高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省云學名校聯盟2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2.函數的零點所在區間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知函數上單調遞增，又，即，故函數的零點所在區間為.故選：B.3.已知非零向量與共線，下列說法正確的是（）A.與共線 B.與不共線C.若，則 D.若，則是一個單位向量【答案】D【解析】當，，，四點在一條直線上時，與共線，否則與可能不共線，所以AB選項錯誤；若，無法確定向量方向，不能確定向量相等，C選項錯誤；根據單位向量定義可知若，則是一個單位向量，D選項正確.故選：D.4.已知，集合，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，由，解得或，或，由解得或，即或，因為，所以，所以，所以是的真子集，所以是的充分不必要條件.故選：A.5.紙折扇是我國古代傳統的工藝制品，它是以細長的竹片制成眾多的扇骨，然后將扇骨疊起，其下端頭部以釘鉸固定，其余則展開為扇形，上裱糊以紙，作扇面，并在扇面上題詩作畫.如圖所示，已知折扇兩端的扇骨長均為18cm且夾角為，扇面（裱糊以紙的部分）上下的弧長L與l之比為3:1，則扇面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】大扇形半徑為，則小扇形半徑為，，所以上弧長，下弧長為，所以扇環也即扇面的面積為.故選：B.6.已知角為的一個內角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為三角形內角，所以，所以，又因，且，所以，所以，所以，由二倍角公式有：.故選：A.7.已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設，函數在上單調遞增，易知在上單調遞減，當時，滿足題設，當時，或，綜上，.故選：B.8.已知函數是定義在上的奇函數，且，且當時，，則（）A. B.0 C.2 D.【答案】B【解析】因為函數是定義在上的奇函數，所以，即，即函數關于點對稱，所以，又因為，則函數關于直線對稱，即，所以，令，則，，即，所以，即，函數是周期為的周期函數，又當時，，則，，則，，，則.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，下列不等關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】對于A，因為，結合不等式性質可知，A正確；對于B，由于，故，B正確；對于C，，則冪函數在上單調遞減，故，C錯誤；對于D，由于，故，D錯誤.故選：AB.10.函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在的值域為C.將的圖像向左平移個單位后為奇函數D.的單調遞增區間為，【答案】ACD【解析】對于A，由圖可知，，，所以，所以，故，所以，由得，故A正確；對于B，所以，，所以，所以的值域為，故B錯誤；對于C，將的圖像向左平移個單位后得，是奇函數，故C正確；對于D，，由，，解得，，即，，所以單調遞增區間為，，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，若存在實數m使得方程有四個互不相等的實數根，，，，則下列敘述中正確的有（）A. B.C. D.有最小值【答案】ABD【解析】若存在實數m使得方程有四個互不相等的實數根，則函數與有4個不同的交點，在同一坐標系中作出函數與函數的圖象如圖所示：當或，，又時，則由圖象可知函數與有4個不同的交點時，可得，故A正確；且，當時，是方程的兩個實數根，所以是方程的兩個實數根，由根與系數的關系可得，故B正確；當時，是方程的兩根，所以，所以，所以，，所以，故C錯誤；因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所認有最小值，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數是偶函數，則不等式的解集為________．【答案】【解析】冪函數是偶函數，，解得或，當時，為奇函數，不符合題意，當時，為偶函數，符合題意，,在內單調遞增，且為偶函數，可化為，兩邊取平方可得：，整理的，解得，的解集為.13.已知函數的最小值為，則實數a的取值范圍是________．【答案】【解析】若，則，在上是減函數，不是最小值，不合題意；若，則時，是增函數，因此時，，函數無最小值；若，則時，是減函數，，時，，因此在時是增函數，由得，所以，當時，，的最小值是，不是，不合題意，綜上，的取值范圍是．14.已知函數在時取得最大值．且關于點中心對稱，當取得最小值時，的值為________．【答案】【解析】因為函數在時取得最大值，且關于點中心對稱，所以，兩式作差得，所以，因為，即，得，，當時，，將代入，得，不滿足，不合題意；當時，，將代入，得，當時，，滿足，當時，，所以的最小值為，此時，所以.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16，17小題15分，第18，19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.計算下列各式的結果：（1）；（2）已知，求的值．解：（1）.（2）由誘導公式可知，即，所以.16.已知命題，，命題，．（1）若命題p為真命題，求實數m的取值范圍；（2）若命題p，q有且僅有一個為真命題，求實數m的取值范圍．解：（1）因為，，可得在有解，所以，令，由對勾函數可知函數在單調遞減，在上單調遞增，又，，所以，所以命題p為真命題時，實數m的取值范圍為.（2）若，，則，解得．所以q為真命題時，實數m的取值范圍為；當命題p為真命題，q為假命題時，m應滿足，所以，當命題p為假命題，q為真命題時，m應滿足，所以，綜上所述：命題p，q有且僅有一個為真命題，實數m的取值范圍為．17.“綠色出行，低碳環?！币殉蔀樾碌臅r尚，近幾年，國家相繼出臺了一系列的環保政策，在汽車行業提出了重點扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業的發展開辟了廣闊的前景．某新能源沉車配件公司為擴大生產，計劃改進技術生產某種組件，已知生產該產品的年固定成本為2000萬元，每生產萬件，需另投入成本萬元，且時，；當時，，由市場調研知，該產品每件的售價為2000元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完．（1）年利潤y（萬元）與年產量x（萬件）的關系式（利潤=銷售收入-成本）；（2）當該產品的年產量為多少萬件時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？解：（1）由題意可知，當時，，當時，，所以年利潤y（萬元）與年產量x（萬件）的關系式為.（2）當時，，開口向下，所以當時，；當時，，當且僅當即時，等號成立，此時，因為，所以，該產品的年產量為50萬件時，公司所獲年利潤最大，利潤最大為2200.18.已知函數．（1）求函數的單調遞增區間；（2）將的圖象向左平移個單位，向下平移1個單位，再把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，若在內恰有3個零點，求的取值范圍．解：（1）依題意，，由，解得，所以的單調遞增區間為.（2）將的圖象向左平移個單位，向下平移1個單位，得，再把所有點橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，得，則，得，因為，所以，所以的解析式為，由，得，由函數在區間上有3個零點，得，解得，所以的取值范圍是.19.設函數的定義域為D，對于區間，若滿足，恒有，則稱函數在區間I上的增長系數為1；若滿足，恒有，則稱函數在區間I上的增長系數為2；若滿足，恒有，則稱函數在區間I上的增長系數為n．（1）求函數，在上的增長系數；（2）若3和4都是函數在上的增長系數，求a的取值范圍；（3）若函數，在上的增長系數僅為n，求n的最小值及此時m的取值范圍．解：（1）因為函數在上單調遞增，當時，；當時，，所以，而，所以函數在上的增長系數為1；因為函數在上單調遞增，當時，；當時，，