第七章相交線與平行線7.2平行線人教版數學（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025平行線的概念（第一課時）1.理解平行線的定義；2.掌握平行線的畫法及平行線的基本事實和其推論.2022年2月18日，在北京冬奧會自由式滑雪女子U型場地技巧決賽中，谷愛凌成功奪冠，為中國代表團贏得第八枚金牌，這也是她本屆冬奧會繼自由式滑雪女子大跳臺奪金后的個人第二枚金牌。你知道滑雪運動最關鍵的是什么嗎？知識點1 平行線的概念思考

如圖，將兩根木條a,b分別與木條c釘在一起，并把它們想象成在同一平面內兩端無限延伸的三條直線，固定木條b和c，轉動木條a，直線a從在c的左側與直線b相交逐步變為在c的右側與直線b相交.

想象一下，在這個過程中，有沒有直線a與直線b不相交的位置呢？abcabc如下圖，在木條a轉動的過程中，存在直線a與b不相交的位置.在同一平面內，當直線a，b不相交時，我們說直線a與b互相平行，記作“a∥b”.“∥”表示平行，讀作“平行于”.前提條件沒有公共點知識點1 平行線的概念例1

下列說法正確的是（

）A.兩條直線不平行則相交B.在同一平面內，沒有公共點的兩條射線必平行C.在同一平面內，若兩條線段平行，則它們不相交D.在同一平面內，若兩條線段沒有公共點，則它們平行C缺少前提條件“在同一平面內”.知識點1 平行線的概念跟蹤訓練

如圖，把教室中墻壁的棱看作直線的一部分，那么下列位置關系表示不正確的是（）A.AB⊥BC

B.AD//BCC.CD//BF

D.AE//BFC知識點1 平行線的概念在實際生活中，平行線隨處可見，你還能舉出其他例子嗎？知識點1 平行線的概念知識點2 平行線的畫法aP如圖，直線a外有一點P，請你畫出經過這一點的直線b，使得a∥b.怎么畫呢？aA一“落”把三角尺的一邊落在已知直線上.二“靠”用直尺緊靠三角尺的另一邊.三“推”按著直尺不動，沿直尺推動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點.四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線.b知識點2 平行線的畫法例2

如圖，點P為三角形ABC內一點，請你過點P畫PD∥AC，交BC于點D，過點P畫PE∥BC，交AC于點E.一“落”二“靠”三“推”四“畫”D知識點2 平行線的畫法例2

如圖，點P為三角形ABC內一點，請你過點P畫PD∥AC，交BC于點D，過點P畫PE∥BC，交AC于點E.一“落”二“靠”三“推”四“畫”DE知識點2 平行線的畫法知識點3 平行線的基本事實I及其推論思考

(1)在下圖轉動木條a的過程中，有幾個位置使得直線a與b平行？abc解：(1)只有一個位置.一般地，有如下關于平行線的基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.知識點3 平行線的基本事實I及其推論思考

(2)如圖，過點B畫直線a的平行線，能畫出幾條？過點C呢？aBCbc解：(2)如圖所示.那直線b和直線c的位置關系是怎么樣的？b∥c.知識點3 平行線的基本事實I及其推論一般地，有如下關于平行線的基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.由以上基本事實，可以進一步得到如下結論：

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

也就是說：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.知識點3 平行線的基本事實I及其推論例3

下列說法：①一條直線的平行線只有一條；②過一點與已知直線平行的直線只有一條；③如果a∥b，c∥d，那么a∥d；④經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.其中正確的個數為(

)A.1

B.2

C.3

D.4A一條直線的平行線有無數條.若這個點在已知直線上，則過這個點無法畫出已知直線的平行線.因為b,c關系不明確，所以不能判斷a與d的關系知識點3 平行線的基本事實I及其推論跟蹤訓練

下面推理正確的是()A.因為a//b，b//c，所以c//dB.因為a//c，b//d，所以c//dC.因為a//b，a//c，所以b//cD.因為a//b，c//d，所以a//cC知識點3 平行線的基本事實I及其推論1.讀下列語句，并畫出圖形:(1)如圖①，過點A畫直線MN//BC；解:(1)MN如圖①所示.MN1.讀下列語句，并畫出圖形:(2)如圖②，過點C畫CE//DA，交AB于點E，過點C畫CF//DB，交AB的延長線于點F.解：(2)相同的方法作出CF//DB，CE，CF如圖②所示.EF2.讀下列語句，并畫出圖形：(1)點P是直線AB外一點，直線CD經過點P，且與直線AB平行，直線EF也經過點P且與直線AB垂直；ABPCDEF解：(1)如圖所示.2.讀下列語句，并畫出圖形：(2)直線AB，CD交于點O，點P是直線AB，CD外的一點，直線PE與直線CD平行，且與直線AB相交于點E.解：(2)如圖所示.PEOABCD畫法基本事實I的推論定義平行線在同一平面內，不相交的兩條直線基本事實I一“落”、二“靠”、三“推”、四“畫”過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行第七章相交線與平行線7.2平行線人教版數學（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025平行線的判定（第二課時）1.掌握平行線的三種判定方法，會運用判定方法來判斷兩條直線是否平行；2.能夠根據平行線的判定方法進行簡單的推理.復習回顧

