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（2）設函數f(x)在x=1的某一鄰域內可微，且滿足f(1+x)-3f(1-x)=4+2x+o(x)，其中o(x)是當x→0時x的高階無窮小，則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方【解】由于f(x)在x=1處可微，因而連續，故對所給等式求極限x→0，兩邊取極限x→0，并根據導數的定義，得4f=2，所以f.因此，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為（3）設y=y(x)是初值問題1的解，則y(x)【解】對于齊次微分方程y-2y-3y=0，其特征方程λ2-2λ-3=0的根為λ1=3，λ2=-1，所以y-2y-3y=0的通解為y=C1e3x+C2e-x.2e-x-11 . 2μ=所以設Σ的外法向量與z軸正向的夾角為y，則cosy=所以f(n)(0).對f(x)=e一xF(x)利用Leibniz公式，再代入x=0得22-------------------4分欲求F(k)(0)，對(1+x2)F(x)=x2023兩邊求k—1階導數，并利用Leibniz公式，得2)F(k)(x)+2(k1)xF(k1)(x)+(k1)(k2)F(k2)(x)=(x2023)(k1)，得F(2k)(0)=…=(1)k1(2F(2k+1)(0)=…=(1)k(2k)!F(0)=0，因此，nkC-----------------三、(本題滿分14分)設函數f(x)在區間(0,1)內有定義且【證】根據題設條件得，對于任意非負整數-------------------4分因此，其中α是當x→0+時的無窮小.四、(本題滿分14分)設函數f(x)在區間[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且33根據連續函數介值定理，存在ξ3∈(0,1)使得F(ξ3)=0，即f(ξ3)=2-ξ3.在區間[0,ξ3]，[ξ3,1]上分別利用Lagrange中值定理，存在ξ1∈(0,ξ3)，ξ23-------------------4分五、(本題滿分14分)設f(x)是[-1,1]上的連續的偶函數，計算曲線積分：dx+f其中曲線L為正向圓周x2+y2=-2y.【解】取圓的圓心角θ作參數，則曲線L：x2+(y+1)2=1的參數方程為：-------------------4分44六、(本題滿分14分)設函數證明級數

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