試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省婁底市2025屆高三下學期4月教學質量檢測數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=?7,?3,A．?7,?3 B．1,52．已知z=2+a?2iA．1 B．22 C．2 3．已知向量m=1,?5，nA．?60 B．?45 C．344．某同學參加跳遠測試，共有3次機會．用事件Ji（i=1,2,3A．J1∩J2 B．J2∪5．tanπ5sinA．34 B．1 C．65 6．長沙是一座有著悠久歷史和豐富文化底蘊的城市，其當地美食也獨具特色．某個假期期間，一名游客前往長沙旅游打卡，現要每天分別從臭豆腐、炸藕夾、剁椒魚頭、辣椒小炒肉、醬板鴨、糖油粑粑這6種美食中隨機選擇2種品嘗（選擇的2種美食不分先后順序），若三天后他品嘗完這6種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數為（

）A．90 B．120 C．150 D．1807．已知正六棱柱ABCDEF?A1B1CA．36 B．42 C．48 D．248．設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，其中點A位于第一象限，當l斜率為正時，x軸上存在三點D，E，H滿足AF=AD，A．4 B．8 C．12 D．169．已知函數fx=cosA．fx的圖象關于直線x=π4對稱 B．C．fx的最小正周期為2π D．fx在點二、多選題10．化學課上，老師帶同學進行酸堿平衡測量實驗，由于物質的量濃度差異，測量酸堿度pH值時會造成一定的誤差，甲小組進行的實驗數據的誤差X和乙小組進行的實驗數據的誤差Y均符合正態分布，其中X～N0.3,0.0001，Y～N0.28,0.0004，已知正態分布密度函數fxA．fB．乙小組的實驗誤差數據相對于甲組更集中C．PD．P11．已知函數fx的定義域為D，若?m，n∈D，都有fmA．fx=lnB．fx=sinC．若D=N，f0=0D．若D=Z，f0=0三、填空題12．已知橢圓C：x2m+y2913．某公園有4條同心圓環步道，其長度構成公比為2的等比數列，若最長步道與最短步道之差為840m，則最長步道為m．14．幻方是一種數學游戲，具有悠久的歷史，其要求每行每列以及兩條對角線的數字之和均相等，且每格的數字均不相同．現將1～16填入4×4幻方，部分數據如圖所示，則m的取值集合是．

四、解答題15．已知雙曲線C：x2?yb2=1的左頂點為A，右焦點為F，P，Q是C上的兩點，線段P(1)求C的離心率；(2)若R12,16．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(1)求△A(2)若AB?A17．如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB

(1)過點C，E，F的平面截該長方體所得的截面多邊形記為S，求S的周長；(2)設T為線段D1C1上一點，當平面CEF⊥平面18．記Sn為數列an的前n項和，且2nan(1)求a2的值，并求a(2)探究an(3)證明：Sn19．已知函數fx=e(1)當a=1時，討論(2)已知Ax1,y1，Bx2,y（ⅰ）求b的取值范圍；（ⅱ）若x1?x答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖南省婁底市2025屆高三下學期4月教學質量檢測數學試題》參考答案題號12345678910答案BCACBAABBDAC題號11答案ABD1．B【分析】根據函數定義域求法可求得集合B，由交集定義可得結果.【詳解】∵B=x故選：B.2．C【分析】利用復數的除法求出z，再利用純虛數的定義求解.【詳解】依題意，z=2i+(a?故選：C3．A【分析】應用向量線性運算、數量積的坐標表示求值.【詳解】由題意，得n?m=故選：A4．C【分析】根據題意依次判斷各項事件運算對應的含義，即可得.【詳解】J1J2J1J1故選：C5．B【分析】利用二倍角公式以及切化弦化簡tanπ5sin【詳解】tanπsinπ于是tanπ故選：B．6．A【分析】將6種美食平均分成3組，再排到3天去品嘗即可.【詳解】將6種美食平均分成3組，有C6該游客每天選擇其中一組美食進行品嘗，有A3所以這三天他選擇美食的不同選法種數為15×故選：A7．A【分析】根據給定條件，求出正六棱柱底面正六邊形的邊心距3，并設正六棱柱的高為h，可得r取h2,3中最小的，按h<2【詳解】設正六邊形ABCDEF的中心為點M，則點M與任意一條邊均構成等邊三角形，因此點M到各邊的距離均為等邊三角形的高，即AB不妨設該正六棱柱的高為h，則r≤h2且r由點M到A，B，C，D，E，F的距離均為2，得點M是正六邊形ABCDEF的外接圓圓心，因此正六棱柱的外接球半徑R=若h<23，則r=h若h≥23，則r于是當h=23時，Rr取得最小值所以該正六棱柱的體積為63故選：A8．B【分析】用設而不求法，然后聯立拋物線和直線方程，用韋達定理表示計算即可.【詳解】如圖，設l：x=my+1聯立y2=4xx=m所以x1x2=y而EF=1?x2，BE所以D2x1?1故選：B．

