專題17圖形的變換課標要求考點考向能夠在格點中進行圖形的平移、旋轉、對稱等變換作圖。明確變換的性質和規律，準確找出圖形變換后對應點的位置，進而作出變換后的圖形。學生不僅要能作出圖形，還要理解作圖的原理和依據，能夠運用幾何知識對所作圖形的合理性進行解釋和證明，將作圖與幾何推理、計算等相結合，解決相關問題。了解比例的基本性質、了解相似三角形的判定定理：了解相似三角形判定定理的證明。了解相似三角形的性質定理、了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。知道特殊角的三角函數值。會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角。在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置。能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。格點作圖考向一平移考向二對稱考向三旋轉考向四位似相似三角形考向一相似三角形的性質與判定考向二相似三角形綜合解直角三角形考向一三角函數考向二解直角三角形的應用考點一格點作圖?考向一平移1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉，得到四邊形，則點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．2．（2024·海南·中考真題）平面直角坐標系中，將點A向右平移3個單位長度得到點，則點A的坐標是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川資陽·中考真題）在平面直角坐標系中，將點沿y軸向上平移1個單位后，得到的點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當余數為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點”按上述規則連續平移3次后，到達點，其平移過程如下：若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點，則點Q的坐標為（

）A．或 B．或 C．或 D．或5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點的坐標分別為，，將線段平移得到線段．若點的對應點是，則點的對應點的坐標是．6．（2024·江蘇無錫·中考真題）在探究“反比例函數的圖象與性質”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊分別落在軸負半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發現兩點恰好都落在函數的圖象上，則的值為．?考向二對稱1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．(1)畫出關于y軸對稱的，并寫出點的坐標；2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，．

(1)將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．3．（2023·山東棗莊·中考真題）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發現的共同特征．

4．（2022·吉林·中考真題）圖①，圖②均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．其中點，，均在格點上．請在給定的網格中按要求畫四邊形．(1)在圖①中，找一格點，使以點，，，為頂點的四邊形是軸對稱圖形；(2)在圖②中，找一格點，使以點，，，為頂點的四邊形是中心對稱圖形．5．（2020·吉林·中考真題）如圖①、圖②、圖③都是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．，，均為格點．在給定的網格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與重合的線段，使與關于某條直線對稱，且，為格點．（2）在圖②中，畫一條不與重合的線段，使與關于某條直線對稱，且，為格點．（3）在圖③中，畫一個，使與關于某條直線對稱，且，，為格點．?考向三旋轉1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉，得到四邊形，則點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·中考真題）如圖，點A的坐標是，將線段繞點O順時針旋轉，點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．3．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C的坐標為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉，得到矩形，則點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為，則點的坐標為（

）．A． B． C． D．5．（2025·江蘇南京·中考真題）如圖，在邊長為4的等邊三角形中，是中線，將繞點順時針旋轉得到，連接，則．6．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點旋轉一個角度，再將旋轉后的多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為，稱這種變換為自旋轉位似變換．若順時針旋轉，記作，順，；若逆時針旋轉，記作，逆，．例如：如圖①，先將繞點逆時針旋轉，得到，再將以點為位似中心縮小到原來的，得到，這個變換記作，逆，．(1)如圖②，經過，順，得到，用尺規作出．（保留作圖痕跡）(2)如圖③，經過，逆，得到，經過，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．(3)如圖④，在中，若經過（2）中的變換得到的四邊形是正方形．①用尺規作出點D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；②直接寫出的長．7．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．

由旋轉的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數量關系并證明．

【拓展應用】如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數關系式．

?考向四位似1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（

）

A． B． C． D．2．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應點為，則點的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（

）A． B． C． D．考點二相似三角形?考向一相似三角形的性質與判定1．（2024·山東德州·中考真題）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點F，E．若，則為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．23．（2024·山東德州·中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為直角，要在該紙片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為cm．4．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，是矩形的頂點，點分別為邊上的點，將矩形沿直線折疊，使點B的對應點在邊的中點處，點C的對應點在反比例函數的圖象上，則5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為．6．（2024·海南·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經過的中點O，與地面垂直于點M，，當蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為．7．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②12圖③1__________________請補全表格中數據，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數量關系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？8．（2024·內蒙古·中考真題）如圖，內接于，直徑交于點，過點作射線，使得，延長交過點的切線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若．①求的長；②求的半徑．9．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數量關系，并說明理由．?考向二相似三角形綜合1．（2024·山東德州·中考真題）在中，，，點D是上一個動點（點D不與A，B重合），以點D為中心，將線段順時針旋轉得到線．(1)如圖1，當時，求的度數；(2)如圖2，連接，當時，的大小是否發生變化？如果不變求，的度數；如果變化，請說明理由；(3)如圖3，點M在CD上，且，以點C為中心，將線CM逆時針轉得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．2．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．【操作發現】小明作出了的內接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉得到．如圖①小明發現：與的位置關系是__________，請說明理由：【實踐探究】連接，與相交于點．如圖②，小明又發現：當確定時，線段的長存在最大值．請求出當．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進一步發現：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．3．（2024·海南·中考真題）正方形中，點E是邊上的動點（不與點B、C重合），，，交于點H，交延長線于點G．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于點P，交于點M．①求證：點P在的平分線上；②當時，猜想與的數量關系，并證明；③作于點N，連接，當時，若，求的值．4．（2024·江蘇鎮江·中考真題）主題學習：僅用一把無刻度的直尺作圖【閱讀理解】任務：如圖1，點D、E分別在的邊、上，，僅用一把無刻度的直尺作、的中點．

