2024-2025學年高一下學期期中模擬聯考數學試題一、單選題1．計算的結果為（

）A． B． C． D．2．已知在中，且，則的值為（

）A． B． C．2 D．33．以下變換中，能將函數的圖象變為函數的圖象的是（

）A．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位長度B．每個點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的D．向右平移個單位長度，再將每個點的橫坐標伸長為原來的2倍4．已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．5．已知函數①，②，③，④，⑤，則下列選項中同時滿足（1）是偶函數，（2）最小正周期是，（3）對稱軸相同這三個條件的是（

）A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．③④⑤6．在中，，，分別是角，，的對邊，已知，且有兩解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．函數的單調遞減區間和值域分別為（

）A．， B．，C．， D．，8．已知，，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．周期函數不一定有最小正周期B．時針走了1小時40分鐘，則分針轉過的角是C．若角滿足，，則一定為第四象限角D．點是函數圖象的一個對稱中心10．下列說法正確的是（

）A．若，，則B．在中，若，，則C．已知向量，，與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是D．已知，，為的內角，，的對邊，則“”的充要條件是“”11．已知是表示不超過的最大整數（比如：，），則下列說法錯誤的是（

）A．函數是周期函數，最小正周期是B．函數是周期函數，最小正周期是C．若函數，則的值域是D．當時，函數的零點有5個三、填空題12．已知單位向量，的夾角為，則向量，的夾角為．13．已知關于的方程在上有解，則實數的取值范圍為．14．如圖，在梯形中，，，是邊所在直線上的動點，若該梯形的面積為，則的最小值為．四、解答題15．（1）已知向量，，若，求實數的值；（2）已知向量，，，若，求的值．16．已知某扇形的周長是8．(1)當該扇形的面積最大時，求其圓心角的大小；(2)在（1）的條件下，求該扇形中所含弓形的面積．（注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形．）17．已知函數的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)將的圖象先向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變成原來的，縱坐標保持不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區間和其圖象的對稱中心．18．在中，，，分別是角，，的對邊，已知是銳角，向量，，且．(1)若，求實數的值．(2)已知．（i）求面積的最大值；（ii）在（i）的條件下，判斷的形狀．19．我市某大型綜合商場門前有條長120米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形），路的一側劃有24個長5米，寬2.5米的停車位（如矩形）．由于停車位不足，高峰期時段道路擁堵，該商場郭經理提出一個改造方案：在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊的綠化帶及改變停車位的方向來增加停車位．記綠化帶被壓縮的寬度米，停車位相對道路傾斜的角度，其中．(1)若，求和的長；(2)求關于的函數表達式；(3)若，按照郭經理的方案，該路段改造后的停車位比改造前增加了多少個？題號12345678910答案ADBBBCDAABDBCD題號11答案BD1．A利用誘導公式及特殊角的三角函數值求得答案.【詳解】.故選：A2．D將條件轉化為，再利用平面向量基本定理即可.【詳解】因，則，故，則，所以．故選：D3．B由三角函數伸縮變換，平移變換知識結合誘導公式，可判斷選項正誤.【詳解】對于A，變換后的函數為，故A錯誤；對于B，變換后的函數為，故B正確；對于C，變換后的函數為，故C錯誤；對于D，變換后的函數為，故D錯誤.故選：B4．B根據題意可得，進而求投影向量.【詳解】因為向量，，則，所求投影向量的坐標為．故選：B.5．B利用三角函數圖象以及函數圖象變換，畫出函數圖象，結合圖象判斷.