專題12概率目錄易錯點01混淆互斥、對立、獨立事件的概念易錯點02混淆“有放回”與“不放回”致錯易錯點03古典概型問題忽略“等可能性”易錯點04對條件概率理解不透徹致錯易錯點01：混淆互斥、對立、獨立事件的概念典例（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件滿足，則下列說法正確的是（

）．A．事件和事件獨立 B．事件和事件互斥C．事件和事件對立 D．事件和事件互斥【答案】B【分析】根據互斥事件、相互獨立事件的定義判斷即可.【詳解】因為事件和事件滿足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對立，故B正確，C錯誤；因為，當，不為時，事件和事件不獨立，故A錯誤；拋擲一枚骰子，記出現點為事件，出現點為事件，則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯誤.故選：B【易錯剖析】本題容易混淆互斥事件、對立事件和相互獨立事件的概率而出錯.【避錯攻略】1.互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發生，即不發生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．【解讀】互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．2、相互獨立事件的概念（1）對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．由此可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）相互獨立事件的性質：如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．兩個事件的相互獨立性的推廣：兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．易錯提醒：(1)判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.(2)互斥事件與相互獨立事件的相同點與不同點：①相同點：二者都是描述兩個事件間的關系；②不同點：互斥事件強調兩事件不可能同時發生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強調一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響.1．（24-25高三上·上海·期中）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件A：“出現偶數點”，事件B：“出現3點或4點”，則事件A與事件B的關系為（

）A．是相互獨立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互獨立事件C．既是相互獨立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互獨立事件2．（24-25高二上·湖北·期中）一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1，2，3，4，5，6的6個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和不超過6”，事件“摸出的兩個球的編號都大于3”，事件“摸出的兩個球中有編號為4的球”，則（

）A．事件與事件是相互獨立事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是互斥事件 D．事件與事件是互斥事件3．（24-25高三上·江蘇南京·期中）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，事件表示“第一次取出的球的數字是偶數”，事件表示“第二次取出的球的數字是奇數”，事件表示“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（

）A．與為互斥事件 B．與相互獨立C． D．1．（24-25高三上·上海黃浦·期末）擲一顆質地均勻的骰子，觀察朝上面的點數．設事件：點數是奇數，事件：點數是偶數，事件：點數是3的倍數，事件：點數是4．下列每對事件中，不是互斥事件的為（

）A．與 B．與 C．與 D．與2．（2024·全國·模擬預測）分別擲兩枚質地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結果相同”記為事件，那么事件與，與間的關系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立3．（24-25高三上·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③4．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知，，，則事件與的關系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與既互斥又獨立5．（2024·江蘇·二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數有了突飛猛進的提升.某校為提升學生的綜合素養、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立6．（24-25高三上·上海·期中）對于一個古典概型的樣本空間和事件、、、，其中，，，，，，，，則（

）（注：表示集合的元素個數）A．與不互斥 B．與互斥但不對立C．與互斥 D．與相互獨立易錯點02：混淆“有放回”與“不放回”致錯典例（24-25高三上·天津南開·期中）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，記事件“抽到的兩人是一男生一女生”，在無放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:共12個樣本點，其中有8個樣本點，所以.在有放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:共16個樣本點，其中有8個樣本點，所以.故選：A.【易錯剖析】本題求解時容易混淆“有放回”和“無放回”的區別而出錯.【避錯攻略】1.?定義和操作方式?（1）?無放回抽取?：每次抽取后，抽出的元素不再放回原處。例如，如果有10個元素，第一次抽取后剩下9個，第二次抽取時只剩下9個元素可供選擇。（2）?有放回抽取?：每次抽取后，元素仍然放回原處，攪拌均勻后再進行下一次抽取。這樣，每次抽取時元素總數保持不變和概率不變。2.?概率模型和應用場景?（1）?無放回抽取?：適用于超幾何分布，主要用于處理總體中成功與失敗的獨立事件，如抽獎活動中獎概率等。（2）?有放回抽取?：適用于二項分布，常用于重復獨立試驗的情況，如多次投擲硬幣、多次獨立試驗等。3.?數學表達和計算方法?（1）?無放回抽取?：計算概率時需要考慮元素的順序和組合數。例如，從n個元素中抽取m個元素的組合數為（2）?有放回抽取?：每次抽取是相互獨立的，因此可以直接使用二項分布公式進行計算，即P(X=k)=binom(n,p,k)，其中n是試驗次數，p是成功的概率，k是成功的次數。?易錯提醒：在處理與抽樣有關的概率問題時要區分“有放回抽取”和“無放回抽取”的不同，有放回抽取時每一次抽取背景是一樣的，即總體個數不變概率不變；無放回抽取時每一次抽取背景是變化的，即總體個數要變，概率也變.1．（2024·四川宜賓·一模）從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片數字之積是3的倍數的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（