操作：如圖2，連接、交于點P，連接交于點M，延長交于點N，則M、N分別為、的中點．理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，則，，即M、N分別為、的中點．【實踐操作】請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖3，，點E、F在直線上．①作線段的中點；②在①中作圖的基礎上，在直線上位于點Ｆ的右側作一點P，使得；（2）小明發現，如果重復上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…k倍（k為正整數）的線段．如圖4，，已知點、在上，他利用上述方法作出了．點E、F在直線上，請在圖4中作出線段的三等分點；【探索發現】請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（3）如圖5，是的中位線．請在線段上作出一點Q，使得（要求用兩種方法）．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作的垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數式表示）．6．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．7．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內切圓的半徑r及的長．8．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側．(1)當點是邊的中點時，求的長；(2)當時，點到直線的距離為________；(3)連結，當時，求正方形的邊長；(4)若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）考點三解直角三角形?考向一三角函數1．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數學教育大會（）會標如圖所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林長春·中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射．當火箭上升到點時，位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米3．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點，且，連接與相交于點，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·云南·中考真題）在中，若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．7．（2024·天津·中考真題）的值等于（

）A． B． C． D．?考向二解直角三角形的應用1．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區全貌．某數學興趣小組用無人機測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點在同一平面內），則潮汐塔的高度為（

）（結果精確到．參考數據：）A． B． C． D．2．（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米3．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數據：，，）A． B． C． D．4．（2024·四川德陽·中考真題）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物的高為（

）米A．20 B．15 C．12 D．5．（2024·山西·中考真題）研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動．同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀念碑的相關數據．數據采集：如圖，點是紀念碑頂部一點，的長表示點到水平地面的距離．航模從紀念碑前水平地面的點處豎直上升，飛行至距離地面20米的點處時，測得點的仰角；然后沿方向繼續飛行，飛行方向與水平線的夾角，當到達點正上方的點處時，測得米；數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，，，三點在同一直線上．請根據上述數據，計算紀念碑頂部點到地面的距離的長（結果精確到1米．參考數據：，，，，，．6．（2024·西藏·中考真題）在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F，N在同一條直線上，求小山的高度．（結果保留根號）

7．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請你根據以上信息解決下列問題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明．（參考數據：）8．（2024·內蒙古·中考真題）實驗是培養學生創新能力的重要途徑．如圖是小亮同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應固定在距試管口的三分之一處．現將左側的實驗裝置圖抽象成右側示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結果用含非特殊角的三角函數表示）(2)實驗時，導氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點F，且于點N（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：，求線段的長度．（結果用含非特殊角的三角函數表示）9．（2024·湖北·中考真題）某數學興趣小組在校園內開展綜合與實踐活動，記錄如下：活動項目測量校園中樹的高度活動方案“測角儀”方案“平面鏡”方案方案示意圖實施過程1．選取與樹底B位于同一水平地面的D處；2．測量D，B兩點間的距離；3．站在D處，用測角儀測量從眼睛C處看樹頂A的仰角；4．測量C到地面的高度．1．選取與樹底B位于同一水平地面的E處；2．測量E，B兩點間的距離；3．在E處水平放置一個平面鏡，沿射線方向后退至D處，眼睛C剛好從鏡中看到樹頂A；4．測量E，D兩點間的距離；5．測量C到地面的高度．測量數據1．；2．；3．．1．；2．；3．．備注1．圖上所有點均在同一平面內；2．均與地面垂直；3．參考數據：．1．圖上所有點均在同一平面內；2．均與地面垂直；3．把平面鏡看作一個點，并由物理學知識可得．請你從以上兩種方案中任選一種，計算樹的高度．一、單選題1．（2024·安徽宿州·模擬預測）如圖，實線部分是一個正方體展開圖，點A，B，C，D，E均在的邊上，則（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽宿州·模擬預測）的相反數是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽合肥·三模）如圖，在四邊形中，，以為直角邊作等腰直角，點E正好落在邊上，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．4．（2024·安徽宿州·模擬預測）如圖，在中，，D是上一點，于E，且，則的長為（

