第七講·指對冪函數(shù)【知識導(dǎo)學(xué)】1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)(eq\r(n,a))n＝a.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)5．指數(shù)函數(shù)常見結(jié)論1．指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2．如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．6．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作lgN.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作lnN.7．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．8．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)9.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．10.對數(shù)函數(shù)常見結(jié)論1．logab·logba＝1，＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．3．對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).11.冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．12.常見的五種冪函數(shù)的圖象13.冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為偶函數(shù)．【題型聚焦】【題型一·指對冪運(yùn)算】【例題1】★（2025高三下·全國·專題練習(xí)）若，，則（

）A． B．1 C．3 D．4【例題2】★（2324高三下·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知，，則（

）A．9 B．3 C． D．【例題3】★（2025·云南·模擬預(yù)測）定義.若函數(shù)，則關(guān)于的方程的根為（

）A．1 B． C．2 D．11【例題4】★（多選）（2324高一上·安徽淮南·階段練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【例題5】★★（多選）（2223高一上·云南·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【例題6】★★（2425高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算計(jì)算．【例題7】★★（2425高三上·北京豐臺(tái)·期末）溶液酸堿度是通過pH計(jì)量的，pH的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度（單位：）.室溫下，溶液中氫離子和氫氧根離子的濃度之積為常數(shù)，即，其中表示溶液中氫氧根離子的濃度（單位：）.室溫下，某溶液的pH值為1，若加水稀釋后，該溶液的pH值變?yōu)?，則稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液中氫氧根離子的濃度的比值為（

）A． B．2 C． D．10【例題8】★★（多選）（2425高三上·黑龍江哈爾濱）已知，則（

）A． B．C． D．【例題9】★★★（2425高一上·湖北·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則.【例題10】★★★（2425高三上·天津和平·期末）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則．【題型二·指對冪函數(shù)圖像】【例題10】★（2425高一上·山西呂梁·期末）已知且，則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象可能是（

）A．B．C．D．【例題11】★★（2425高三上·湖南郴州）指數(shù)函數(shù)（，且）與（，且）的圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【例題12】★★（2425高一上·湖南岳陽·期末）若如右圖是函數(shù)（且，）的大致圖象，則函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．【例題13】★★（2425高三上·江蘇無錫）函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【例題14】★★（2425高一上·天津·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【例題15】★★（2425高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B． C． D．【題型三·指對冪函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用】【例題16】★（多選）（2025高三·全國·專題練習(xí)）以下關(guān)于冪函數(shù)圖像的說法，正確的有（

）A．的圖像一定過原點(diǎn) B．的圖像一定過點(diǎn)C．的圖像可能經(jīng)過第三象限 D．的圖像可能經(jīng)過第四象限【例題17】★★（2425高一上·遼寧大連·期末）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對稱【例題18】★★（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題19】★★★（2425高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．【例題20】★★★（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程在定義域內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例題21】★★★（2025高三下·湖南岳陽市第一中學(xué)·專題練習(xí)）已知在上是的減函數(shù)，則的取值范圍是．【例題22】★★★（2025高三下·全國·專題練習(xí)）已知，，則，的大小關(guān)系為．【例題23】★★★（2425高三下·廣東廣