能智庫能智庫高2023屆數學課程講義七分冊(學生用書)第十五章立體幾何 115.1.1空間幾何體的結構 115.1.2多面體 7 15.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積 15.4空間點、直線、平面之間的位置關系 15.4.1平面 15.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系 2415.5.2直線與平面平行 2715.5.2.1直線與平面平行的判定定理 2715.5.2.2直線與平面平行的性質定理 15.5.3平面與平面平行 15.5.3.1平面與平面平行的判定定理 15.5.3.2平面與平面平行的性質定理 315.6空間直線、平面的垂直 15.6.1直線與直線垂直 15.6.2直線與平面垂直 15.6.3平面與平面垂直 15.7專題研究 4115.7.1幾何體的外接球和內切球 15.7.2空間中的距離問題 第十六章空間向量及其應用 4616.1空間向量及運算 16.2空間向量的應用(一)——平行與垂直 16.3空間向量的應用(二)——空間角(1) 16.4空間向量的應用(三)——空間角(2) 16.5空間向量的應用(四)——空間距離 15.1基本立體圖形15.1.1空間幾何體的結構【學習目標】1.通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征。2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系。3.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現實生活中簡單幾何體的結構和有關計算。【要點整合】1.空間幾何體的定義、分類及相關概念空間中的物體都占據著空間的一部分，若只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫作空間幾何體.類別多面體定義由若干個平面多邊形圍成的幾何體由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線圖形AAO軸BO面：圍成多面體的各個多邊形棱：相鄰兩個面的公共邊頂點：棱與棱的公共點軸：形成旋轉體所繞的定直線2.旋轉體的結構特征名稱定義圖形及表示圓柱的面所圍成的旋轉體叫做圓柱如圖可記作：圓柱0'0圓柱的軸：旋轉軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面圓柱的側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面圓柱的母線：無論旋轉到什么位名稱定義圖形及表示圓錐的旋轉體軸軸母線S圓錐的軸：旋轉軸垂直于軸的邊旋轉而成的圓面旋轉而成的曲面名稱定義圖形及表示圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺旋轉法定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在直線為旋轉軸，將直角梯形繞旋轉軸旋轉一周而形成的旋轉體叫做圓臺圓臺的軸：旋轉軸圓臺的底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面圓臺的側面：不垂直于軸的邊旋轉一周而成的曲面圓臺的母線：無論旋轉到什么位名稱定義圖形及表示球成的旋轉體叫做球體，簡稱球00球心：半圓的圓心半徑：半圓的半徑直徑：半圓的直徑如圖可記作：球023.多面體的結構特征名稱定義圖既及表示分類棱柱且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由叫做棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF—側棱：相鄰側面的公共邊頂點：側面與底面的公共頂點按底面多邊形的三棱柱、四棱柱、.……名稱定義圖形及表示余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做S頂點側棱：相鄰側面的公共邊頂點：各側面的公共頂點按底面多邊形的邊數分：三棱錐、側棱-DABC名稱定義圖形及表示分類棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺下底面：原棱錐的底面的公共頂點由三棱錐、四棱截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺棱柱、棱錐、棱臺之間的關系：上底縮小上底縮小棱柱棱臺棱錐4.簡單組合體(1)概念：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺、球等幾何結構特征的物體組成的.(2)基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.3【典例講練】題型一旋轉體的結構特征(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球.【練習1】下列敘述中正確的個數是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓，④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.A.0B.1C.2題型二多面體的結構特征例2下列說法正確的是()A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體D.九棱柱有9條側棱，9個側面，側面均為平行四邊形【練習2】下列命題中，正確的是()A.棱柱中所有的側棱都相交于一點B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面·C.棱柱的側面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D.