高等數(shù)學(xué)微積分-第6節(jié)_第1頁
高等數(shù)學(xué)微積分-第6節(jié)_第2頁
高等數(shù)學(xué)微積分-第6節(jié)_第3頁
高等數(shù)學(xué)微積分-第6節(jié)_第4頁
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文檔簡介

第六節(jié)線性微分方程解結(jié)構(gòu)一、線性齊次微分方程解結(jié)構(gòu)二、線性非齊次微分方程解結(jié)構(gòu)

第1頁二階線性微分方程二階線性齊次微分方程;二階線性非齊次微分方程.n

階線性微分方程普通形式為

n階線性齊次微分方程;

n階線性非齊次微分方程.復(fù)習(xí):一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y第2頁二、線性齊次微分方程解結(jié)構(gòu)定理1問題:例：設(shè)y1為(1)解,則y2=2y1是(1)解,不過,y=C1y1+C2y2不為(1)通解.為處理通解判別問題,下面引入函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.第3頁定義是定義在區(qū)間I上

n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),不然稱為線性無關(guān).比如：

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);又如：若在某區(qū)間I上則依據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個零點(diǎn),必需全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).若存在不全為0常數(shù)第4頁線性相關(guān)存在不全為0使線性無關(guān)常數(shù)思索:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)兩個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)充要條件:第5頁比如推論是n階線性齊次微分方程

n個線性無關(guān)解,

則方程通解為第6頁三、線性非齊次微分方程解結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程一個特解,Y(x)是對應(yīng)齊次方程通解,定理3則是非齊次方程通解.證將代入方程①左端,得②①第7頁是非齊次方程解,又Y中含有兩個獨(dú)立任意常數(shù),比如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解所以該方程通解為因而②是通解.第8頁例2設(shè)

是二階線性非齊次方程三個線性無關(guān)解，試用

表示方程通解.第9頁例3已知y=x及y=sinx為某二階線性齊次方程解,求該方程.解第10頁例4解(1)由題設(shè)可得：解此方程組，得第11頁(2)原方程為由解結(jié)構(gòu)定理得方程通解為第12頁(非齊次方程之解疊加原理)第13頁n階線性微分方程二階非齊次線性方程解結(jié)構(gòu)能夠推廣:第14頁四、小結(jié)主要內(nèi)容2、二階線性微分方程解結(jié)構(gòu)定理1、函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)；第15頁思索題解都是微分方程解,是對應(yīng)齊次方程解,常數(shù)

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