）A． B． C． D．3．（2024·上海徐匯·一模）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子.經過重復摸球足夠多次試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在0.1左右，則據此估計盒子中紅球的個數約為（

）A．40個 B．45個 C．50個 D．55個1．（24-25高三上·專題訓練）從甲袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是，從乙袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個球，則是（

）A．4個球不都是紅球的概率 B．4個球都是紅球的概率C．4個球中恰有3個紅球的概率 D．4個球中恰有1個紅球的概率2．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）在一個口袋中裝有大小和質地均相同的5個白球和3個黃球，第一次從中隨機摸出一個球，觀察其顏色后放回，同時在袋中加入兩個與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機摸出一個球，則此次摸出的是黃球的概率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高三·上海·隨堂練習）盒中有a個紅球，b個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個，再從盒中第二次抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率為（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·江西贛州·階段練習）從1，2，3，4，5這5個數字中每次隨機取出一個數字，取出后放回，連續取兩次，至少有一個是奇數的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之和是5的倍數的概率為（）A． B． C． D．6．（2024高三·全國·專題練習）口袋中有質地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數算甲贏，否則算乙贏.(1)求甲、乙兩人摸出的兩個球編號之和為6的概率；(2)這種游戲規則公平嗎？試說明理由.7．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為.現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的.用表示取棋子終止時所需的取棋子的次數.（1）求隨機變量的概率分布列和數學期望；（2）求甲取到白棋的概率.易錯點03：古典概型問題忽略“等可能性”【典例】（2025全國高三專題訓練）甲乙兩人進行一場抽卡游戲，規則如下：有編號的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所有卡片被抽完時，游戲結束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結束的概率是.【答案】【解析】根據題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結束相當于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數字之和為12，乙抽取的兩張卡片數字之和不為12；總的情況相當于從7張卡片中抽取了5張并進行全排列，即共種排法；其中三張卡片數字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當甲抽取的數字為；；；時，乙在剩余的4個數字中隨意抽取兩張卡片再進行排列，共有種；當甲抽取的數字為時，若乙抽取的兩張卡片數字可能為，此時不合題意，此時共有種；所以符合題意的排列總數為種，可得所求概率為.故答案為：【易錯剖析】在處理古典概型問題時一定要注意基本事件的等可能性，否則容易誤用古典概型概率公式而出錯.【避錯攻略】1.古典概型的定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.3.古典概型解題步驟（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；（3）分別求出基本事件的個數與所求事件中所包含的基本事件個數；（4）利用公式求出事件的概率．易錯提醒：在解決這類問題時，首要步驟是確認試驗是否符合古典概型的特征。隨后，關鍵在于構建樣本空間，這一過程中需特別注意兩點：一是樣本中的元素是否存在順序性，因為順序的不同會構成不同的樣本空間；二是取樣時是否允許元素重復，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重復出現。明確了這兩點后，就可以計算出樣本空間的總樣本點數量，以及所求事件對應的樣本點數量，最后利用古典概型的概率計算公式，得出所求事件的概率。1．（2024·山東日照·三模）從標有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現重復編號卡片的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·模擬預測）一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現每次從袋中不放回地隨機取出一個球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．1．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知在個電子元件中，有個次品，個合格品，每次任取一個測試，測試完后不再放回，直到個次品都找到為止，則經過次測試恰好將個次品全部找出的概率為（

）A． B． C． D．2．（2025高三上·專題訓練）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（

）A．， B．， C．， D．，3．（2024·全國·模擬預測）4個產品中有3個正品，1個次品．現每次取出1個做檢查（檢查完后不再放回），直到次品被找到為止，則經過3次檢查恰好將次品找到的概率是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東佛山·模擬預測）在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是5．（2024·廣西·模擬預測）每次從0～9這10個數字中隨機取一個數字（取后放回），連續取n次，依次得到n個數字組成的數字序列．若使該序列中的數字0至少出現一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（