）A．2 B． C． D．5．（2024·安徽亳州·模擬預測）如圖，是的中線，點F在上，延長交于點D，若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·安徽亳州·模擬預測）若，則銳角的度數應是（

）A． B． C． D．7．（2024·安徽亳州·模擬預測）在中，，，，則的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．4二、填空題8．（2024·安徽宿州·模擬預測）如圖，在矩形中，為對角線，點F在上，連接交于點E，且；（1）則；（2）若為等腰直角三角形，，則．9．（2024·安徽宿州·模擬預測）已知，那么．10．（22-23九年級上·山東濰坊·階段練習）在中，若，則．三、解答題11．（2024·安徽宿州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中的頂點坐標分別為．(1)畫出關于y軸對稱的（點A，B，C的對應點分別是點．）；(2)以點O為位似中心在第四象限內畫出的位似圖形，使得與的相似比為．12．（2024·安徽·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點分別是，，．(1)請畫出將繞點C逆時針旋轉后得到的；(2)在（2）的條件下，求點A旋轉到點所經過的路線長（結果保留π）．13．（2024·安徽·模擬預測）已知，四邊形為菱形，對角線，交于點，為邊上一點，為對角線上一點，且，．(1)如圖，當時，連接并延長交于點；求證：；求的度數；(2)如圖，求證：．14．（2024·安徽·模擬預測）如圖所示，圖中的小方格都是邊長為的正方形，與是以點為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．(1)畫出位似中心，并直接寫出與的相似比；(2)以位似中心為旋轉中心，把按順時針方向旋轉得到，畫出．15．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在正方形中，點是對角線上一點，連接，過點作交邊于點．(1)求的度數；(2)如圖，連接與交于點，與交于點，設與交于點．①若，求證：；②如圖，若正方形的邊長為，點是的中點，試求的長．16．（2024·安徽·模擬預測）某超市自動扶梯路線如圖所示，一樓扶梯段坡角為，中轉平臺，二樓扶梯段坡角為，已知，，，求水平距離的長．（結果精確到，參考數據：，，，）17．（2024·安徽·模擬預測）某海域有兩個海拔均為米的海島A和海島，一勘測飛機在距離海平面垂直高度為米的空中飛行，飛行到點處時測得正前方一海島頂端A的俯角是，然后沿平行與的方向水平飛行米到達點處，在處測得正前方另一海島頂端的俯角是，求兩海島間的距離．18．（2024·安徽·三模）如圖1是某地紅色廣場標牌，將其紅色主體部分拍象為圖2，，，，米，米，求該標牌的高（精確到米，參考數據：，，，