【詳解】結合三角函數圖象與圖象變換，依次畫出①②③④⑤的函數圖象，由圖象可知，②⑤不是周期函數，故②⑤不符合；①③④均為偶函數，最小正周期為，對稱軸為，符合所有條件.故選：B6．C利用正弦定理及有兩解，列不等式求邊長范圍.【詳解】因為且，有兩解，所以，得．故選：C7．D先由對數函數性質直接求出函數定義范圍和值域，接著由對數函數單調性和余弦函數單調性結合定義將問題轉化成求函數在上的減區間即可直接計算得解.【詳解】由題，則，即，又為上的增函數，且，所以所求函數值域為；函數的單調遞減區間即為函數在上的減區間，所以，解得所求單調遞減區間為.故選：D8．A【詳解】作出圖形如圖所示，扇形，設半徑為1，，設，，由圖可知，又，所以，所以，由，，得．，，故．故選：A.9．ABD由可判斷A，由弧度制的概念可判斷B，由各個象限三角函數符號可判斷C，由正切函數對稱中心的概念可判斷D.【詳解】對于A，函數是周期函數，但沒有最小正周期，故A正確；對于B，易知分針轉過的角是，故B正確；對于C，由，可得：，，所以一定為第三象限角，故C錯誤；對于D，由，可知是函數圖象的一個對稱中心，故D正確．故選：ABD10．BCD對于A，向量不能比較大小；對于B，利用數量積的定義和等腰三角形的性質即可判斷；對于C，利用數量積為負同時要排除反向共線即平角的情況即可判斷；對于D，由正弦定理和大邊（角）對大角（邊）即可判斷.【詳解】對于A，因為向量有方向，所以不能像實數一樣比較大小，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由即解得，故C正確；對于D，由正弦定理，可知，故D正確．故選：BCD.11．BD利用函數的周期性的定義，計算并判斷A,B；利用正弦函數的值域，計算并判斷C；利用函數圖象，數形結合分析兩個函數圖象的交點，可判斷D.【詳解】對于A，因為的最小正周期是，即，所以，所以函數是周期函數，最小正周期是，故A正確；對于B，因為，則，所以不是函數的最小正周期，故B錯誤；對于C，因為，所以，，所以當時，；當時，，則，故C正確；對于D，函數的零點就是函數與的圖象的交點，其中，函數是周期為1的函數，其值域為，當時，函數與的圖象如下，由圖象可知，它們在內有6個交點，故D錯誤．故選：BD.12．/由條件結合數量積定義求，再利用數量積的運算律結合向量模的性質求，，，再利用向量夾角公式求結論.【詳解】由已知，，所以，又，，所以，，，設向量，的夾角為，所以．又因為，所以.所以向量，的夾角為．故答案為：.13．利用換元法，分離參變量，構造兩個函數圖象有交點問題，即可求參數范圍.【詳解】令，則，原方程可轉化為關于的方程在上有解，分離參變量得：，即等價于直線與函數的圖象在內有交點．又因為的圖象開口向下，對稱軸為直線，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即．故答案為：.14．16取的中點，作，垂足為，根據數量積的運算律整理可得，根據題型面積可得，利用基本不等式結合高線性質即可得最小值.【詳解】取的中點，作，垂足為，則，因為該梯形的面積為，且，，則，即，可得，所以的最小值為16.故答案為：16.15．（1）；（2）（1）由共線向量的坐標表示，建立方程，可得答案；（2）由向量線性運算的坐標表示，根據垂直向量數量積的坐標表示，建立方程，結合向量模長公式，可得答案.【詳解】（1）因為，所以由，解得．（2）因為，，．所以．因為，所以，即，解得，即，所以．16．(1)(2)．（1）設該扇形的半徑為，弧長為，可得，利用基本不等式可求扇形的面積的最大值；進而可求圓心角的大小；（2）由（1）知，．求得三角形的面積，進而可求弓形的面積.【詳解】（1）設該扇形的半徑為，弧長為，則，當且僅當時，等號成立，此時該扇形的面積，，其圓心角，故所求圓心角．（2）由（1）知，．又因為兩半徑與圓心角所對弦構成的三角形面積，所以所求弓形的面積，故所求弓形的面積是．17．(1)；(2)單調遞減區間為，，，．【詳解】（1）由的部分圖象知，當時，，當時，，解得，．因為，所以，則．因為且，得，故．（2）將的圖象先向左平移個單位長度，得到的圖象，將所有點的橫坐標變成原來的，縱坐標保持不變，得的圖象．令，整理得，，故的單調遞減區間為，．令，則，故圖象的對稱中心為，．18．(1)(2)（i）；（ii）等邊三角形【詳解】（1）因為是銳角，且，，所以，解得或（舍去），所以，由余弦定理得，又，則，結合，所以．（2）（i）由（1）知，，由余弦定理得，即，得，當且僅當時，等號成立，則，即面積的最大值為.（ii）由（i）可知，取得最大值時，，又，所以為等邊三角形．19．(1)米，米．(2)，．(3)13個．（1）由圖，結合幾何性質與三角函數可得答案；（2）由圖可得，后由（1）可得答案；（3）由（2）及可得.設改造后停車位數量最大值為，由圖可得第個車位頂點到的距離，后結合可得，即可得答案.【詳解