棱柱的側棱相等，側面是平行四邊形例3下列關于棱錐、棱臺的說法：的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號是4【練習3】下列說法中，正確的是()④棱錐的各側棱長相等.例4描述下列幾何體的結構特征.12)ABCD5例5用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1:16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺的母線長.【練習6】圓臺的兩底面面積分別為1,49,平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，求圓臺【課后鞏固】—完成課時作業(142)61.了解棱柱、棱錐、棱臺的分類，掌握正棱柱、正棱錐、正棱臺的概念.2.能夠區分常見的四棱柱3.了解五個正多面體.【要點整合】1.各種棱柱之間的關系(1)棱柱的分類(2)常見的幾種四棱柱之間的轉化關系邊垂直所有棱均相等正方體平行六面體直四棱柱長方體3.棱柱、棱錐、棱臺在結構上既有區別又有聯系，具體見下表：名稱高平行且全等的與底面全等直棱柱平行且全等的于底面與底面全等正棱柱平行且全等的于底面與底面全等正棱錐一個正多邊形有一個公共頂點過底面中心與底面相似一個多邊形有一個公共頂點與底面相似棱臺正棱臺平行且相似的于一點與底面相似其他棱臺平行且相似的延長后交于一點與底面相似正四面體正十二面體正二十面體【典例講練】題型一多面體的概念例1下列說法中正確的是()A.棱柱的面中，至少有兩個面互相平行B.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一條側棱就是棱柱的高D.棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形【練習1】下列說法錯誤的是()A.多面體至少有四個面B.九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形C.長方體、正方體都是棱柱D,三棱柱的側面為三角形8①②③A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)A.10【課后鞏固】-—完成課時作業(143)915.2立體圖形的直觀圖【學習目標】3.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和常見幾何體的直觀圖.4.逆用斜二測畫法，找出直觀圖的原圖.【要點整合】感，經常使用平面圖形來作直觀圖.2.用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)在平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，作出與之對應的x軸和業軸，使得它們正方向的夾角為45°(2)在立體圖形中，過x軸與y軸的交點取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸.過x軸與y軸的交點作z【典例講練】例1(1)用斜二測畫法畫出圖中等腰梯形ABCD的直觀圖(其中0,E分別為線段AB,DC的中點)(2)若將本例中的等腰梯形ABCD改為正五邊形ABCDE,如圖所示，那么其直觀圖如何畫出?【練習1】如圖，△A'B'C是水平放置的△ABC斜二測畫法的直觀圖，(2)若A'C'=6,B'C'=4,則AB邊的實際長度是多少?例2用斜二測畫法畫正六棱柱(底面是正六邊形，側棱垂直于底面)的直觀圖.2】畫出正四棱錐(底面是正方形側面是有一個公共頂點且全等的等腰三角形的棱錐)的直觀圖.例3如圖所示，△A'B'C'是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形.【練習3】如圖所示，矩形O'A'B'C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6cm,CD'=2cm,則原圖形的形狀是_【學習目標】1.了解柱體、錐體、臺體的表面積與體積的計算公式.2.理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積.【要點整合】1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積圖形表面積多面體C多面體的表面積就是各個面的面積的和，也就是展開圖的面積D注：①將棱柱、棱錐、棱臺的側面展開，其側面展開圖分別是由若干個平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形，側面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側面積.②棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側面積與各自的底面積的和.2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積圖形圓柱圓錐底面積：S底=πr2側面積：S側=πrl圓臺'rl0下底面面積：S下底=πr2幾何體體積說明S為柱體的底面積，h為柱體的高S為錐體的底面積，h為錐體的高臺體【典例講練】題型一空間幾何體的表面積與側面積例1現有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15,高是5,求該直四棱柱的側面積.例2圓臺的母線長為8cm,母線與底面成60°角，軸截面的兩條對角線互相垂直，求圓臺的表面積.A題型二柱體、錐體、臺體的體積錐Ai-D?EF的體積.【練習2】如圖，已知正方體ABCD-AB?C錐例5如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF//AB,EF=2,EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.