專題17圖形的變換課標要求考點考向能夠在格點中進行圖形的平移、旋轉、對稱等變換作圖。明確變換的性質和規律，準確找出圖形變換后對應點的位置，進而作出變換后的圖形。學生不僅要能作出圖形，還要理解作圖的原理和依據，能夠運用幾何知識對所作圖形的合理性進行解釋和證明，將作圖與幾何推理、計算等相結合，解決相關問題。了解比例的基本性質、了解相似三角形的判定定理：了解相似三角形判定定理的證明。了解相似三角形的性質定理、了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。知道特殊角的三角函數值。會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角。在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置。能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。格點作圖考向一平移考向二對稱考向三旋轉考向四位似相似三角形考向一相似三角形的性質與判定考向二相似三角形綜合解直角三角形考向一三角函數考向二解直角三角形的應用考點一格點作圖?考向一平移1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉，得到四邊形，則點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉和平移，全等三角形的性質與判定，先根據題意得到平移方式為向右平移3個單位長度，則可得平移后點A的對應點坐標為；如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明，得到，則，即點A的對應點的坐標是．【詳解】解：由題意得，平移前，∵將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，∴平移方式為向右平移3個單位長度，∴平移后點A的對應點坐標為，如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，∴，由旋轉的性質可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點A的對應點的坐標是，故選：A．2．（2024·海南·中考真題）平面直角坐標系中，將點A向右平移3個單位長度得到點，則點A的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了坐標與圖形的平移變化．根據坐標的平移變化的規律，左右平移只改變點的橫坐標，左減右加．上下平移只改變點的縱坐標，下減上加．據此求解即可．【詳解】解：∵將點A向右平移3個單位長度得到點，∴點A的坐標是，即．故選：C．3．（2024·四川資陽·中考真題）在平面直角坐標系中，將點沿y軸向上平移1個單位后，得到的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了坐標系中點的平移規律．根據橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減可得答案．【詳解】點沿y軸向上平移1個單位后，得到的點的坐標為故選：B．4．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當余數為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點”按上述規則連續平移3次后，到達點，其平移過程如下：若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點，則點Q的坐標為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了坐標內點的平移運動，熟練掌握知識點，利用反向運動理解是解決本題的關鍵．先找出規律若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，按照的反向運動理解去分類討論：①先向右1個單位，不符合題意；②先向下1個單位，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為．【詳解】解：由點可知橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，繼而向上平移1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為2，繼而向左平移1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，又要向上平移1個單位，因此發現規律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點，則按照“和點”反向運動16次求點Q坐標理解，可以分為兩種情況：①先向右1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0，應該是向右平移1個單位得到，故矛盾，不成立；②先向下1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，則應該向上平移1個單位得到，故符合題意，那么點先向下平移，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，故選：D．5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點的坐標分別為，，將線段平移得到線段．若點的對應點是，則點的對應點的坐標是．【答案】【分析】此題主要考查了點的平移規律與圖形的平移，關鍵是掌握平移規律，左右移，縱不變，橫減加，上下移，橫不變，縱加減．根據平移的性質，結合已知點，的坐標，知點的橫坐標加上了1，縱坐標加1，則的坐標的變化規律與點相同，即可得到答案．【詳解】解：平移后對應點C的坐標為，點的橫坐標加上了4，縱坐標加1，，點坐標為，即，故答案為：．6．（2024·江蘇無錫·中考真題）在探究“反比例函數的圖象與性質”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊分別落在軸負半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發現兩點恰好都落在函數的圖象上，則的值為．【答案】2或3【分析】本題考查了反比例函數，平移，解一元二次方程．先得出點A和點B的坐標，再得出平移后點A和點B對應點的坐標，根據平移后兩點恰好都落在函數的圖象上，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，設平移后點A、B的對應點分別為，∴，∵兩點恰好都落在函數的圖象上，∴把代入得：，解得：或．故答案為：2或3．?考向二對稱1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．(1)畫出關于y軸對稱的，并寫出點的坐標；【答案】(1)作圖見解析，【分析】本題考查了利用旋轉變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．（1）根據題意畫出即可；關于y軸對稱點的坐標橫坐標互為相反數，縱坐標不變；【詳解】（1）解：如圖，為所求；點的坐標為，2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，．

(1)將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．【答案】(1)見解析【分析】（1）根據平移的性質得出對應點的位置進而畫出圖形；【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

3．（2023·山東棗莊·中考真題）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發現的共同特征．

【答案】（1）觀察發現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；（2）見解析【分析】（1）應從對稱方面，陰影部分的面積等方面入手思考；（2）應畫出既是軸對稱圖形，且面積為4的圖形．【詳解】解：（1）觀察發現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；故答案為：觀察發現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；（2）如圖：

