PAGEPAGE1其次篇專題一第1講集合、復(fù)數(shù)、常用邏輯用語(yǔ)[限時(shí)訓(xùn)練·素能提升](限時(shí)40分鐘，滿分80分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分)1．(2024·天津)設(shè)全集為R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2}D．{x|0<x<2}解析因?yàn)锽＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，因?yàn)锳＝{x|0<x<2}，所以A∩(?RB)＝{x|0<x<1}，故選B.答案B2．(2024·石家莊模擬)設(shè)集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，則下列結(jié)論正確的是A．A∪B＝{x|x<0}B．(?RA)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0}D．A∪(?RB)＝{x|x≥0}解析由題知，A＝(－1，2]，B＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，2]，A∩B＝(－1，0)，(?RA)∩B＝(－∞，－1]，A∪(?RB)＝(－1，＋∞)，故選C.答案C3．(2024·湘潭三模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z(1－2i)＝2＋i(其中i為虛數(shù)單位)，則z的模為A．1B.eq\r(2)C.eq\r(5)D．3解析通解由題意得z＝eq\f(2＋i,1－2i)＝i，|z|＝1，故選A.優(yōu)解因?yàn)閨z||1－2i|＝|2＋i|，所以eq\r(5)|z|＝eq\r(5)，即|z|＝1，故選A.答案A4．(2024·南昌模擬)歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺(jué)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式可知，eeq\f(π,3)i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析依據(jù)歐拉公式得eeq\f(π,3)i＝coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，它在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，位于復(fù)平面中的第一象限．答案A5．(2024·吉林三模)已知z是純虛數(shù)，eq\f(z＋2,1－i)是實(shí)數(shù)，那么z等于A．2iB．iC．－ID．－2i解析設(shè)z＝ai(a≠0，a∈R)，則eq\f(z＋2,1－i)＝eq\f(ai＋2,1－i)＝eq\f(（2＋ai）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(（2－a）＋（2＋a）i,2)，因?yàn)閑q\f(z＋2,1－i)是實(shí)數(shù)，所以2＋a＝0?a＝－2，故z＝－2i.答案D6．(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0，,2ab＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1.))故選A.答案A7．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿意eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿意z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿意z1z2∈R，則z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))∈R.其中的真命題為A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．對(duì)于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．對(duì)于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題．對(duì)于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因?yàn)閍1b2＋a2b1＝0D/?a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．對(duì)于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．答案B8．(2024·合肥模擬)下列說(shuō)法中，正確的是A．命題“若am2<bm2，則a<b”的逆命題是真命題B．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0”C．命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題D．已知x∈R，則“x>1”是“x>2”的充分不必要條件解析對(duì)于選項(xiàng)A，逆命題為“若a<b，則am2<bm2”，當(dāng)m＝0時(shí)，不成立，所以是假命題；對(duì)于選項(xiàng)B，特稱命題的否定是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C，命題“p或q”為真命題，則命題“p”和“q”至少有一個(gè)是真命題，不肯定全都是真命題，所以是假命題；對(duì)于選項(xiàng)D，“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，所以是假命題，故選B.答案B9．(2024·廣州二模)已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[－1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．[－1，3]解析由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，即q?p，pD/?q.所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故選C.答案C10．(2024·唐山五校聯(lián)考)已知命題p：“a>b”是“2a>2b”的充要條件；q：?x0∈R，|x0＋1|≤x0，則A．(綈p)∨q為真命題B．p∨q為真命題C．p∧q為真命題D．p∧(綈q)為假命題解析由函數(shù)y＝2x是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對(duì)于命題q，當(dāng)x＋1≥0，即x≥－1時(shí)，|x＋1|＝x＋1>x；當(dāng)x＋1<0，即x<－1時(shí)，|x＋1|＝－x－1，由－x－1≤x，得x≥－eq\f(1,2)，無(wú)解，因此命題q是假命題．所以(綈p)∨q為假命題，A錯(cuò)誤；p∨q為真命題，B正確；p∧q為假命題，C錯(cuò)誤；p∧(綈q)為真命題，D錯(cuò)誤．故選B.答案B11．(2024·廣東七校聯(lián)考)下列說(shuō)法正確的是A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1<0”D．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題解析A中，命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，故A不正確；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，故B不正確；C中，“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C不正確；D中，命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”為真命題，因此其逆否命題為真命題，D正確，故選D.答案D12．定義集合的商集運(yùn)算為eq\f(A,B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B)))).已知集合A＝{2，4，6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，則集合eq\f(B,A)∪B中的元素個(gè)數(shù)為A．6B．7C．8D．9解析由題意知，B＝{0，1，2}，eq\f(B,A)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)))，則eq\f(B,A)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7個(gè)元素，故選B.答案B二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·沈陽(yáng)質(zhì)檢)若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”為真命題，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______．解析令f(x)＝tanx＋1，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上為增函數(shù)，故f(x)的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝0，∵?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1，故m≤(tanx＋1)min，∴m≤0，故實(shí)數(shù)m的最大值為0.答案014．(2024·濰坊模擬)復(fù)數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq\o(z,\s\up6(－))1＋z2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．解析eq\o(z,\s\up6(－))1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,（a＋5）（a－1）)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\o(z,\s\up6(－))1＋z2是實(shí)數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.答案315．(2024·武漢模擬)命題p：“?x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立”，命題q：“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析因?yàn)閜∨q為假命題，所以命題p和q都是假命題，命題p是真命題的充要條件是a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－12a<0))?0≤a<3，所以其為假的充要條件是a<0或a≥3，命題q的否定是真命題，即對(duì)?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1≥0解得－1≤a≤3，所以－1≤a<0或a＝3.答案－1≤a<0或a＝316．若X是一個(gè)集合，τ是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿意：(1)X屬于τ，空集?屬于τ；(2)τ中隨意多個(gè)元素的并集屬于τ；(3)τ中隨意多個(gè)元素的交集屬于τ.則稱τ是集合X上的一個(gè)拓?fù)洌阎蟈＝{a，b，c}，對(duì)于下面給出的四個(gè)集合τ：①τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{?，{b}