）（參考數據）A．23 B．22 C．21 D．206．（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從1，2，3，4，5這5個數字中不放回地任取兩個數，則兩個數都是奇數的概率是.7．（24-25高三上·廣西貴港·開學考試）甲?乙玩一個游戲，游戲規則如下：一個盒子中裝有標號為的6個大小質地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數字，數字更大者得1分，數字更小者得0分，以此規律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.8．（24-25高三上·天津·階段練習）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為；從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為.9．（2024·浙江寧波·一模）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5的五個大小質地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取一個球，若甲抽取的兩個小球數字之和大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數字大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.易錯點04：對條件概率理解不透徹致錯典例（24-25高二上·遼寧·期末）某高中為了解學生的肥胖是否與經常飲用碳酸飲料有關，現對400名高二學生進行了問卷調查，學生飲用碳酸飲料的統計結果如下：學校有的學生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升，這些學生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學生的肥胖率為.若從該中學高二的學生中任意抽取一名學生，則該學生肥胖的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設相應事件,根據題意利用全概率公式運算求解即可.【詳解】設“學生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則，，設“學生肥胖”為事件B，則，，由全概率公式可得，所以若從該中學高二的學生中任意抽取一名學生，則該學生肥胖的概率為.故選：A【易錯剖析】本題容易混淆“交事件概率”與“條件概率”的區別而致錯.【避錯攻略】1、條件概率（1）條件概率的定義：一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．（2）條件概率的性質=1\*GB3①條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．=2\*GB3②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．=3\*GB3③如果與互斥，則．2、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．3、貝葉斯公式（1）一般地，當且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且易錯提醒：解決條件概率問題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒有出現上述字眼，但已知事件的出現影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進行第二步．第二步，計算概率，這里有兩種思路：思路一縮減樣本空間法計算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個數，再利用公式P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)計算思路二直接利用公式計算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)計算1．（2025高三·全國·專題練習）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·天津河東·期末）某廠產品有的產品不需要調試就可以出廠上市，另的產品經過調試以后有能出廠，則該廠產品能出廠的概率；任取一出廠產品，求未經調試的概率．3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）現有質量分別為千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一?二個箱子的總質量均不小于第三個箱子的總質量的概率是.1．（24-25高二上·遼寧遼陽·期末）在某次電子競技大賽中，甲、乙進入決賽，決賽采取五局三勝的冠亞軍爭奪賽制．已知甲在每局比賽中獲勝的概率均為，比賽無平局且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了五局的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·江蘇南通·期中）（多選）隨機事件A，B滿足，則下列說法正確的是（

）A．事件與互斥B．事件A與相互獨立C．D．3．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2個白球4個黑球，乙袋中有4個白球2個黑球.若從兩個袋中分別隨機各取出一個球，則取出的是兩個白球的概率是；若先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球，則取出的是白球的概率是.4．（24-25高三上·天津南開·期末）已知甲?乙?丙三人參加射擊比賽，甲?乙?丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個人射擊相互獨立，若每人各射擊一次，則三人中恰有兩人命中的概率為；在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為.5．（24-25高三上·遼寧丹東·階段練習）已知某條線路上有兩輛相鄰班次的BRT（快速公交車），若準點到站的概率為，在準點到站的前提下準點到站的概率為，在準點到站的前提下不準點到站的概率為，則準點到站的概率為.6．（24-25高三上·廣西南寧·階段練習）設有甲、乙兩個不透明的箱子，每個箱子中裝有除顏色外其他都相同的小球，其中甲箱有4個紅球和3個白球，乙箱有3個紅球和2個白球.從甲箱中隨機摸出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機摸出1個球.(1)求從乙箱中摸出白球的概率；(2)若從乙箱中摸出白球，求從甲箱中摸出2個紅球的概率.7．（24-25高二上·遼寧錦州·期末）科技特長生是經過教育廳、教育局發文，有正式定義的、享有特殊招生政策的學生群體，簡言之，就是得到特定比賽或競賽獎項的學生，可認定為科技特長生．目前科技特長生認證中認可度高的賽事主要分為四大類，第一是科技創新類，第二是機器人類，第三是信息學類，第四是航模類．現將兩個班的科技特長生報名表分別裝進兩個檔案袋，第一個檔案袋內有5份男生檔案和3份女生檔案，第二個檔案袋內有2份男生檔案和4份女生檔案．(1)若從第一個檔案袋中隨機依次取出2人的檔案，每次取出的檔案不再放回．（ⅰ）求取出的這2人的檔案中有女生檔案的概率；（ⅱ）求在取出的這2人的檔案中有女生的條件下，第2次取出的檔案是女生的概率；(2)若先從第一個檔案袋中隨機取出一人的檔案放入第二個檔案袋中，再從第二個檔案袋中隨機取出一人的檔案，求從第二個檔案中取出的檔案是女生的概率．專題12概率目錄易錯點01混淆互斥、對立、獨立事件的概念易錯點02混淆“有放回”與“不放回”致錯易錯點03古典概型問題忽略“等可能性”易錯點04對條件概率理解不透徹致錯易錯點01：混淆互斥、對立、獨立事件的概念典例（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件滿足，則下列說法正確的是（