9．BD【分析】根據余弦函數的性質逐項分析判斷ABC即可；由導數的意義求切線可判斷D.【詳解】對于A，由于fπ4=cosπ對于B，當?π2≤由余弦函數的性質可知，f(x)對于C，函數f(x)對于D，f′(x)=?2sin2故選：BD10．AC【分析】由正態分布密度函數曲線的圖象及性質可判斷A，B；利用正態分布密度函數曲線的對稱性以及原則即可判斷C，D.【詳解】由正態分布密度函數曲線可知，數據的標準差越小，數據越集中在均值附近，峰值越大，反之，標準差越大，數據越分散，峰值越小.對于兩個小組的誤差，甲組的標準差σ1=顯然甲組的標準差更小，故峰值更大，數據相對乙組更集中，故A正確，B錯誤；PP(PP而對于任何正態分布都有P故P(故選：AC.11．ABD【分析】根據“次可加函數”定義，判斷四個選項即可.【詳解】對于0<m≤2和由1m所以m+n>得fm對于?π≤m≤0由m，n的范圍，有?π≤m+又fm所以fm+n所以fm由于f0≠f1，所以設T是fx的一個周期，T∈N*，考慮f0，f設ft是其中的最大值，則1≤t由周期性可知fx的最大值也是f取m=n=這與fx的最大值是f所以fx令fx=0若m=0，fn若m+n=而2?只需考慮mm則fmfm故fm+n故其表達式不唯一，故D正確.故選：ABD．12．3【分析】通過橢圓的焦點在x軸或者y軸上，由橢圓的定義求出m即可求解.【詳解】若橢圓的焦點在x軸上，則m>9，由2m若橢圓的焦點在y軸上，則0<m<9，由故答案為：3．13．960【分析】根據等比數列的通項公式列出關于首項和公比的方程，進而求出最長步道的長度.【詳解】設這4條同心圓環步道的長度構成的等比數列為{an}，公比q=2，首項為a因為n越大，an的值越大，所以最短步道為a1，最長步道為a4已知最長步道與最短步道之差為840m，即a4?a1=840，聯立解得故答案為：960.14．14【分析】先根據所設未知數t以及幻方對角線數字之和的性質列出方程求出t，再根據已知條件確定m的取值范圍，最后通過對m可能取值的檢驗來確定m的值.【詳解】不妨記第i列（從左往右），第j行（從下往上）的數字坐標為i,j，如易知8=2,4，6=3,設t=4,1，則9?t=故4=4,1，5=注意到m?11>0，故m>當m=15時，1=

當m=

綜上，m的取值集合是14.故答案為：14.15．(1)2(2)x【分析】（1）先計算當PF⊥AF時點P坐標，利用（2）利用點差法求直線的方程即可.【詳解】（1）設雙曲線的半焦距為c，則c2當PF⊥AF時，點代入C的方程，得y2=b2因PF=AF，所以c+故C的離心率為ca（2）由（1）知C:x2?y因為P，Q是C上的兩點，故x1兩式相減得：x1若x1=x由雙曲線的對稱性可知，此時線段PQ的中點位于x若x1≠x因為R12,32是線段P則y1所以直線PQ的方程為y=x經檢驗此時該直線與雙曲線有兩個交點，滿足題意，則直線PQ的一般式方程為x16．(1)1(2)b【分析】（1）利用余弦定理進行邊角轉化已知條件，設BC邊上的高為h，通過三角形面積公式化簡即可；（2）由向量數量積定義和余弦定理公式可求得cosA=1【詳解】（1）對右邊等式，由余弦定理知bcos設BC邊上的高為h，則bsin因為bsin所以2h=a所以△ABC（2）由AB解得cosA=1由（1）知，bsinC=由正弦定理得，csinC=又因為sin2所以bc17．(1)9(2)7【分析】（1）運平面知識按步驟作出截面，用相似圖形性質球邊長，再求周長即可；（2）先證明，當T為線段D1C1中點時，平面C【詳解】（1）如圖，步驟1：延長DA，CE交于點P，連接PF交AA1于點G，連接步驟2：延長GF，DD1交于點Q，連接CQ交C1D1于點

由E為AB中點，可得A為DP中點，從而ΔAPG與Δ又F為A1D1中點，從而△又△D1HQ與所以CE=22+222=23故所求截面多邊形的周長為93（2）當T為線段D1C1中點時，平面C易得EF2=22+22+所以EF⊥CE．又A1T∥CE，故EF⊥

因為E，M分別為AB，CD中點，故EM∥FD1，所以E，F，D1，M四點共面，易知四邊形DD1TM為正方形，故DT而FD1∩D1M=D1，故DT⊥平面EFD1M．因為EF?平面E以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則C0,4,0，E

設平面TCF的法向量m=則m?TC又CE=2設平面CEF的法向量n=x2,y則cosm故平面TCF與平面CEF夾角的余弦值為71518．(1)a2=3(2)an(3)證明見解析.【分析】（1）利用等差、等比中項的性質得4a2=83a3（2）討論an,a（3）法一：由（1）有an=2?n2+3n【詳解】（1）因為2nann為等差數列，取前3項知2，2a因為annn+1為等比數列，取前3項知12，代入4a2=83也即2a2?34若a2=34，那么2n所以a2=32，得（2）令an<an+1，解得當n=2時，an所以a1故an（3）法一：因為an記bn=2所以an于是Sn因此Sn法二：Sn兩邊同乘12，得1①－②，整理得Sn兩邊同乘12，得1③－④，整理得Sn即Sn19．(1)fx在區間?1,(2)（i）b∈1,【分析】（1）對函數求導，利用導函數的符號以及零點存在定理即可判斷出fx（2）（ⅰ）由對稱性可求得eat+e?at（ⅱ）由題意可得ft?f?t≤0，記h【詳解】（1）由a=1可得f