過直線外一點畫已知直線的平行線的方法是什么？aAbab思考在剛才利用三角尺畫平行線的過程中，三角尺起著什么樣的作用？Ac12∠1和∠2是什么關系？它們相等嗎？∠1和∠2是同位角.∠1=∠2.這說明，如果同位角∠1=∠2，那么a∥b.一般地，有如下利用同位角判定兩條直線平行的基本事實：判定方法1

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.abc4231∵∠1=∠4，∴a∥b.符號語言：此處符號“∵”表示“因為”，符號“∴”表示“所以”例1

如圖，直線AB，CD被直線EF所截，∠1=55°，下列條件中能判定AB//CD的是（）A.∠2=35°

B.∠2=45°C.∠2=55°

D.∠2=125°C跟蹤訓練

如圖，若∠1=∠2，則_____//_____；若∠2=∠3，則_____//_____.ABDEBCEF問題

兩條直線被第三條直線所截，同時得到同位角、內錯角和同旁內角.

由同位角相等，可以判定兩條直線平行，能否利用內錯角或同旁內角來判定兩條直線平行呢？探究

如圖，直線a，b被直線c所截.(1)內錯角∠1與∠2滿足什么條件時，能得出a∥b?abc4231如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b.理由如下：因為∠1=∠2，而∠2=∠4，所以∠1=∠4，即同位角相等，從而a∥b.（對頂角相等）遇到一個新問題時，常常把它轉化為已知的（或已解決的）問題.這樣，就得到了利用內錯角判定兩條直線平行的方法：判定方法2

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.abc4231∵∠1=∠2，∴a∥b.符號語言：例2

如圖，能判定EB//AC的條件是(

)A.∠C=∠1

B.∠A=∠2C.∠C=∠3

D.∠A=∠1D跟蹤訓練

如圖，將兩塊含30°角的直角三角尺的最長邊靠在一起滑動，可知直角邊AB//CD，依據是________________________.內錯角相等，兩直線平行探究

如圖，直線a，b被直線c所截.(2)同旁內角∠1與∠3滿足什么條件時，能得出a∥b?abc4231如果∠1+∠3=180°，能得到a∥b.理由如下：方法一：（由判定方法1）因為∠1+∠3=180°，所以∠1=∠4，即同位角相等，從而a∥b.∠4+∠3=180°（鄰補角互補），探究

如圖，直線a，b被直線c所截.(2)同旁內角∠1與∠3滿足什么條件時，能得出a∥b?abc4231方法二：（由判定方法2）因為∠1+∠3=180°，

∠2+∠3=180°所以∠1=∠2，即內錯角相等，從而a∥b.（鄰補角互補），這樣，就得到了利用同旁內角判定兩條直線平行的方法：：判定方法3

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行.abc4231∵∠1+∠3=180°，∴a∥b.符號語言：例3

如圖，下列條件能判定直線l1//l2的是()A.∠1=∠2

B.∠1+∠3=180°C.

∠4=∠5D.

∠3=∠5B跟蹤訓練

如圖，∠1=∠2=60°，ED平分∠BEF，AB與CD平行嗎?請說明理由.解：AB//CD.

理由如下：∵ED平分∠BEF，∠1=∠2=60°(已知)，∴∠BEF=2∠2=120°(角平分線的定義).∴∠1+∠BEF=60°+120°=180°，∴AB//CD(同旁內角互補，兩直線平行).例4

在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？分析：垂直總與直角聯系在一起，進而可以用相應角的關系來判斷兩條直線是否平行.bca12解：這兩條直線平行.

理由如下：如圖，∵b⊥a，∴

∠1=90°.同理∠2=90°.∴

∠1=∠2.又

∠1和∠2是同位角，∴

b∥c.______________________________bca12(同位角相等，兩直線平行)你還能利用其他方法說明b∥c嗎？解：這兩條直線平行.

理由如下：如圖，∵b⊥a，∴

∠1=90°.同理∠2=90°.∴∠1=∠2.又

∠1和∠2是內錯角，∴

b∥c.______________________________bca1(內錯角相等，兩直線平行)2解：這兩條直線平行.