和3,則該幾何體的體積為()C.20π【課后鞏固】-完成課時作業(145)15.3.2球的表面積與體積【學習目標】【要點整合】【典例講練】例2(1)兩個球的體積之比為8:27,那么這兩個球的表面積之比為()題型二球的截面問題例3如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,若不計容器的厚度，則球的體積為()ABCAB例4一個球內有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2,求球的表面積.【練習2】用一平面去截球所得截面的面積為2π,已知球心到該截面的距離為1,則該球的表面積為【課后鞏固】.完成課時作業(146)【學習目標】2.理解平面的基本事實1、事實2、事實3及三個推論.【要點整合】知識點一平面的概念(1)平面通常用希臘字母α,β,y等表示，如平面a、平面β、平面y等，(2)平面也可以用代表平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱，如平面ABCD、平面AC、平面BD,(1)水平放置的平面常畫成一個平行四邊形，銳角通常畫成45°,且橫邊長等于其鄰邊長的2倍，如圖①.(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來，如圖②.知識點二點、線、面之間的關系如果直線I上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者說平面α經過直線L.2.一些文字語言與數學符號的對應關系：數學符號點A在直線I上點A在直線I外點A在平面α內點A在平面α外直線l在平面α內直線l在平面α外平面α,β相交于直線l知識點三平面的三個基本事實1.基本事實1:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.A,B,C三點不共線=存在惟一的平面α,使A,B,C∈a作用：(1)確定平面；(2)證明點、線共面問題；(3)判斷兩個平面重合2.基本事實2:如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.作用：判定直線和點是否在平面內3.基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線0202元元利用基本事實1和2得三個推論：推論1:經過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面.推論2:經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3:經過兩條平行直線，有且只有一個平面.【典例講練】題型一三種語言的轉換例1用符號表示下列語句，并畫出圖形.(1)直線a經過平面α內一點A,α外一點B(2)直線a在平面α內，也在面β內.【練習1】(1)若點M在直線a上，a在平面α內，則M,a,α之間的關系可記為()(2)如圖表示兩個相交平面，其中畫法正確的是()題型二確定平面個數問題(事實1及三個推論)例2空間四點可以確定幾個平面?并畫出圖形.【練習2】(1)3條直線相交于1點，最多能確定個平面；3條直線相交于3點，最多能確定個平面.題型三點共線、線共點、面共線問題直線上.【練習3】在正方體ABCD-A?BIC?D?中，E,F分別是AB和AA?的中點.【課后鞏固】—完成課時作業(147)【學習目標】1.會判斷空間兩直線的位置關系.2.會判斷空間直線與平面的位置關系.3.會判斷空間兩平面的位置關系.【要點整合】知識點一空間兩直線的位置關系①從是否有公共點的角度來分：異面在同一平面內②從是否共面的角度來分：相交不同在任何一個平面內——異面2.異面直線：不同在任何一個平面內的兩條直線.知識點二直線與平面的位置關系1.直線與平面的位置關系位置關系定義圖形語言符號語言直線在平面內有無數個公共點有且只有一個公共點沒有公共點直線和平面相交——有且只有一個公共點{有公共點直線在平面內—有無數個公共點無公共點——直線和平面平行[直線在平面內——所有點在平面內直線與平面相交直線在平面外直線與平面平行知識點三兩個平面的位置關系位置關系圖形表示公共點沒有公共點有一條公共直線【典例講練】題型一空間兩直線位置關系的判定A.平行B.異面C.相交D.平行、相交或異面(2)若直線a⊥直線b,直線c//a,則c與b關系是()題型二直線和平面的位置關系A.0B.1A.若直線a上有無數個點不在平面α內，則a//aB.若a//a,bca,則a//b(2)已知兩平面α,β平行，且aca,下列四個命題：①a與β內的所有直線平行；②a與β內無數條直線平行；③直線a與β內任何一條直線都不垂直；④a與β無公共點.其中正確命題的個數是()A.1B.2例4(1)畫出兩平行平面；(2)畫出兩相交平面.【練習4】(1)畫出一個平面與兩個平行平面相交；(2)畫出相交于一點的三個平面.題型四畫平面交線例5在正方體ABCD-A?B?C?D?中(1)如圖①作出平面ABC?D?與平面A?B?CD(2)如圖②作出平面A?C?CA與平面A?DCB?的交線.【練習5】在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F分別是CC?和AA?的中點，畫出平面BED?F與平面ABCD的交線并說明理由.【課后鞏固】完成課時作業(148)15.5空間直線、平面的平行15.5.1直線與直線的平行1.能用事實4解決一些簡單的相關問題.2.會求兩異面直線所成的角.【要點整合】知識點一基本事實4事實4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行符號語言：直線a,b,c,a//b,b//c=a//c知識點二空間等角定理1.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補知識點三異面直線所成的角1.定義：已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O作直線a'//a2.異面垂直：如果兩條異面直線a,b所成的角是直角，那么這兩條直線互相垂直，記作a⊥b.4.