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱圖形設計圖案，關鍵是掌握利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案．4．（2022·吉林·中考真題）圖①，圖②均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．其中點，，均在格點上．請在給定的網格中按要求畫四邊形．(1)在圖①中，找一格點，使以點，，，為頂點的四邊形是軸對稱圖形；(2)在圖②中，找一格點，使以點，，，為頂點的四邊形是中心對稱圖形．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【分析】（1）以所在直線為對稱軸，找出點的對稱點即為點，再順次連接點即可得；（2）根據點平移至點的方式，將點進行平移即可得點，再順次連接點即可得．【詳解】（1）解：如圖①，四邊形是軸對稱圖形．（2）解：先將點向左平移2格，再向上平移1個可得到點，則將點按照同樣的平移方式可得到點，如圖②，平行四邊形是中心對稱圖形．【點睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形、平移作圖，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念是解題關鍵．5．（2020·吉林·中考真題）如圖①、圖②、圖③都是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．，，均為格點．在給定的網格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與重合的線段，使與關于某條直線對稱，且，為格點．（2）在圖②中，畫一條不與重合的線段，使與關于某條直線對稱，且，為格點．（3）在圖③中，畫一個，使與關于某條直線對稱，且，，為格點．【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）圖見解析．【分析】（1）先畫出一條的正方形網格的對稱軸，根據對稱性即可在圖①中，描出點AB的對稱點MN，它們一定在格點上，再連接即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；【詳解】解：（1）如圖①，的正方形網格的對稱軸l，描出點AB關于直線l的對稱點MN，連接即為所求；（2）如圖②，同理（1）可得，即為所求；（3）如圖③，同理（1）可得，即為所求．【點睛】本題考查了作圖軸對稱變換，解決本題的關鍵是找到圖形對稱軸的位置．?考向三旋轉1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉，得到四邊形，則點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉和平移，全等三角形的性質與判定，先根據題意得到平移方式為向右平移3個單位長度，則可得平移后點A的對應點坐標為；如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明，得到，則，即點A的對應點的坐標是．【詳解】解：由題意得，平移前，∵將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，∴平移方式為向右平移3個單位長度，∴平移后點A的對應點坐標為，如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，∴，由旋轉的性質可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點A的對應點的坐標是，故選：A．2．（2024·湖北·中考真題）如圖，點A的坐標是，將線段繞點O順時針旋轉，點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化旋轉，全等三角形的判定和性質，熟知圖形旋轉的性質是解題的關鍵．根據題意畫出旋轉后的圖形，再結合全等三角形的判定與性質即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，分別過點和點作軸的垂線，垂足分別為和，由旋轉可知，，，，．在和中，，，，．點的坐標為，，，點的坐標為．故選：B．3．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C的坐標為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉，得到矩形，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，矩形的性質等等，先根據題意得到，再由矩形的性質可得，由旋轉的性質可得，，據此可得答案．【詳解】解：∵點A的坐標為，點C的坐標為，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形繞點O順時針旋轉，得到矩形，∴，，∴軸，∴點的坐標為，故選：C．4．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉到的位置，使點的對應點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為，則點的坐標為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數、旋轉的性質、勾股定理等知識點．找出點的坐標規律以及旋轉過程中線段長度的關系是解題的關鍵．通過求出點的坐標，、、的長度，再根據旋轉的特點逐步推導出后續點的位置和坐標，然后結合圖形求解即可．【詳解】軸，點的坐標為，，則點的縱坐標為3，代入，得：，則點的坐標為．，，，由旋轉可知，，，，，，，．設點的坐標為，則，解得或（舍去），則，點的坐標為．故選C．5．（2025·江蘇南京·中考真題）如圖，在邊長為4的等邊三角形中，是中線，將繞點順時針旋轉得到，連接，則．【答案】【分析】過點E作交延長線于點H，由等邊三角形的性質得到，繼而由三線合一得到，，由勾股定理得到，旋轉得到，，則，繼而，即可求解面積．【詳解】解：過點E作交延長線于點H，∵為等邊三角形∴，∵是中線，∴，，∴由勾股定理得：，由旋轉得：，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，角直角三角形的性質，旋轉的性質，正確構造輔助線是解題的關鍵．6．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點旋轉一個角度，再將旋轉后的多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為，稱這種變換為自旋轉位似變換．若順時針旋轉，記作，順，；若逆時針旋轉，記作，逆，．例如：如圖①，先將繞點逆時針旋轉，得到，再將以點為位似中心縮小到原來的，得到，這個變換記作，逆，．(1)如圖②，經過，順，得到，用尺規作出．（保留作圖痕跡）(2)如圖③，經過，逆，得到，經過，順，得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．(3)如圖④，在中，若經過（2）中的變換得到的四邊形是正方形．①用尺規作出點D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；②直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②【分析】（1）旋轉，可作等邊三角形，，從而得出點和點對應點，，進而作出圖形；（2）根據和位似，與位似得出，，，進而推出，從而，進而得出，同理可得：，從而推出四邊形是平行四邊形；（3）要使是正方形，應使，，從而得出，從而得出，從而，于是作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法．【詳解】（1）解：如圖1，1．以為圓心，為半徑畫弧，以為圓心，為半徑畫弧，兩弧在的上方交于點，分別以，為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點，2．延長至，使，延長至，使，連接，則就是求作的三角形；（2）證明：和位似，與位似，，，，，，，，，同理可得：，四邊形是平行四邊形；（3）解：如圖2，1．以為邊在上方作等邊三角形，2．作等邊三角形的外接圓，作直徑，連接，3．作，，延長，交于，連接，，則四邊形是正方形，證明：由上知：，，，，，，，要使是正方形，應使，，，，，，，作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法；，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，確定圓的條件，尺規作圖等知識，解決問題的關鍵是較強的分析能力．7．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．

由旋轉的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數量關系并證明．

【拓展應用】如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數關系式．

【答案】【問題解決】①；②；③5；【知識遷移】，見解析；【拓展應用】；【問題再探】【分析】【問題解決】根據題中思路解答即可；【知識遷移】如圖，將繞點逆時針旋轉，得到．過點作交邊于點，連接．由旋轉的特征得．結合題意得．證明，得出．根據正方形性質得出．結合，得出．證明，得出．證明．得出．在中，根據勾股定理即可求解；【拓展應用】如圖所示，設直線交延長線于點，交延長線于點，將繞著點順時針旋轉，得到，連接．則．則，，根據，證明，得出，過點H作交于點O，過點H作交于點M，則四邊形為矩形．得出，證明是等腰直角三角形，得出，，在中，根據勾股定理即可證明；【問題再探】如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，連接．過點作，垂足為點，過點作，垂足為．過點作，過點作交于點、交于點．由旋轉的特征得．根據，得出，證明，得出，根據勾股定理算出，根據，表示出，證明，根據相似三角形的性質表示出，，同理可得．，證明四邊形為矩形．得出，，在中，根據勾股定理即可求解；【詳解】【問題解決】解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．

