高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省石家莊市部分學校2024-2025學年高二下學期3月聯考數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的.1.已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意得，圓心到的漸近線的距離為設雙曲線的一條漸近線方程為，則，.故選：D．2.正三棱臺的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內部有一個內切球（與上、下底面和三個側面都相切），則正三棱臺的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結構特征結合題意可知內切球與上、下底面切點為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設內切球半徑為，則有即，所以正三棱臺的高為6.故選：D.3.在四面體中，若，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖：∵，，∴分別為中點，∴，故選：B.4.拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，點為平面上任意一點，為坐標原點，則（）A.－5 B.－3 C.3 D.5【答案】B【解析】設，，由題意，直線的斜率存在，因為拋物線的焦點為，所以不妨設直線的方程為，由，可得，所以，，，所以，故選：B.5.已知直線與直線，在上任取一點，在上任取一點，連接，取的靠近點三等分點，過點作的平行線，則與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：過作與點，交直線與點，則為所求直線與的距離.因為，.所以.故選：A6.已知直線過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，與拋物線的準線交于C點，若，則等于（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】如圖所示：過點作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，則，，，故，即.故選：B7.曲線與曲線有公切線，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】兩個函數求導分別為，設，圖象上的切點分別為，，則過這兩點處的切線方程分別為，，則，，所以，設，，，令，所以，所以在上單調遞增，且，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，.故選：B.8.已知函數，若不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是（）A., B., C., D.,【答案】A【解析】令，則在R上恒成立，所以在R上為增函數，又，所以，所以函數是R上的增函數，又，都是R上的增函數，所以函數是R上的增函數，，所以是奇函數，因為在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在,上單調遞減，所以，故，故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若圓：與圓：的公共弦AB的長為1，則下列結論正確的有（）A.B.直線AB的方程為C.AB中點的軌跡方程為D.圓與圓公共部分的面積為【答案】BC【解析】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，即，因為圓的圓心為，半徑為1，且公共弦AB的長為1，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線AB的方程為，故A錯誤，B正確；由圓的性質可知直線垂直平分線段,所以到直線的距離即為AB中點與點的距離，設AB中點坐標為，因此，即，故C正確；因為，所以，即圓中弧所對的圓心角為，所以扇形的面積為，三角形的面積為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D錯誤.故選：BC.10.等腰直角三角形直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】如果是繞直角邊旋轉，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是.如果繞斜邊旋轉，形成是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以寫成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體表面積是或.故選：AB.11.已知函數是奇函數,對于任意的滿足（其中是函數的導函數），則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】構造函數，其中，則，因為對于任意的滿足當時，，則函數在上單調遞增，又函數是奇函數，所以，所以在上為偶函數，所以函數在上單調遞減，，則，即，即，化簡得，A選項錯誤；同理可知，即，即，化簡得，B選項正確；，且即，即，化簡得，C選項正確，，且,即，即，化簡得，D選項錯誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓：和圓：，則這兩個圓的位置關系為______．【答案】內含【解析】因為圓：，圓：，所以圓心距，而兩圓半徑之差，故兩個圓內含．故答案為：內含13.已知數列中，，則數列的前項和_______．【答案】【解析】數列的前項和==,故答案為：.14.表面積為100π的球面上有四點S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】依題意，球的半徑，令正的中心為，則，且平面，外接圓半徑，連接并延長交于D，則D為的中點，且，顯然，而平面平面，平面平面，有平面，令的外接圓圓心為，則平面，有，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由,所以平面，所以，而平面平面，平面平面，平面，則平面，即有，因此四邊形為平行四邊形，則，，的外接圓半徑，的外接圓上點到直線距離最大值為，而點在平面上的射影在直線上，于是點到平面距離的最大值，又正的面積，所以棱錐的體積最大值.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設等差數列的前項和為，已知，.（1）求數列的通項公式；（2）設，為數列前項的和，求.解：（1）由題意設等差數列的公差為，由題意，解得，所以.（2），所以數列的前50項和，所以.16.已知圓A經過兩點，，且圓心A在直線上.（1）求圓A的標準方程；（2）求過點且與圓A相切的直線方程.解：（1）設圓心為，半徑為r，由，得，得，點A的坐標為，圓半徑，圓A的標準方程為；（2）畫出圓的圖象如下圖所示，由圖可知，直線過點，且與圓相切，當過點與圓相切的直線斜率存在時，設切線方程為，到直線的距離，解得，所以切線方程為.綜上所述，切線方程為或.17.如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點，為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.解：（1）設為的中點，由題意得平面，∵平面，，，為的中點，，∵，平面，故平面，由，分別為，的中點，得且，從而，四邊形平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結，由，，得，由，，得≌，由，得，因此為二面角的平面角，由（1）得平面，平面，所以，由，，，得，故，由余弦定理得，，所以.18.已知雙曲線：（，）的實軸長為2，點到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過點的動直線交雙曲線于、兩點，設線段的中點為，求點的軌跡方程.解：（1）雙曲線實軸長為，由已知，，則，因為雙曲線：（，）的一條漸近線為，點到雙曲線的漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程是；（2）易知直線的斜率存在設為，設、、，聯立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點M的軌跡方程為，其中或．19.已知函數．（1）討論的單調性；（2）若，且，求證：．解