第11屆決賽非數(shù)學(xué)試題參考解答_第1頁
第11屆決賽非數(shù)學(xué)試題參考解答_第2頁
第11屆決賽非數(shù)學(xué)試題參考解答_第3頁
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第11屆決賽非數(shù)學(xué)試題參考解答_第5頁
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文檔簡介

2021年04月決賽試題【解】2、設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程3x?y=2arctan(y?2x)所確定，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為.點P的坐標(biāo)代入，得曲線y=f(x)在P點的切線斜率為.因此，切線方程PP【解】將所給點的坐標(biāo)代入方程得112021年04月決賽試題【解】記narctan2利用萊布尼茲法則，5、設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在[0,1]上連續(xù)，f(0)=f(1)=0，且滿足則f(x)=.【解】記則222021年04月決賽試題2φ+sin2φ+sin2φ,332021年04月決賽試題【解】考慮積分------------4分根據(jù)積分中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得ξ(1?ξ)[3?f′(ξ)]=0，即f′(ξ)=3.五、(12分)設(shè)B1,B2,…,B2021為空間R3中半徑不為零的2021個球，A=(aij)為2021階方陣，其(i,j)元aij為球Bi與Bj相交部分的體積其中E為單位矩陣.【證】記Ω為以原點O為球心且包含B1,B2,…,B2021在內(nèi)的球，考察二次型442021年04月決賽試題另一方面，存在正交變換Z=PY使得f化為f=λ1y+λ2y+…+λ2021y021，其中λ1,λ2,…,λ2021為A的全部特征值.因為二次型f≥0，所以A的特征值λi≥0,(i在Ω上具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且f(x,y,z)(x,y,z)∈Σ=0.記▽f為f(x,y,z)的梯度，其中Σ取外側(cè).因為f(x,y,z)(x,y,z)∈Σ=0，所以上式左端等于零.利用Cauchy不552021年04月決賽試題七、(12分)設(shè){un}是正數(shù)列，滿足其中常數(shù)α>0，β>1.(1)對于vn=nαun，判斷級數(shù)的斂散性；常數(shù)M>0及正整數(shù)N，使得an≤Mbn對任意n>N成立.]其中γ=min{2,β}>1，故存在常數(shù)C>0及正整數(shù)N使得對任意n>N成立，所以級數(shù)收斂.令lnvn=a，

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