求異面直線所成角的步驟：①作；②證；③求；④答.【典例講練】題型一事實4的運用例1(1)已知棱長為a的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M,N分別為C?D,D?A?的中點.求證：四邊形MNAC是梯形.已知BD=6.②求MN的長.題型二等角定理的應用例2如圖，不共面的三條直線a,b,c交于點O,在點O的同側分別取點A和Ai、B和Bi、C和C?,【練習2】已知E、E?分別是正方體ABCD—A?B?C?D?的棱AD、A?D?的中點.求證：∠BEC=∠B?E?Ci.題型三異面直線所成的角例3如圖，正方體AC?中，E,F分別是【練習3】如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?成角的大小.【課后鞏固】—完成課時作業(149)【學習目標】3、能運用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線【要點整合】圖形表示平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行α題型一線面平行的理解A.0B.1C.2【練習1】下列說法正確的是()A.若直線I平行于平面α內的無數條直線，則I/αB.若直線a在平面α外，則a//aC.若直線a∩b=0,直線bca,則a/αD.若直線a//b,bca,那么直線a就平行于平面α內的無數條直線題型二直線與平面平行的證明角度二構造平行四邊形證明線面平行例3如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，M、N分別是AB、PC的中點.求證：MN//平【練習3】如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，M為OA的中點，N為BC的中點.證明：直線MN//平面OCD.角度三利用平行線分線段成比例證線面平行例4如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?中，點N在BD上，點M在B?C上，且CM=DN,求證：MN//平面AA?B?B.【練習4】正四棱錐P-ABCD的各條棱長都是13,M、N分別是PA和BD上的點，且PM:MA=【課后鞏固】———完成課時作業(150)【學習目標】1、能應用文字語言、符號語言、圖形語言準確描述直線與平面平行的性質定理2、能用性質定理，證明一些空間線面平行關系的簡單問題.【要點整合】知識點直線與平面平行的性質定理圖形表示該直線平行【典例講練】題型一證明線線平行例1如圖，已知AB與CD是異面直線，且AB//平面α,CD//平面α,ACNa=E,ADNα=F,BDNa中點，在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH,求證：AP//GH.【練習1】如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體；求證：截面MNPQ是平行四邊形.題型二證明線面平行【練習2】如圖，在長方體ABCD-A?BIC?D?中，E,H分別為棱A?B?,D?C?上的點，且EH//A?D1,題型三與線面平行性質定理有關的計算例4如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA=3,點F在棱PA上，且AF=點E在棱PD上；過點E作EG//FD交AP于點G,連接CG;若CG//平面BDF,求PE:ED的值.【練習3】如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=2,點E為AD的中點，點F在CD上，若【課后鞏固】-完成課時作業(151)15.5.3.1平面與平面平行的判定定理【學習目標】1、理解平面與平面平行判定定理的含義.2、會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3、能運用平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關系的簡單問題.【要點整合】圖形表示一個平面內的兩條相交直線與另一個【典例講練】題型一面面平行判定定理的理解例1下列命題中正確的是()④若一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，則A.①③B.②④C.②③④D.③④【練習1】已知直線l,m,平面α,β,下列命題正確的是()A.I//β,Ica=α//β題型二面面平行的證明例2.已知正方體ABCD-A?B?C?D?中，如圖，求證：平面AB?D?//平面BDC?.點.求證：平面AMN//平面EFDB例3如圖，在正方體ABCD—A?B?CID?中，0為底面ABCD的中心，P是DD?的中點，設Q是CC上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D?BQ//平面PAO.(1)求證：平面MNG//平面ACD;【課后鞏固】.完成課時作業(152)【學習目標】【要點整合】圖形表示如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行βαY如果兩個平面平行，那么一個平面內的任意一條直線都平行于另外一個平面B題型二證明線面平行例2如圖，在四棱柱ABCD一A?B?C?D1中，點M和N分別為B?C和D?D的中點.求證：MN//平面ABCD.【練習2】已知AB,CD為夾在兩個平行平面α,β之間的線段，M,N分別為AB,CD的中點求證：MN//平面α.題型蘭截面問題例3如圖所示，在棱長為2cm的正方體ABCD-A?B?C?D?中，A?B?的中點是P,問過點A?作與截面PBC?平行的截面也是三角形嗎?并求該截面的面積.【練習3】把一正方體沿對角面劈開，得一如圖幾何體，其中B?C?=A?C?=2,M為A?B?的中點，試作出過B?且與平面AMC?平行的截面，并計算該截面面積.