由旋轉的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴①．∴．又∵，∴在中，②．∵，，∴③．【知識遷移】．證明：如圖，將繞點逆時針旋轉，得到．過點作交邊于點，連接．

由旋轉的特征得．由題意得，∴．在和中，，∴．∴．又∵為正方形的對角線，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．在和中，，∴．∴．在中，，∴．【拓展應用】．證明：如圖所示，設直線交延長線于點，交延長線于點，

將繞著點順時針旋轉，得到，連接．則．則，，，，在和中，，∴，過點H作交于點O，過點H作交于點M，則四邊形為矩形．∴，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，，∴，即，又∴，∴，即，【問題再探】如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，連接．過點作，垂足為點，過點作，垂足為．過點作，過點作交于點、交于點．

由旋轉的特征得．，，，即，在和中，，，，，，又，，，，，，即，，同理可得．，，，又∵，∴四邊形為矩形．，，在中，．，解得．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉變換的性質、矩形的性質和判定、正方形的性質和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，靈活運用旋轉變換作圖，掌握以上知識點是解題的關鍵．?考向四位似1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據題意橫縱的坐標乘以，即可求解．【詳解】解：依題意，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應點的坐標是故選：D．2．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應點為，則點的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了位似變換，根據點的坐標可得到位似比，再根據位似比即可求解，掌握位似變換的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵與是位似圖形，點的對應點為，∴與的位似比為，∴點的對應點的坐標為，即，故選：．3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，，∴，∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為，∵三角形硬紙板的面積為，∴，∴的面積為．故選：D．考點二相似三角形?考向一相似三角形的性質與判定1．（2024·山東德州·中考真題）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點F，E．若，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的性質、勾股定理、三角形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質以及角平分線的性質是解答的關鍵．設，，利用勾股定理求得，，再證明得到，再利用角平分線的性質和三角形的面積得到即可求解．【詳解】解：∵，設，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴點F到、的距離相等，又點A到、的距離相等，∴，即，故選：A．2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．2【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數的圖形與性質，反比例函數的系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標的特征，利用線段的長度表示出點的坐標是解題的關鍵．設，利用正方形的性質和相似三角形的判定與性質得到a，b的關系式，再利用求得a，b值，則點A坐標可求，最后利用待定系數法解答即可得出結論．【詳解】解：設，由題意得：．∵正方形與（其中邊分別在x，y軸的正半軸上）的公共頂點A在反比例函數的圖象上，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．∴．∴，∴．故選：C3．（2024·山東德州·中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為直角，要在該紙片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為cm．【答案】【分析】連接，作的平分線交于點，作于，如圖求得，則，，所以平分和，加上平分，根據角平分線性質得到點到四邊形的各邊的距離相等，則得到是四邊形的內切圓，它是所求的面積最大的圓形紙片，其半徑為，接著證明為等腰直角三角形得到，設，則，，然后證明，利用相似比可計算出．【詳解】解：連接，作的平分線，交于點O，作于，在和中，，∴，∴，平分和，平分，點到四邊形的各邊的距離相等，∴是四邊形的內切圓，它是所求的面積最大的圓形紙片，其半徑為，，，∴為等腰直角三角形，，設，則，，∵，，∴，，即，．即的半徑為，∴圓形紙片的半徑為．故答案為：【點睛】本題考查四邊形的內切圓，角平分線的性質，相似三角形的判定及性質，證明該四邊形的內切圓是所求的面積最大的圓是解題的關鍵．4．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，是矩形的頂點，點分別為邊上的點，將矩形沿直線折疊，使點B的對應點在邊的中點處，點C的對應點在反比例函數的圖象上，則【答案】【分析】設交與點E，過點作軸于點H．利用矩形的性質、折疊的性質和勾股定理等可求出，，，，，，證明，利用相似三角形的性質可求出，，證明，利用相似三角形的性質可求出，，則可出求的坐標，然后利用待定系數法求解即可．【詳解】解：如圖，設交與點E，過點作軸于點H．四邊形是矩形，，，，，，點是的中點，．在中，，，，矩形沿直線折疊，，，，，，，即，解得，，，，，．，．又，，，即，解得，，，點的坐標為，．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質，勾股定理，反比例函數等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造相似三角形求解是解題的關鍵．5．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為．【答案】96【分析】此題重點考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識．作交于點H，則，求得，再證明，求得，再證明，則，利用勾股定理求得的長，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案．【詳解】解：作交于點H，則，∵四邊形是邊長為10的菱形，對角線相交于點O，∴，，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：96．6．（2024·海南·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經過的中點O，與地面垂直于點M，，當蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為．【答案】80【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質．過點B作交的延長線于N，求得，得到，根據相似三角形的性質解答即可．【詳解】解：過點B作交的延長線于N，

∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴另一端B離地面的高度為．故答案為：80．7．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②12圖③1__________________請補全表格中數據，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數量關系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？【答案】（1）見解析；，（2），證明見解析；（3）是定值【分析】（1）根據特殊角的三角函數值分別計算，再填表即可；再由可得結論；（2）如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，證明為等邊三角形，，，設，，利用相似三角形的性質求解，再進一步可得；（3）根據題目要求畫圖，設，運用等腰三角形性質和三角形內角和定理可求得，過點作于，于，過點作于，利用，即可求得答案．【詳解】解：（1）∵，是的角平分線，，∴，∴；∴，；圖序角平分線的長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②12圖③1如圖，由（1）可得：，∴，∴，，∴；（2）猜想：，理由如下：如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，∵，平分，∴為等邊三角形，，，設，，∴，，而，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∵，∴，即，解得：，∴；，∴；（3）補全圖形如圖所示：設，，，，，，，，，，解得：，，如圖，過點作于，于，過點作于，，，，，，，在中，，，，，，，由是確定的，由作圖可得為定長，而和為定值，為定值，即為定值．【點睛】本題屬于實際探究題，考查了類比方法的應用，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的靈活應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．8．（2024·內蒙古·中考真題）如圖，內接于，直徑交于點，過點作射線，使得，延長交過點的切線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若．①求的長；②求的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)①；②．【分析】（）連接，則，可得，由可得，進而由等腰三角形的性質可得，得到，即可求證；（）①證明得到，據此即可求解；②由①可得，進而得，，利用勾股定理得，再證明，得到，即可得，求出即可求解．【詳解】（1）證明：連接，則，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：①∵是的切線，∴，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴的半徑為．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質和判定，余角性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點E，F分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，見解析【分析】（1）證明對應角相等，即可得到；（2）根據，求得的長度，從而得出長度；（3）延長，交于一點，連接，先證明，得到相等的邊，再根據，得出大小關系．【詳解】（1）證明：如圖，四邊形是矩形，，，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，，，；（2）解：四邊形是矩形，，，，為中點，，設，，在中，，即，解得，，，，，即，，，．（3）解：如圖，延長，交于一點，連接，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，直線，，，，，是等腰三角形，，為中點，設，，為中點，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，，即．【點睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握以上基礎知識是解題關鍵．?考向二相似三角形綜合1．（2024·山東德州·中考真題）在中，，，點D是上一個動點（點D不與A，B重合），以點D為中心，將線段順時針旋轉得到線．(1)如圖1，當時，求的度數；(2)如圖2，連接，當時，的大小是否發生變化？如果不變求，的度數；如果變化，請說明理由；(3)如圖3，點M在CD上，且，以點C為中心，將線CM逆時針轉得到線段CN，連接EN，若，求線段EN的取值范圍．【答案】(1)(2)的大小不發生變化，，理由見解析(3)【分析】（1）由旋轉的性質得，由等邊對等角和三角形內角和定理得到，由三角形外角的性質得，進而可求出的度數；（2）連接交于點O，證明得，再證明即可求出的度數；（3）過點C作于H，求出，則；由旋轉的性質得，，，設，則；如圖所示，過點D作于G，則可得到，，由勾股定理得；證明，在中，由勾股定理得；再求出，即可得到．【詳解】（1）解：由旋轉的性質得．∵，，∴．∵，∴，∴；（2）解：的大小不發生變化，，理由如下：連接交于點O，由旋轉的性質得，，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點C作于H，∵，，∴，∵，∴；由旋轉的性質得，，，設，∵，∴，如圖所示，過點D作于G，∵，，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理得，∴,∵，∴，在中，由勾股定理得，∴或（舍去）；∵點D是上一個動點（點D不與A，B重合），∴，即，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，旋轉的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，等邊對等角等，正確作出輔助線構造相似三角形和直角三角形是解題的關鍵．2．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．【操作發現】小明作出了的內接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉得到．如圖①小明發現：與的位置關系是__________，請說明理由：【實踐探究】連接，與相交于點．如圖②，小明又發現：當確定時，線段的長存在最大值．請求出當．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進一步發現：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．【答案】操作發現：與相切；實踐探究：；問題解決：見解析【分析】操作發現：連接并延長交于點M，連接，根據直徑所對圓周角為直角得到，根據旋轉的性質得到，由圓周角定理推出，等量代換得到，利用直角三角形的性質即可證明，即可得出結論；實踐探究：證明，得到，結合三角形外角的性質得到，易證，得到，設，則，得到，利用二次函是的性質即可求解；問題解決：過點E作交于點N，由旋轉的性質知：，證明，推出，由旋轉的性質得：，得到，根據，易證，得到，即可證明結論．【詳解】操作發現：解：連接并延長交于點M，連接，是直徑，，，由旋轉的性質得，，，，是的半徑，與相切；實踐探究：解：由旋轉的性質得：，即，，，，，，，，，設，則，，，，當時，有最大值為；問題解決：證明：過點E作交于點N，由旋轉的性質知：，，，，，由旋轉的性質得：，，，，，，，．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，旋轉的性質，三角形相似的判定與性質，二次函數最值的應用，正確作出輔助線，構造三角形相似是解題的關鍵．3．（2024·海南·中考真題）正方形中，點E是邊上的動點（不與點B、C重合），，，交于點H，交延長線于點G．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于點P，交于點M．①求證：點P在的平分線上；②當時，猜想與的數量關系，并證明；③作于點N，連接，當時，若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②；③．【分析】（1）利用即可證明；（2）①證明是等腰直角三角形，再推出四點共圓，求得，據此即可證明結論成立；②由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，證明，根據相似三角形的性質即可求解；③證明四邊形是平行四邊形，推出和都是等腰直角三角形，設，則，，由，得到，據此求解即可．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）①證明：連接，