）．A．事件和事件獨立 B．事件和事件互斥C．事件和事件對立 D．事件和事件互斥【答案】B【分析】根據互斥事件、相互獨立事件的定義判斷即可.【詳解】因為事件和事件滿足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對立，故B正確，C錯誤；因為，當，不為時，事件和事件不獨立，故A錯誤；拋擲一枚骰子，記出現點為事件，出現點為事件，則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯誤.故選：B【易錯剖析】本題容易混淆互斥事件、對立事件和相互獨立事件的概率而出錯.【避錯攻略】1.互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發生，即不發生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．【解讀】互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．2、相互獨立事件的概念（1）對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．由此可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）相互獨立事件的性質：如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．兩個事件的相互獨立性的推廣：兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．易錯提醒：(1)判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.(2)互斥事件與相互獨立事件的相同點與不同點：①相同點：二者都是描述兩個事件間的關系；②不同點：互斥事件強調兩事件不可能同時發生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強調一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響.1．（24-25高三上·上海·期中）拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件A：“出現偶數點”，事件B：“出現3點或4點”，則事件A與事件B的關系為（

）A．是相互獨立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互獨立事件C．既是相互獨立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互獨立事件【答案】A【分析】根據互相獨立事件、互斥事件的定義確定即可.【詳解】因為，，所以，所以，，所以，所以事件與事件是相互獨立事件，不是互斥事件.故選：A.2．（24-25高二上·湖北·期中）一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1，2，3，4，5，6的6個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和不超過6”，事件“摸出的兩個球的編號都大于3”，事件“摸出的兩個球中有編號為4的球”，則（

）A．事件與事件是相互獨立事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是互斥事件 D．事件與事件是互斥事件【答案】D【分析】先列舉出各事件包含的基本事件，再根據相互獨立事件的概率特征判斷A；根據互斥事件、對立事件的概念判斷B，C，D.【詳解】解：由題意可知：所以基本事件為：，；；，所以，，，對于A，因為，而，故錯誤；對于B，因為，所以事件與事件不是對立事件，故錯誤；對于C，因為，則，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于D，因為，，所以，所以事件與事件是互斥事件，故正確.故選：D.3．（24-25高三上·江蘇南京·期中）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，事件表示“第一次取出的球的數字是偶數”，事件表示“第二次取出的球的數字是奇數”，事件表示“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（

）A．與為互斥事件 B．與相互獨立C． D．【答案】BD【分析】由互斥事件、相互獨立事件的定義判斷AB；利用概率的基本性質計算判斷C；求出條件概率判斷D.【詳解】依題意，不放回的隨機取兩次，共有種不同結果，，共個不同結果，，共個不同結果，，共個不同結果，對于A，事件能同時發生，如基本事件，與不互斥，A錯誤；對于B，，，共6個不同結果，，與相互獨立，B正確；對于C，，共9個不同結果，，，C錯誤；對于D，由選項B知，，D正確.故選：BD1．（24-25高三上·上海黃浦·期末）擲一顆質地均勻的骰子，觀察朝上面的點數．設事件：點數是奇數，事件：點數是偶數，事件：點數是3的倍數，事件：點數是4．下列每對事件中，不是互斥事件的為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【分析】根據條件，利用互斥事件的定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A，因為事件和事件不能同時發生，所以與互斥，故選項A錯誤，對于選項B，當朝上面的點數為時，與同時發生，即與不是互斥事件，所以選項B正確，對于選項C，因為事件和事件不能同時發生，所以與互斥，故選項C錯誤，對于選項D，因為事件和事件不能同時發生，所以與互斥，故選項D錯誤，故選：B.2．（2024·全國·模擬預測）分別擲兩枚質地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結果相同”記為事件，那么事件與，與間的關系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立【答案】A【分析】利用互斥事件，獨立事件的定義即得.【詳解】由題意得，，所以.所以與，與均相互獨立，與，與均不互斥.故選：A.3．（24-25高三上·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】寫出事件的全部基本事件，再根據互斥事件、對立事件的定義判斷即可.【詳解】解：設事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.故選：B4．（24-25高三上·上海楊浦·期末）已知，，，則事件與的關系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與既互斥又獨立【答案】C【分析】利用計算出，可得到則能得到與不互斥，不對立；再利用算出即可得到答案【詳解】由可得，因為，則與不互斥，不對立，由可得，因為，所以與相互獨立故選：C5．（2024·江蘇·二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數有了突飛猛進的提升.某校為提升學生的綜合素養、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立【答案】C【分析】根據互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據古典概型的概率公式求出、、、、，根據相互獨立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故與互斥不對立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨立，與不相互獨立.故選：C6．（24-25高三上·上海·期中）對于一個古典概型的樣本空間和事件、、、，其中，，，，，，，，則（