理由如下：如圖，∵b⊥a，∴

∠1=90°.同理∠2=90°.∴

∠1+∠2=180°，又

∠1和∠2是同旁內角，∴

b∥c.______________________________bca1(同旁內角互補，兩直線平行)2垂直于同一條直線的兩直線平行.bca12注意：選填題可用哦！1.如圖所示.(1)如果∠1=∠2，那么____∥____，依據是____________________.(2)如果∠3=∠4，那么____∥____，依據是____________________.(3)如果∠B=∠5，那么____∥____，依據是____________________.(4)如果∠D+∠BCD=180°，那么______∥____________________，依據是_____________________.內錯角相等，兩直線平行ADBCABABADCDCDBC(或BE或CE)內錯角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行(或BE或CE)2.如圖，BE平分∠ABC，請你添加一個條件:___________________，使DE//BC.∠EBC=∠DEB或∠ADE=∠ABC或∠ABC+∠EDB=180°××或∠DBE=∠DEB3.如圖，已知GM，HN分別平分∠BGE和∠DHF，當∠1與∠2具備怎樣的關系時，AB//CD?請說明理由.解:當∠1+∠2=90°時，AB//CD.理由如下:∵GM，HN分別平分∠BGE和∠DHF，∴∠BGE=2∠1，∠DHF=2∠2，∴∠BGE+∠DHF=2(∠1+∠2).∵∠1+∠2=90°，∴∠BGE+∠DHF=2×90°=180°.∵∠BGE+∠BGF=180°，∴∠BGF=∠DHF.∴AB//CD(同位角相等，兩直線平行).內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行基本事實Ⅱ：同位角相等，兩直線平行平行線的判定第七章相交線與平行線7.2平行線人教版數學（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025平行線的性質（第三課時）1.掌握平行線的性質，會運用兩條直線是平行關系判斷角相等或互補；2.能夠根據平行線的性質進行簡單的推理.復習

根據右圖，填空：①如果∠1＝∠C，那么

∥

（）.②如果∠1＝∠B，

那么

∥

（）.③如果∠2＋∠B＝180°，那么

∥

（

）.ABCDECBD同位角相等，兩直線平行內錯角相等，兩直線平行ECBD同旁內角互補，兩直線平行問題：通過上題可知平行線的判定方法是什么？思考：反過來，如果兩條直線平行，同位角、內錯角、同旁內角各有什么關系呢?同位角相等，兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行

可以發現，改變截線c的位置過程中：∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，當a∥b，同位角總是相等的.一般地，平行線具有性質：性質1

兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等簡單說成：兩直線平行，同位角相等.abc21符號語言：性質1：∵

a//b，∴∠1=∠2.例1

如圖，D，E，F分別是三角形ABC三條邊上的點，EF//AC，DF//AB，∠B=45°，∠C=60°.則∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°分析：根據平行線的性質1求角度，要先找己知度數的角的同位角，再找這個同位角與要求角的關系，繼而求出結果.本題的隱含條件是平角等于180°.例1

如圖，D，E，F分別是三角形ABC三條邊上的點，EF//AC，DF//AB，∠B=45°，∠C=60°.則∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°B解析：∵EF//AC，∴∠EFB=∠C=60°(兩直線平行，同位角相等).∵DF//AB，∴∠DFC=∠B=45°(兩直線平行，同位角相等).∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=180°-60°-45°=75°.跟蹤訓練

如圖，已知直線a//b，c為截線，若∠1=60°，則∠2的度數是()A.30°B.60°C.120°

D.150°B思考

前面我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內錯角相等，兩直線平行”.類似地，你能由性質1推出兩條平行線被第三條直線截得的內錯角之間的關系嗎？abc231如圖，直線a∥b，c是截線.“兩直線平行，同位角相等”∠1=∠2.所以∠3=∠2.所以∠3=∠1.∠3和∠2互為對頂角，這樣就得到了平行線的另一個性質：：性質2

兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.符號語言：性質1：∵

a//b，∴∠1=∠3.例2

如圖，已知AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°，求∠BDE的度數.分析：利用平行線的性質求角度，常通過尋找“中間角”作為“橋梁”，“中間角”和己知角與要求的角之間是同位角、內錯角、鄰補角、對頂角等關系.例2

如圖，已知AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°，求∠BDE的度數.解：∵AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°，∴∠ADB=∠B=40°，∠ADE=∠DEC=70°(兩直線平行，內錯角相等)，∴∠BDE=∠ADE-∠ADB=70°-40°=30°.跟蹤訓練

如圖，平行線AB，CD被直線EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°則∠EGF的度數是（）A.35°B.55°C.70°D.110°A思考

