高級中學名校試題PAGEPAGE1黑龍江省佳木斯市三校2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若可導函數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為可導函數滿足，所以.故選：D2.已知數列的通項公式為，則257是這個數列的（）A.第6項 B.第7項 C.第8項 D.第9項【答案】C【解析】令，解得.故選：C3.設是公比為正數的等比數列，若，則數列的前7項的和為（）A.63 B.64 C.127 D.128【答案】C【解析】由及是公比為正數的等比數列，得公比q=2，所以．4.在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質.竹子在中國的歷史可以追溯到遠古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現有某飲料廠共研發了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數列，若，，則（）A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5【答案】C【解析】為等差數列，，故．故選：C．5.已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），則下面四個圖象中，的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題給函數的圖象，可得當時，，則，則單調遞增；當時，，則，則單調遞減；當時，，則，則單調遞減；當時，，則，則單調遞增；則單調遞增區間為，；單調遞減區間為故僅選項C符合要求.故選：C6.現有6本相同的數學課本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，則不同的分配方案有多少種（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，分配方案有三種：第一種方案：兩個人各1本，一個人4本，分配的方法數為；第二種方案：三個人各2本，分配的方法數為；第三種方案：一個人1本，一個人2本，一個人3本，分配的方法數為；因此共有種方法.故選：D7.函數在區間上的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以在區間上，即單調遞增；在區間上，即單調遞減，又，，所以在區間上的最小值為，最大值為.故選：A8.五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學?中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（）A.3125 B.1000 C.1040 D.1020【答案】D【解析】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.故問題轉化為如圖五個區域，有種不同的顏色可用，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，即色區域的環狀涂色問題.分為以下兩類情況：第一類：三個區域涂三種不同的顏色，第一步涂區域，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，第二步涂區域，由于顏色不同，有種方法，第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計數原理，則共有種方法；第二類：三個區域涂兩種不同的顏色，由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數相同.若涂一色，第一步涂區域，可看成同一區域，且區域不同色，即涂個區域不同色，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，第二步涂區域，由于顏色相同，則有種方法，第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計數原理，則共有種方法；若涂一色，與涂一色的方法數相同，則共有種方法.由分類計數原理可知，不同的涂色方法共有種.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：ABC10.過點且與曲線相切的直線方程可能為（）A. B.C D.【答案】BC【解析】設切點為，又，所以，所以曲線在點處的切線方程為，所以，整理得，解得或，即切線方程為或．故選：BC．11.將數列中的所有項排成如下數陣：從第2行開始每一行比上一行多兩項，且從左到右均構成以2為公比的等比數列；第1列數成等差數列．若，則（）A. B.C.位于第45行第88列 D.2024在數陣中出現兩次【答案】ACD【解析】由第1列數成等差數列，設公差為，又由，可得，解得，則第一列的通項公式為，又從第2行開始每一行比上一行多兩項，且從左到右均構成以2為公比的等比數列，可得，所以A正確,B錯誤；又因為每一行最后一個數為，且，可得是的前一個數，且在第45行，因為這一行共有個數，則在第45行的第88列，所以C正確；由題設可知第行第個數的大小為，令，若，則即；若，則即；若，則，無整數解.故D正確.故答案為：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數列滿足，，則____________.【答案】5【解析】因為是等差數列，所以，則有，解得.故答案為：.13.若函數的導函數為，且滿足，則__________．【答案】【解析】由得，所以，得，所以，所以.故答案為：.14.已知首項均為的等差數列與等比數列滿足，，且的各項均不相等，設為數列的前項和，則的最大值與最小值之差的絕對值為_______．【答案】【解析】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由得，解得，，令，則，，隨著的增大而增大，當為奇數時，，隨著增大而減小，，；當為偶數時，，隨著的增大而增大，，.所以，，，即的最大值為，最小值為，因此，的最大值與最小值之差的絕對值等于．故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數列是首項為1的等差數列，公差，設數列的前項和為，且，，成等比數列．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和．解：（1）由題意可得，即，又，故，即或，又，故，即；（2），故.16.3月11日，2024年廣西“二月二”侗族大歌節在三江侗族自治縣梅林鄉梅林村榕江河畔舉行，上萬名群眾歡聚一堂，以非遺巡游、千人侗族大歌、多耶等活動，盡展非遺多姿風采.某地計劃在來年的侗族大歌節安排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動的舉辦順序.（1）共有多少種不同的安排方案?（2）若要求第一個舉辦的活動不能是千人侗族大歌，共有多少種不同的安排方案?（3）若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，共有多少種不同的安排方案?解：（1）安排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動的舉辦順序，共有種不同的安排方案；（2）若要求第一個舉辦的活動不能是千人侗族大歌，則從其余四個活動項目中選一個排在第一個舉行，則共有種不同的安排方案；（3）若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，則將這兩項活動捆綁，看作一項活動，內部全排列，然后和其余活動全排列，則共有種不同的安排方案.17.設函數.（1）若，求的極值；（2）討論函數的單調性.解：（1）當時，，所以，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，該函數有極小值，無極大值.（2）由，，當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減；當時，，或，當時，，函數在時，單調遞增，當時，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增18.若數列的前項和為，且，數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列是等比數列；（3）設數列滿足，其前項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為，當時，，當時，，且時，也符合上式，所以（2）當時，由，所以，依題意知：，所以而，所以數列是首相為3，公比為3的等比數列．（3）因為是首相為3，公比為3的等比數列，所以，所以，=，，得化簡得：，又因為，所以，所以，整理得，當，=；當時，=，因為,當時，，所以，故19.已知函數(為自然對數的底數)（1）求曲線在處的切線方程；（2）若不等式對任意恒成立，求實數的最大值；（3）證明：解：（1）函數，則，所以曲線在處的切