）（注：表示集合的元素個數）A．與不互斥 B．與互斥但不對立C．與互斥 D．與相互獨立【答案】D【分析】由已知條件結合事件的運算判斷事件間的互斥、對立關系，根據的關系判斷事件是否獨立.【詳解】對于A，因為，，，則，故A、B互斥，A錯誤；對于B，因為，所以A、D互斥且對立，B錯誤；對于C，因為，，A、D對立，則，C與D不互斥，C錯誤；對于D，由，，，所以，即A與C相互獨立，D正確.故選：D.易錯點02：混淆“有放回”與“不放回”致錯典例（24-25高三上·天津南開·期中）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，記事件“抽到的兩人是一男生一女生”，在無放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:共12個樣本點，其中有8個樣本點，所以.在有放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為:共16個樣本點，其中有8個樣本點，所以.故選：A.【易錯剖析】本題求解時容易混淆“有放回”和“無放回”的區別而出錯.【避錯攻略】1.?定義和操作方式?（1）?無放回抽取?：每次抽取后，抽出的元素不再放回原處。例如，如果有10個元素，第一次抽取后剩下9個，第二次抽取時只剩下9個元素可供選擇。（2）?有放回抽取?：每次抽取后，元素仍然放回原處，攪拌均勻后再進行下一次抽取。這樣，每次抽取時元素總數保持不變和概率不變。2.?概率模型和應用場景?（1）?無放回抽取?：適用于超幾何分布，主要用于處理總體中成功與失敗的獨立事件，如抽獎活動中獎概率等。（2）?有放回抽取?：適用于二項分布，常用于重復獨立試驗的情況，如多次投擲硬幣、多次獨立試驗等。3.?數學表達和計算方法?（1）?無放回抽取?：計算概率時需要考慮元素的順序和組合數。例如，從n個元素中抽取m個元素的組合數為（2）?有放回抽取?：每次抽取是相互獨立的，因此可以直接使用二項分布公式進行計算，即P(X=k)=binom(n,p,k)，其中n是試驗次數，p是成功的概率，k是成功的次數。?易錯提醒：在處理與抽樣有關的概率問題時要區分“有放回抽取”和“無放回抽取”的不同，有放回抽取時每一次抽取背景是一樣的，即總體個數不變概率不變；無放回抽取時每一次抽取背景是變化的，即總體個數要變，概率也變.1．（2024·四川宜賓·一模）從標有1，2，3，4，5，6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片數字之積是3的倍數的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，用列舉法分析“從六張卡片中無放回隨機抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數字之積是3的倍數”的情況數目，由古典概型公式計算可得答案.【詳解】根據題意，從六張卡片中無放回隨機抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數字之積是3的倍數有，，，，，，，，共9種情況，則抽到的2張卡片上的數字之積是3的倍數的概率.故選：C.2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】甲獲勝的情形有三種：第一種，甲第一次就摸到紅球；第二種，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到紅球；第三種，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到紅球.利用古典概率的加法求解即可【詳解】；故選：C.3．（2024·上海徐匯·一模）一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子.經過重復摸球足夠多次試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在0.1左右，則據此估計盒子中紅球的個數約為（

）A．40個 B．45個 C．50個 D．55個【答案】B【分析】因為重復摸球次數足夠多，所以將頻率視為概率，應用古典概型概率的計算公式計算即可.【詳解】設紅球個數為，由題意可得：，解得：.故選：B1．（24-25高三上·專題訓練）從甲袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是，從乙袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個球，則是（

