教學設計

課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA023學科數學年級高一學期第一學期

課題冪函數

書名：普通高中教科書數學必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社A版出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師趙麗艷北京市廣渠門中學教育集團

指導教師李穎北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.通過具體實例，了解冪函數的定義，會畫五個冪函數的圖象，能歸納出它們的性質；

2.通過對冪函數的研究，體會研究一類函數的基本內容和方法;

3.通過冪函數性質的證明，提升代數推理的能力，培養數學運算和數學推理的素養.

教學重點：冪函數的概念及五個冪函數的圖象與性質.

教學難點：概括五個冪函數的共性，以及冪函數性質的證明.

教學過程

時間教學環節主要師生活動

前面我們學習了函數的概念，利用函數概念和對圖象的觀察，研

引入

究了函數的一些性質.本節我們利用這些知識研究一類新的函數.

問題1：我們知道函數可以來刻畫現實世界中的實際問題，請看

下面幾個例子：

(1)如果張紅以1元/kg的價格購買了某種蔬菜wkg，那么她需要

支付p=w元，這里p是w的函數；

（一）冪

2

5函數概念（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積Sa，這里S

分的抽象是a的函數；

鐘

（3）如果立方體的棱長為b，那么立方體的體積Vb3，這里V

是b的函數；

（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長

cS，這里c是S的函數；

1

注意：S可以表示為S2，這個轉化會在后面學習.

（5）如果某人ts內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度

1

vkm/s，這里v是t的函數.

t

觀察這五個函數的解析式，從解析式的結構特征看，它們有什么

共性？

師生活動：教師提出問題，學生觀察思考后回答問題.根據學生

的回答，教師進行必要的補充.最后指明：(1)這幾個函數解析式都

具有冪的形式；(2)冪的底數是自變量，指數是常數.

教師給出冪函數概念.

冪函數概念：一般地，函數yx叫做冪函數，其中x是自變量，

是常數.

追問：能否根據冪函數的概念舉出一些冪函數的例子呢？

4

如：yx4，yx4，yx5等.

注意：冪的指數除了可以取整數之外，還可以取其他實數，當它

們取其他實數時冪也有各自的含義，這些會在后面學習.

1

對于冪函數，我們只研究=1，2，3，，1

2

時的圖象與性質.

師生活動：教師提出問題，學生思考后回答.教師根據學生的回

答，對學生舉出的具體冪函數的解析式進行評價糾錯.

設計意圖：通過學生熟悉的實際問題引出冪函數；通過追問引導

學生抓住冪函數的形式特點.

問題2：結合初中學習一次函數、二次函數及反比例函數的經驗

及前面學習的函數知識，思考研究一類函數的一般路徑是什么？

（二）冪

15

函數的圖

分

象與性質

鐘

師生活動：學生回答.教師在學生回答基礎上進行補充，最后指

出我們首先通過對實例的抽象得到某類函數概念，然后根據函數的解

析式求出函數的定義域，畫出函數圖象，畫圖的時候，可以借助初中

學習的描點法畫圖，同時可以借助函數性質來幫助我們簡化畫圖的過

程.然后利用圖象和解析式，討論函數的值域、單調性、奇偶性等性

質,并解決相關的應用問題.

設計意圖：引導學生回顧已有經驗，給出研究函數的路徑.

問題3：關于這五個冪函數，yx，yx2，yx-1是我們

熟悉的，在同一個坐標系中畫出它們的圖象并總結它們的性質.

定義域：R，

值域：R，

奇偶性：奇函數，

單調性：在R上單調遞增.

定義域：R，

值域：[0,)，

奇偶性：偶函數，

單調性：在(,0]上單調遞減,

在[0,)上單調遞增.

定義域：(,0）(0，+），

值域：(,0）(0，+），

奇偶性：奇函數，

單調性：在(,0）上單調遞減,

在（0,)上單調遞減.

1

問題4：如何畫出yx3和yx2的圖象？

追問：觀察這兩個函數的解析式，你能先說出它們的一些性質

嗎？

1

分析：yx3的定義域是R，yx2的定義域分別是[0,)，

11

yx3是奇函數.yx2定義域不關于原點對稱，因此，yx2既

不是奇函數又不是偶函數.

師生活動：學生回答.最后使學生認識到：通過解析式，可以得

11

到yx3和yx2的定義域，并可以知道yx3是奇函數，yx2既

不是奇函數又不是偶函數；而且通過解析式得到函數的性質后，可以

簡化作圖的過程.

學生進行作圖，在一個坐標系中畫出五個冪函數的圖象，教師利

用信息技術進行畫圖并演示.

設計意圖：引導學生體會研究一類函數的方法.其中，讓學生先

觀察函數和解析式的特點，對函數的定義域、單調性、奇偶性進行初

步判斷，這樣可以使學生提高取點的目的性，使圖象更好的反映函數

的特征，而且可以使學生體會高中階段研究函數性質的新特點.

1

問題5：觀察函數yx3和yx2的圖象結合函數解析式，將你

發現的結論寫在下表內.

1

3

yxyx2

定義域

值域

奇偶性

單調性

師生活動：學生回答，通過交流補充歸納得到五個冪函數的性質，

并將這些性質填入表格中.

問題6：觀察函數圖象結合表格，總結它們具有哪些共同性質？

有哪些不同的性質？

同學們可以從以下角度觀察

（1）圖象分布的區域，公共點；

（2）函數的對稱性；

（3）函數的變化趨勢.

1

（1）函數yx，yx2，yx3，yx2和yx-1的圖象都

通過點（1，-1）；

（2）函數yx，yx3，yx-1是奇函數，函數yx2是偶

函數；

1

（3）在區間（0，+）上，函數yx，yx2，yx3，yx2

單調遞增，函數yx-1單調遞減；

（4）在第一象限內，函數yx-1的圖象向上與y軸無限接近，

向右與x軸無限接近.

設計意圖：引導學生觀察函數的圖象，得出五個函數各自性質的

基礎上，歸納共性和差異性，得出冪函數的一些基本性質.

問題7：前面我們從形的角度觀察得到了冪函數yx的單調

性，你能從代數的角度證明冪函數yx是增函數嗎？

證明：函數的定義域是[0,+）.

，且，有

x1,x2[0,)x1x2

f(x1)f(x2)x1x2

（注：由于沒有理論支撐判斷與的大小，所以我們采用

x1x2

分子有理化的方法對式子進行變形，分子分母同時乘以.）

x1+x2

(xx)(x+x)

1212

x1+x2

xx