類似地，你能由性質1或性質2，推出兩條平行線被第三條直線截得的同旁內角之間的關系嗎？如圖，直線a∥b，c是截線.“兩直線平行，同位角相等”∠1=∠2.所以∠2+∠4=180°.所以∠1+∠4=180°.∠2和∠4是鄰補角，abc2314同旁內角互補如圖，直線a∥b，c是截線.abc2314“兩直線平行，內錯角相等”∠1=∠3.所以∠3+∠4=180°.所以∠1+∠4=180°.∠3和∠4是鄰補角，同旁內角互補這樣就得到了平行線的另一個性質：性質3

兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.符號語言：性質1：∵

a//b，∴∠1+∠4=180°.例3 如圖，若AB//DE，BC//EF，求∠B+∠E的度數.解：∵AB//DE(已知)，∴∠B=∠BCE(兩直線平行，內錯角相等).∵BC//EF(已知)，∴∠BCE+∠E=180°(兩直線平行，同旁內角互補)，∴∠B+∠E=180°(等量代換).易錯提醒：

平行線的性質使用的前提條件是“兩直線平行”，注意在使用平行線的性質3解題時，避免受思維定式的影響，出現“兩直線平行，同旁內角相等”的錯誤.跟蹤訓練

如圖，直線m//n，其中∠1=40°，則∠2的度數為()A.130°B.140°C.150°D.160°B3例2

如圖，是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外兩個角∠D，∠C分別是多少度？DCAB解：因為梯形上、下兩底DC與AB互相平行，根據“兩直線平行，同旁內角互補”，可得∠A與∠D互補，∠B與∠C互補.

于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°，所以梯形的另外兩個角∠D，∠C分別是80°，65°.跟蹤訓練

如圖，AB∥CD，BC∥AE，∠1=50°，求∠A，∠B，∠C的度數.解：∵AB∥CD,∴∠A=∠1=50°（兩直線平行，同位角相等）.∵BC∥AE,∴∠C=∠1=50°（兩直線平行，內錯角相等)，∠A+∠B=180°（兩直線平行，同旁內角互補)，∴∠B=180°-∠A=130°.1.如圖是超市購物車的側面示意圖，扶手AB與車底CD平行，∠1=100°，∠2=48°，則∠3的度數是()A.52°B.48°C.42°D.62°AABCDE1232.如圖，一束光線AB先后經平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當∠ABM=40°時，∠DCN的度數為（提示:由反射角=入射角，可得∠OBC=∠ABM，∠DCN=∠BCO）()A.40°B.50°C.60°D.80°40°

40°100°80°2.如圖，一束光線AB先后經平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當∠ABM=40°時，∠DCN的度數為（提示:由反射角=入射角，可得∠OBC=∠ABM，∠DCN=∠BCO）()A.40°B.50°C.60°D.80°B3.如圖是我們生活中經常接觸的小刀，刀柄是一個直角梯形(挖去一個半圓)，刀片上下是平行的，轉動刀片時會形成∠1，∠2，則∠1+∠2=______.90°解：如圖，過點O作OP∥AB，則∠1=∠AOP.∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠2=∠POC.∵∠AOP+∠POC=90°，∴∠1+∠2=90°.ABDCOP兩直線平行，內錯角相等兩直線平行，同旁內角互補兩直線平行，同位角相等平行線的性質平行線的判定互逆第七章相交線與平行線7.2平行線人教版數學（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025平行線的性質與判定的綜合應用（第四課時）1.能夠區別平行線的性質與判定；2.能熟練運用平行線的性質與判定解決幾何問題.同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補復習

你知道平行線的判定和性質嗎？兩直線平行判定性質abcd123分析：由于∠2和∠3是直線c與d被直線b所截形成的同位角，所以如果能推出∠2=∠3，就可以判斷直線c和d是平行的.而已知∠1=∠3，所以只需由直線a∥b,推出∠1=∠2.例1

如圖，已知直線a∥b，∠1=∠3，那么直線c與d平行嗎？為什么？解：直線c與d平行.理由如下：如圖，∵a∥b，∴∠1=∠2(兩直線平行，內錯角相等).又∠1=∠3，∴∠2=∠3.∴c∥d(同位角相等，兩直線平行).例1

如圖，已知直線a∥b，∠1=∠3，那么直線c與d平行嗎？為什么？abcd123例2 如圖，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？BCAa123b分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以嘗試推導∠ABC與∠3的大小關系.而由已知條件∠1=∠2，可以推出a∥b，從而可以得到∠ABC=∠3.例2 如圖，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？BCAa123b解：∵∠1=∠2，∴a∥b

(內錯角相等，兩直線平行).∴∠3=∠ABC

(兩直線平行，同位角相等).又∠3=50°，∴∠ABC=50°.跟蹤訓練

如圖，∠1=80°，∠2=100°，且AC∥DF，探索∠C與∠D的數量關系并說明理由．ABCDEF12解：∠C=∠D，理由如下：∵∠1=80°，∠2=100°，∴∠1+∠2=180°，∴BD∥C