）A．4個球不都是紅球的概率 B．4個球都是紅球的概率C．4個球中恰有3個紅球的概率 D．4個球中恰有1個紅球的概率【答案】C【分析】由獨立事件乘法公式及互斥事件計算公式即可求解【詳解】4個球都是紅球的概率為，故B錯誤；4個球不都是紅球的概率為，故A錯誤；4個球中恰有3個紅球的概率為，故C正確；4個球中恰有1個紅球的概率，故D錯誤.故選：C.2．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）在一個口袋中裝有大小和質地均相同的5個白球和3個黃球，第一次從中隨機摸出一個球，觀察其顏色后放回，同時在袋中加入兩個與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機摸出一個球，則此次摸出的是黃球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助全概率公式計算即可得.【詳解】設事件為第一次從中隨機摸出一個球的顏色為白色，事件為第二次再從中隨機摸出一個球是黃球，則.故選：B.3．（24-25高三·上海·隨堂練習）盒中有a個紅球，b個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個，再從盒中第二次抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，，根據，由全概率公式計算可得結果.【詳解】設，，則，由全概率公式，由題意，，，．所以．故選：A.4．（24-25高三上·江西贛州·階段練習）從1，2，3，4，5這5個數字中每次隨機取出一個數字，取出后放回，連續取兩次，至少有一個是奇數的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對立事件概率公式、概率乘法公式，結合古典概型運算公式進行求解即可.【詳解】設連續取兩次，一次都沒有奇數為事件，因為，所以，故選：D5．（2024高三·全國·專題練習）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之和是5的倍數的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，先列舉出所有情況，再從中挑出數字之和是5的倍數的情況，結合古典概型求概率，即可求解．【詳解】從6張卡片中無放回地隨機抽取2張，有共15種情況，其中數字之和為5的倍數的有共3種情況，所以所求的概率為.故選：A.6．（2024高三·全國·專題練習）口袋中有質地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數算甲贏，否則算乙贏.(1)求甲、乙兩人摸出的兩個球編號之和為6的概率；(2)這種游戲規則公平嗎？試說明理由.【答案】(1)(2)這種游戲規則不公平，理由見解析【分析】（1）設“甲、乙兩人摸出的兩個球編號之和為6”為事件，然后列舉出事件包含的基本事件，并得到數量，再計算出甲、乙二人取出的數字共有數量，然后得到事件的概率；（2）設“甲勝”為事件，“乙勝”為事件，然后列舉出事件所包含的基本事件及數量，由此得到事件的概率，由對立事件求出事件的概率，從而判斷游戲的公平性.【詳解】（1）設“甲、乙兩人摸出的兩個球編號之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為，，，，共5個，又甲、乙二人取出的數字共有（個）等可能的結果，所以；（2）這種游戲規則不公平.設“甲勝”為事件，“乙勝”為事件，則甲勝即兩數字之和為偶數所包含的基本事件數為13個：，，，，，，，，，，，，.所以甲勝的概率，從而乙勝的概率，由于，所以這種游戲規則不公平.7．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為.現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的.用表示取棋子終止時所需的取棋子的次數.（1）求隨機變量的概率分布列和數學期望；（2）求甲取到白棋的概率.【解析】設袋中白棋共有個，，則依題意知：，∴，即，解之得（舍去）.（1）袋中的7枚棋子3白4黑，隨機變量的所有可能取值是1，2，3，4，5.，，，，.（注：此段4分的分配是每錯1個扣1分，錯到4個即不得分.）隨機變量的概率分布列為：12345所以.（2）記事件“甲取到白棋”，則事件包括以下三個互斥事件：“甲第1次取棋時取出白棋”；“甲第2次取棋時取出白棋”；“甲第3次取棋時取出白棋”.依題意知：，，，所以，甲取到白棋的概率為易錯點03：古典概型問題忽略“等可能性”【典例】（2025全國高三專題訓練）甲乙兩人進行一場抽卡游戲，規則如下：有編號的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所有卡片被抽完時，游戲結束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結束的概率是.【答案】【解析】根據題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結束相當于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數字之和為12，乙抽取的兩張卡片數字之和不為12；總的情況相當于從7張卡片中抽取了5張并進行全排列，即共種排法；其中三張卡片數字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當甲抽取的數字為；；；時，乙在剩余的4個數字中隨意抽取兩張卡片再進行排列，共有種；當甲抽取的數字為時，若乙抽取的兩張卡片數字可能為，此時不合題意，此時共有種；所以符合題意的排列總數為種，可得所求概率為.故答案為：【易錯剖析】在處理古典概型問題時一定要注意基本事件的等可能性，否則容易誤用古典概型概率公式而出錯.【避錯攻略】1.