【課后鞏固】—_—完成課時作業(153)【學習目標】2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.理解直線與平面所成的角的概念，并能解決簡單的線面角問題.【要點整合】知識點一直線與直線垂直如果兩條異面直線a、b所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.記作：a⊥b空間兩條直線所成角的范圍是0°<0=90°知識點二直線與平面垂直的定義定義如果直線I與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線1與平面α互相垂直圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直文字語言一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直符號語言圖形語言1 知識點四直線與平面所成的角斜線PAα上的射影為直線AO所成的角平面內，它們所成的角是0°取值范圍設直線與平面所成的角為θ,0°<0≤90°【典例講練】題型一線面垂直的定義及判定定理的理解例1下列命題中，正確的序號是①若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則I⊥a;②若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α;③若直線I不垂直于平面a,則α內沒有與l垂直的直線；④若直線I不垂直于平面α,則α內也可以有無數條直線與I垂直；⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.【練習1】(1)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是.(填序號)題型二線面垂直的判定例2如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC=90°,D是AC的中點，且SA=SB=SC.【練習2】如圖所示，直三棱柱ABC-A?BIC?的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°,C點到AB?的距離為CE,D為AB的中點.求證：(1)CD⊥AA1;(2)AB?⊥平面CED.題型三直線與平面所成的角例3如圖，在正方體ABCD一A?B?C?D?中(2)求A?B與平面BB?D?D所成的角.【練習3】如圖所示，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點，且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直線BD與平面ACD所成角的大小.【課后鞏固】完成課時作業(154)1.理解二面角的有關概念，會求簡單的二面角的大小.2.理解兩平面垂直的定義.3.掌握兩平面垂直的判定定理.【要點整合】知識點一二面角半平面叫做二面角的面圖示平面角文字線，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角圖示符號OACa,OBEβ,a∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l≥∠AOB是二面角的平面角范圍規定面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角1.定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面α與平面β垂直，記作αLβ.2.畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖所示.文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直圖形語言符號語言【典例講練】題型一二面角及其平面角的概念例1下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上A.相等B.互補題型二求二面角大小【練習2】四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且磨=AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數；(2)求二面角B-PA-D的平面角的度數；(3)求二面角B-PA-C的平面角的度數；(4)求二面角B-PC-D的平面角的度數.例3如圖，已知三棱錐S-ABC中，側棱SA=SB=SC,∠ABC=90°,求證：平面ABC⊥平面ASC.(2)若E為BC邊上的中點，能否在棱PC論.【課后鞏固】——完成課時作業(155)【學習目標】2.學會運用構造法解決空間幾何體的外接球和內切球問題.【要點整合】(1)正方體的外接球：設正方體邊長為a,則正方體的體對角線長等于外接球的直徑，所以球的半徑(2)正方體的內切球：設正方體邊長為a,則內切球半徑為設長方體棱長分別為a,b,c,則長方體的體對角線等于球的直徑，所以球的半徑設正三棱柱ABC-A?B?C?的高為h,底面邊長為a,如圖所示，根據幾何體的特點，球心必落在DD?的中點O,,AO=R,,借助直角三角形AOD的勾股定理，可求得：外接球半徑.其他正棱柱方法類似，使用構造直角三角形的方法.如圖4,設正四面體S-ABC的棱長為a,內切球半徑為r,外接球的半徑為R,則這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發現，球心O為正四面體高的四等分點，其中正四面體外接(1)三棱錐的外接球：圖4①觀察題中是否有某個特殊點是外接球的球心(比如某棱的中點為球心、正棱錐的外接球球心在高線上);③分別過兩面的外心作該面的垂線，兩垂線的交點必為球心.(2)正棱錐的內切球：例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑.這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.【典例講練】例1(1)若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_(2)求棱長為1的正四面體外接球的體積.(3)已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積是()A.16πB.20πC.24π例2(1)正四面體的棱長為a,則其內切球的半徑為·(3)一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐里又有一個內切球.求：圓錐的側面積和圓錐里內切球的體積.【練習1】(1)正方體的外接球與內切球的體積之比為,面積之比為(2)(2015·高考全國卷Ⅱ)已知A若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為()A.36πB.64πC.144π例4如圖，在三棱錐A-BCD中，BD⊥平面ADC,BD=1,AB=2,BC=3,AC=√11,則三棱錐A-BCD外接球的體積為()A.4πB.3πC.2√3πD.4√3π例5兩球O?和O?在棱長為2的正方體ABCD-A?B?CD?的內部，且互相外切，若球O?與過點A的正方A.3(2-√3)πB.4(2-√3)πC.6(2-√3)πD.12(2-√3)π【課后鞏固】—完成課時作業(156)【學習目標】2.會用求距離的常用方法.【要點整合】1.兩條異面直線的距離的求法：找公垂線段；轉化為點到面的距離3.平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離的求法：轉化為點到【典例講練】例1在三棱錐A-BCD中，AC⊥底面BCD,底面BCD是正三角形，AC=a,∠ABC=30°,則點C到平面ABD的距離是()【練習1】如圖，在四棱錐S-ABCD中，△ABS是正三角形，四邊形ABCD是菱形，AB=2,∠ABC=120°,點E是BS的中點.(1)求證：SD//平面ACE;(2)若平面ABS⊥平面ABCD,求點E到平面ASD的距離.【練習3】在三棱錐D-ABC中，AB=DC=4,BC=AD=3,AD⊥D異面直線AD和BC的距離為,CD=AD=3,,CD=AD=3,則平面AB?D?與平面BC?D間的距離為()A.√3【課后鞏固】_—完成課時作業(157)【學習目標】2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示4.能夠運用向量的坐標判斷兩個向量的平行或垂直.【要點整合】名稱0長度(模)為1的向量(1)共線向量定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數入，使b=λa;(2)共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在實數對(x,y),使p=xa+yb.僅有一組實數λ,2,23,使a=ae+Z?e?+Ze3;三個單位向量、j、k作為基底，則對于這個平面內任一向量a,有且僅有一對實數x,y,z,使得a=xi+yj+zk;我們稱(x,y,z)為向量a的(空間直角)坐標，記為a=(x,y,z);③若A、B兩點坐標為A(x,y?,Z),B(x?,.(1)加減法：a±b=(x?±x?,y(7)向量間的夾角：【典例講練】(2)設A(0,1,-1),0為坐標原點，則OA==(0,1,-1).(3)空間直角坐標系中，向量AB的坐標與終點B的坐標相同.(4)若a.b=0,則a=0或b=0.(5)若a2=b2,則a=b或a=-b.(6)向量AB與CD的夾角等于向量AB與DC的夾角.(7)對于非零向量方，由a.b=b.c,(8)對任意向量a,b,滿足(9)對于向量a,b,c,有則與B?M相等的向量是()①(AB+Bc)+CC;②(AA+AD,)+D?C;③(AB+BB,)+B題型二共線定理、共面定理的應用(2)求a與b的夾角的余弦值；(3)若ka+b與ka-2b互相垂直，求k的值；(2)已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,d=2,6=3,[=4,則a與萬的夾角為()A.30°【課后鞏固】完成課時作業(158)【學習目標】【要點整合】 (1)線線平行：//??E//K??R?=AK??(2)線線垂直：⊥?→F⊥E→·h?=qa?+b,b?+cc?=0;(3)線面平行：/la??F⊥n?瓦·n=am+bn+GP?=0;(4)線面垂直：L⊥a?→F//n→F=An→(5)面面平行：a?/la??n//n??7=An??【典例講練】(2)求證：平面AB?C⊥平面ABB?.P嗒N食ABP嗒N食AB(2)平面EFGH//平面ABCD.題型二探究性問題(1)當λ=1時，證明：直線BC?//平面EFPQ;【學習目標】【要點整合】設兩條異面直線不l?的方向向量分別為F=(q,2.直線和平面所成角(線面角)的計算：設直線l的方向向量為k=(a,b,c),【典例講練】題型一異面直線間的夾角PA=√2.(1)若M是PB的中點，求證：PD//平面ACM;(2)求異面直線AB與PD所成角的余弦值角的余弦值為()例2如圖，在正四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，點M在棱B(2)若M是BB?的中點，求直線D?M與平面ADM所成角的正弦值.例3如圖，多面體POABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,AB-2P4-2,∠ABC=60°,(1)設點F為棱CD的中點，求證：對任意的正數a,四邊形PQFA為平面四邊形；(2)設平面PAON平面PBC=l;若點M在線段PC上運動，且PM=λPC,例5如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC,SB=SC=AB=AC=√2,BC=2,若0為BC的中點.(2)求異面直線AB和SC所成角；(3