高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省洛陽市強基聯盟2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數在復平面內對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】，該復數在復平面內對應的點為，位于第三象限．故選：C．2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以.故選：C.3.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理，代值可得，解得．故選：A．4.中，，則一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定【答案】C【解析】因為中，，則，即，，角為鈍角，所以三角形為鈍角三角形.故選：C.5.已知向量滿足，向量與的夾角為，則（）A.12 B.4 C. D.2【答案】C【解析】因為，向量與的夾角為．所以，所以．故選：C．6.如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底B在同一水平面內的兩個觀測點C與D，現測得，米，在點C處測得塔頂A的仰角為，在點D處測得塔頂A的仰角為，則鐵塔的高度為（）A.80米 B.100米 C.112米 D.120米【答案】B【解析】設，由，，，，知，．在中，因，米，由余弦定理，得，解得米．故選：B．7.已知復數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】或.因為或，例如取，此時，不滿足或.故選：A．8.已知點P是菱形ABCD所在平面內的一點，若菱形的邊長為定值，且的最小值為，則該菱形的邊長為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由已知可得，可建立如圖所示的平面直角坐標系，設，，則，，，，．于是，，，．則，，由，當且僅當時，即點為坐標原點時，等號成立.此時，解得.故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關于向量，，，下列說法正確的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】AB【解析】，當且僅當，方向相同或，中至少有一個零向量時等號成立，A正確；當時，，的模與方向均相同，所以，B正確；對于C，和無法比較大小，C錯誤；因為規定與任何向量都共線，所以當時，與可能不共線，D錯誤．故選：AB．10.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，，，則符合條件的有且僅有兩個B.若，則C.若，則為鈍角三角形D.若為銳角三角形，則【答案】BCD【解析】對于A：若，，，由余弦定理得，故符合條件的有且僅有一個，故A錯誤；對于B：反證法：假設，根據三角形內大邊對大角，則，由正弦定理可得，與題干矛盾，故B正確；對于C：若，由正弦定理得，由余弦定理得，故，所以為鈍角三角形，故C正確；對于D：若為銳角三角形，則，所以，因為在上單調遞增，所以，故D正確．故選：BCD．11.已知函數，則下列說法正確的是（）A. B.當時，C.函數的圖象關于點對稱 D.當時，【答案】ABD【解析】由，則定義域為，由，則函數為偶函數，當時，，由在上單調遞增，在上單調遞減，則函數在上單調遞增，由，則，由，則，故A正確；當時，易知，由函數在上單調遞增，則，故B正確；由函數為偶函數，則圖象關于軸對稱，故C錯誤；當時，，由函數在上單調遞增，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，則向量在向量上的投影向量的坐標為__________．【答案】【解析】向量，所以向量在向量上的投影向量的坐標為：.13.若函數的定義域為，則的值域為________．【答案】【解析】因為函數在上單調遞減，所以在上單調遞增，又函數在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以，所以的值域為.14.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，點D是邊CA上的一點，，，則的最小值為________．【答案】【解析】因為，所以，由余弦定理得，又，所以．又，所以，因為，所以有，即，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數滿足為純虛數，．（1）求以及；（2）設，若，求實數的值．解：（1）設，則，由為純虛數，得①，且，由，得②，由①②解得，驗證知，滿足題意.所以.（2）由（1）可知，，由，得，整理，得，解得或.故實數的值為1或5.16.已知向量．（1）若，求實數的值；（2）若向量滿足且，求向量的坐標．解：（1）由，得，所以，由，得，解得．（2）設，所以，，由，得，所以，①由，得，所以，則，②由①②得，故．17.在中，內角的對邊分別為的面積為，且．（1）證明：；（2）若，求．解：（1）因為的面積，又．所以，又．所以．所以．所以，又，所以．（2）因為．所以，所以．所以，所以．18.如圖，在直角梯形中，//，，，為上靠近點的一個三等分點，為線段上的一個動點．（1）用和表示；（2）設，求的取值范圍．解：（1）依題意，，∴，∴.（2）由已知，因是線段上動點，則令，，又，不共線，根據平面向量基本定理，則有，，在上遞增，所以，，，，故的取值范圍是．19.記的內角的對邊分別為，已知，.（1）求角與；（2）若點為的所在平面內一點，且滿足，求的值；（3）若點為的重心，且，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得.又因為，所以.又