古典概型的定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.3.古典概型解題步驟（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；（3）分別求出基本事件的個數與所求事件中所包含的基本事件個數；（4）利用公式求出事件的概率．易錯提醒：在解決這類問題時，首要步驟是確認試驗是否符合古典概型的特征。隨后，關鍵在于構建樣本空間，這一過程中需特別注意兩點：一是樣本中的元素是否存在順序性，因為順序的不同會構成不同的樣本空間；二是取樣時是否允許元素重復，即取樣是放回還是不放回，這直接決定了樣本中元素是否可以重復出現。明確了這兩點后，就可以計算出樣本空間的總樣本點數量，以及所求事件對應的樣本點數量，最后利用古典概型的概率計算公式，得出所求事件的概率。1．（2024·山東日照·三模）從標有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現重復編號卡片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出5張卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重復的基本事件，利用間接法以及古典概型即可求解.【詳解】5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有種取法，三次都不重復的取法有種，由加法原理和乘法原理，出現重復編號卡片的概率.故選：B.2．（2024·廣東廣州·模擬預測）一個盒子里裝有3個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現每次從袋中不放回地隨機取出一個球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】使用古典概率方法即可確定，，然后可以驗證選項A和D，最后使用加法公式驗證選項B，使用條件概率公式驗證選項C即可.【詳解】依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數是，它們等可能，對于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正確；對于В，，，В正確；對于C，有，C錯誤；對于D，有，D正確.故選：C3．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．【答案】【分析】根據排列可求基本事件的總數，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當，則，則為：，，故有16種，當，則，同理有16種，當，則，同理有10種，當，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過12時不同的抽取方法總數為，故所求概率為.故答案為：1．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知在個電子元件中，有個次品，個合格品，每次任取一個測試，測試完后不再放回，直到個次品都找到為止，則經過次測試恰好將個次品全部找出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據概率的乘法公式可得解.【詳解】由已知可得前兩次測試一次取得正品一次取得次品，第三次測試恰好取得次品，則，故選：B.2．（2025高三上·專題訓練）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.【詳解】將兩名男生編號為，兩名女生編號，記“抽到的兩人都是女生”，從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，在有放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為共16個樣本點，其中有4個樣本點，所以.在無放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為共12個樣本點，其中有2個樣本點，所以.故選：C.3．（2024·全國·模擬預測）4個產品中有3個正品，1個次品．現每次取出1個做檢查（檢查完后不再放回），直到次品被找到為止，則經過3次檢查恰好將次品找到的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一，直接法，第3次抽到次品或前3次抽到的都是正品；法二，求其對立面，經過1次檢查恰好將1個次品或經過2次檢查恰好將1個次品找到.【詳解】方法一：經過3次檢查恰好將1個次品找到包括兩種情況：①第3次抽到次品，前2次抽到2個正品；②前3次抽到的都是正品，所以經過3次檢查恰好將次品找到的概率是；方法二：①經過1次檢查恰好將1個次品找到的概率是；②經過2次檢查恰好將1個次品找到的概率是，所以經過3次檢查恰好將次品找到的概率是.故選：C．4．（2024·廣東佛山·模擬預測）在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】B【分析】由題意，基本事件的總數為，這六爻恰好有三個陽爻包含基本事件數為，由此能求出這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數為，這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數為，所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是.故選：B.5．（2024·廣西·模擬預測）每次從0～9這10個數字中隨機取一個數字（取后放回），連續取n次，依次得到n個數字組成的數字序列．若使該序列中的數字0至少出現一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（

