.eq\f(\r(6)－\r(2),4) B.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C.eq\f(\r(6)－\r(2),2) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)3.(2024·紹興上虞區模擬)已知銳角△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B＝2A，則eq\f(asinA,b)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，\f(1,2)))4.在銳角三角形ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，則B的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))5.(2024·全國Ⅲ改編)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝______.6.(2024·麗水模擬)設△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，則eq\f(tanC,tanA)＝________；tanB的最大值為________.答案精析1.A2.C3.B4.B5.D6.D7.C8.A9.－eq\f(1,4)410.eq\r(13)實力提升練1.B[由正弦定理，得2sinAcosB＝sinC.在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，整理得sinAcosB＝cosAsinB，∴tanA＝tanB.又∵A，B∈(0，π)，∴A＝B.∵sinAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，∴sinAsinBeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2sin2\f(C,2)))))＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，∴sinAsinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2sin2\f(C,2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2sin2\f(C,2)))，∴sinAsinB＝eq\f(1,2).∵A＝B，∴sinA＝sinB＝eq\f(\r(2),2).∵A，B∈(0，π)，∴A＝B＝eq\f(π,4).∵A＋B＋C＝π，∴C＝eq\f(π,2)，∴△ABC是等腰直角三角形.]2.A[設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則由正弦定理得a＋eq\r(2)b＝2c.故cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))2,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2－\f(\r(2),2)ab,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2,2ab)－eq\f(\r(2),4)≥eq\f(2\r(\f(3,4)a2·\f(1,2)b2),2ab)－eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，當且僅當3a2＝2b2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))時等號成立.]3.D[∵B＝2A，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA，由正弦定理得b＝2acosA，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,2cosA)，∴eq\f(asinA,b)＝eq\f(sinA,2cosA)＝eq\f(1,2)tanA.∵△ABC是銳角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<B＝2A<\f(π,2)，,0<C＝π－3A<\f(π,2)，))解得eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，∴eq\f(\r(3),3)<tanA<1，∴eq\f(\r(3),6)<eq\f(1,2)tanA<eq\f(1,2).即eq\f(asinA,b)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，\f(1,2))).]4.B[在銳角△ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，依據正弦定理可得sin2BcosAcosC＝sinAsinCcos2B，即eq\f(sin2B,cos2B)＝eq\f(sinAsinC,cosAcosC)，即tan2B＝tanAtanC，所以tanA，tanB，tanC構成等比數列，設公比為q，則tanA＝eq\f(tanB,q)，tanC＝qtanB，又由tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝－eq\f(tanB\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,q))),1－tan2B)，所以tan2B＝1＋q＋eq\f(1,q)≥1＋2eq\r(q·\f(1,q))＝3，當q＝1時取得等號，所以tanB≥eq\r(3)，所以B≥eq\f(π,3)，又△ABC為銳角三角形，所以B<eq\f(π,2)，所以B的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故選B.]5.eq\f(π,4)解析∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).6.－3eq\f(\r(3),3)解析在△ABC中，由正弦定理和余弦定理得eq\f(tanC,tanA)＝eq\f(cosAsinC,cosCsinA)＝eq\f(\f(c2＋b2－a2,2bc)·c,\f(a2＋b2－c2,2ab)·a)＝eq\f(c2＋b2－a2,a2＋b2－c2)，又因為a2＋2b2＝c2，所以eq\f(tanC,tanA)＝eq\f(a2＋2b2＋b2－a2,a2＋b2－a2＋2b2)＝－3.tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(