由（1）得，∴，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴四點共圓，∴，∵，，∴點P在的平分線上；②，理由如下：由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，

∵正方形，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴；③由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，

∴，同理四點共圓，則，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，設平行四邊形的對角線的交點為，且，∵是等腰直角三角形，∴和都是等腰直角三角形，設，則，，∵，，∴，∴，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，四點共圓，熟練掌握三角形全等的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．4．（2024·江蘇鎮江·中考真題）主題學習：僅用一把無刻度的直尺作圖【閱讀理解】任務：如圖1，點D、E分別在的邊、上，，僅用一把無刻度的直尺作、的中點．

操作：如圖2，連接、交于點P，連接交于點M，延長交于點N，則M、N分別為、的中點．理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，則，，即M、N分別為、的中點．【實踐操作】請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖3，，點E、F在直線上．①作線段的中點；②在①中作圖的基礎上，在直線上位于點Ｆ的右側作一點P，使得；（2）小明發現，如果重復上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…k倍（k為正整數）的線段．如圖4，，已知點、在上，他利用上述方法作出了．點E、F在直線上，請在圖4中作出線段的三等分點；【探索發現】請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（3）如圖5，是的中位線．請在線段上作出一點Q，使得（要求用兩種方法）．【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】實踐操作（1）①根據[閱讀理解]部分的作法：在上方任取一點，得到，與交于點，交于點，連接，交于點，作射線交，分別于，，點即為所求點；②作射線交于點，作射線交于點，點即為所求；（2）根據上述作法，有兩種作法；[探索發現]如作法一，根據相似可知，連接，交于點，則，即點是的三等分點之一，由此可以得出過點作的平行線；同理可得點是的三等分點之一，則，即點為所求作點．【詳解】解：[實踐操作]（1）①如圖，點即為所求作的點；②如圖，點即為所求作的點；（2）如圖，作法一、作法二、點，即為所求作的點；[探索發現]（3）如圖，作法一、作法二、作法三、作法四、作法五、點即為所求的點．【點睛】本題主要相似三角形的性質與判定，復雜的幾何作圖，考查類比的數學思想，理解[閱讀理解]部分中，為中點是解題關鍵．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作的垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數式表示）．【答案】[操作判斷]45；[探究證明]（1）等腰直角三角形，理由見詳解；（2）見詳解；[深入研究]【分析】[操作判斷]根據正方形的性質以及折疊的性質即可求解；[探究證明]（1）先證明，再證明，則，繼而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，則，因此；[深入研究]連接，先證明，則，由，設，則，而，

則，可得，，，那么，故．【詳解】[操作判斷]解：如圖，由題意得，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故答案為：45；[探究證明]解：（1）如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如圖，由翻折得，，∵四邊形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，∵是對角線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴設，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形背景下的折疊問題，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，折疊的性質，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．6．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證明，得出，即可證明結論；（2）過點C作于點F，過點D作于點G，解直角三角形得出，，證明，得出，求出，根據勾股定理得出，得出，證明，得出，求出；（3）連接，證明，得出，求出，證明為直角三角形，得出，根據勾股定理求出，證明，得出，求出結果即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∴；（2）過點C作于點F，過點D作于點G，如圖所示：則，∴，∵，∴，，∵為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；（3）連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，負值舍去，∴，∴，∵，∴為直角三角形，，∴，∴在中根據勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理及其逆定理，三角函數的應用，三角形相似的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．7．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內切圓的半徑r及的長．【答案】(1)①×；②√；③√(2)①外接型單圓；②