）（參考數據）A．23 B．22 C．21 D．20【答案】B【分析】分別計算所有基本事件的個數以及不含0的基本事件，然后利用古典概型進行計算即可.【詳解】解：有放回地排列個數字，得個基本事件，其中不含0的基本事件為．由題意得，即，∴．∴最小取22．故選：B．6．（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從1，2，3，4，5這5個數字中不放回地任取兩個數，則兩個數都是奇數的概率是.【答案】/【分析】列舉所有可能的情況求解即可.【詳解】由題意，任取兩個數所有可能的情況有，，1,4，，2,3，，，，，共10種情況，其中兩個數都是奇數的情況有，，共3種情況，故兩個數都是奇數的概率是.故答案為：7．（24-25高三上·廣西貴港·開學考試）甲?乙玩一個游戲，游戲規則如下：一個盒子中裝有標號為的6個大小質地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數字，數字更大者得1分，數字更小者得0分，以此規律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.【答案】/【分析】將問題轉化為在三個盒子中各放入2個編號不同的小球，甲從每個盒子中各取一個小球，求甲取到每個盒子中編號較大小球的概率，然后可解.【詳解】將問題轉化為：在三個盒子中各放入2個編號不同的小球，甲從每個盒子中各取一個小球，求甲取到每個盒子中編號較大小球的概率.甲從三個盒子中各取一球，共有種取法，三個都是編號較大小球只有一種取法，所以，甲獲得3分的概率為.故答案為：8．（24-25高三上·天津·階段練習）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為；從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為.【答案】/0.3/0.4【分析】利用古典概型求概率公式即可求出結果；【詳解】從5名同學中隨機選3名參加社區服務工作共有種選法，其中甲、乙都入選共有種，所以甲、乙都入選的概率；從6張卡片中無放回隨機抽取2張共有種抽取情況，抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的情況有：1,4，，，，，共計6種情況，所以抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率.故答案為：，9．（2024·浙江寧波·一模）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5的五個大小質地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取一個球，若甲抽取的兩個小球數字之和大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數字大于乙抽取的小球數字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為.【答案】【分析】列舉第一輪中甲得1分的情況，結合排列組合以及乘法公式即可求解.【詳解】若第一輪在第一輪中得1分，若第一輪中甲抽到的小球為1，3，則乙抽到的小球只能是2，若第一輪中甲抽到的小球為1，4，則乙抽到的小球可以是2或3，若第一輪中甲抽到的小球為2，3，則乙抽到的小球可以是1或4，若第一輪中甲抽到的小球為1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5時，則乙抽到的小球可以是剩下三個小球中的任何一個，故共有，因此第一輪中甲得1分的概率為,在第二輪的過程中，只剩下兩個球，要使甲在第二輪中得1分，只需要甲在剩下兩個球中抽到號碼大的球即可，故概率為，因此甲在兩輪中共得2分的概率為，故答案為：易錯點04：對條件概率理解不透徹致錯典例（24-25高二上·遼寧·期末）某高中為了解學生的肥胖是否與經常飲用碳酸飲料有關，現對400名高二學生進行了問卷調查，學生飲用碳酸飲料的統計結果如下：學校有的學生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升，這些學生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學生的肥胖率為.若從該中學高二的學生中任意抽取一名學生，則該學生肥胖的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設相應事件,根據題意利用全概率公式運算求解即可.【詳解】設“學生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則，，設“學生肥胖”為事件B，則，，由全概率公式可得，所以若從該中學高二的學生中任意抽取一名學生，則該學生肥胖的概率為.故選：A【易錯剖析】本題容易混淆“交事件概率”與“條件概率”的區別而致錯.【避錯攻略】1、條件概率（1）條件概率的定義：一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．（2）條件概率的性質=1\*GB3①條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．=2\*GB3②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．=3\*GB3③如果與互斥，則．2、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．3、貝葉斯公式（1）一般地，當且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且易錯提醒：解決條件概率問題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒有出現上述字眼，但已知事件的出現影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進行第二步．第二步，計算概率，這里有兩種思路：思路一縮減樣本空間法計算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個數，再利用公式P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)計算思路二直接利用公式計算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)計算1．（2025高三·全國·專題練習）已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據兩個事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用條件概率求解即可.【詳解】記事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，則，，，因為，即，解得，又因為，即，解得，因為，所以，所以.故選：D.2．（24-25高三上·天津河東·期末）某廠產品有的產品不需要調試就可以出廠上市，另的產品經過調試以后有能出廠，則該廠產品能出廠的概率；任取一出廠產品，求未經調試的概率．【答案】【分析】答題空一：根據題意設出事件，利用全概率公式即可求解；答題空二：利用空一結果，根據貝葉斯公式即可求解.【詳解】設事件表示產品能出廠上市，事件表示產品不需要調試，表示產品需要調試，則有，，，，由全概率公式可得：；由貝葉斯公式可得：.故答案為：；3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）現有質量分別為千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一?二個箱子的總質量均不小于第三個箱子的總質量的概率是.【答案】/【分析】根據條件概率和全概率公式的概率公式求解.【詳解】由于六件貨物的質量之和不是3的倍數，因而不可能出現三個箱子的總重量都相同的情況.設事件表示存在兩個箱子，它們的總質量相同且同時最小，事件表示第一?二個箱子的總質量均不小于第三個箱子的總質量.考慮三個箱子的擺放順序，可得.當發生時，這兩個箱子的貨物組合只能是和和和三種可能，故.當不發生時，表示僅有一個箱子的總質量最小，于是由對稱性，得.故.故答案為：.1．（24-25高二上·遼寧遼陽·期末）在某次電子競技大賽中，甲、乙進入決賽，決賽采取五局三勝的冠亞軍爭奪賽制．已知甲在每局比賽中獲勝的概率均為，比賽無平局且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了五局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出甲獲得冠軍的概率，再利用條件概率公式即可求解.【詳解】若