4.1.1三角形中的高線、中線、角平分線一、單選題1．下列四個圖形中，線段是?ABC的高的是（

）A． B．C． D．2．下列說法中，正確的是（）A．三角形的高、中線是線段，角平分線是射線B．三角形的三條高中，至少有一條在三角形的內部C．鈍角三角形的三條角平分線在三角形的外部D．在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的直線叫作三角形的中線3．如圖，已知?ABC中，分別是三角形的高線，角平分線和中線，下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．4．如圖，?ABC的角平分線、中線相交于點O，①是的角平分線；②是的中線；③是的中線；④是的角平分線．以上結論正確的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②③5．大約在公元年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）某數學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2，?ABC為等邊三角形，、、圍成的也是等邊三角形．已知點、、分別是、、的中點，若?ABC的面積為，則的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題6．如圖，是?ABC的中線，已知的周長為，比長，則的周長為．7．在直角?ABC中，已知，，，，在?ABC的內部找一點P，使得P到?ABC的三邊距離相等，則這個距離是．8．如圖，都是?ABC的中線，連接的面積是，則?BDE的面積是．9．（1）在?ABC中，是的平分線，是邊上的中線．若，則；若，則．（2）在?ABC中，，是邊上的中線，?ABC的周長為，的周長為，則．10．如圖，對?ABC逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長、、至點、、，使得，，，順次連接、、，得到，，記其面積為；第二次操作，分別延長、、至點、、，使得，，順次連接、、，得到，記其面積為；…；按此規律繼續下去，可得到，若，則．（結果用含a的代數式表示）三、解答題11．如圖，是?ABC的中線，，的周長是18，求的長．12．在?ABC中，，．(1)若是偶數，求的長；(2)已知是?ABC的中線，若的周長為13，求的周長．13．如圖，在?ABC中，是邊上的中線，交于點，為的中點，連接．已知，?ABC的面積為24．(1)求的長．(2)若，求與的周長差．14．請僅用無刻度的直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)如圖1，在?ABC中，D，E分別為邊的中點，請作出邊的中點；(2)如圖2，在?ABC中，，是邊的中點，于點，請過點作邊的垂線．15.?ABC如圖所示，分別是?ABC的高，已知．(1)請畫出?ABC的高和；(2)求?ABC的面積；(3)若，求的長．16.數學課上，老師給大家展示了三幅圖，然后讓同學們任選一幅，自給條件，自設問題．有三名同學的作品如下：(1)小香：如圖1，已知?ABC的高，面積為，求的長度．(2)小涵：如圖2，已知D是中點，，，求．(3)小宇：如圖3，已知平分，，，求．17.等面積法是一種常用的、重要的數學解題方法．(1)如圖1，在中，，，，，，垂足為點，則的長是______________；(2)如圖2，在?ABC中，，，則?ABC的高與的比是____________；(3)如圖3，在?ABC中，，，點，分別在邊，上，且，，，垂足分別為點，．若，，求的值．18.在?ABC中，，為直線上任意一點，連結，于點，于點．為邊上的高；【畫圖探究】（1）如圖①，當點在邊上時，請畫出，猜想，，之間的數量關系并證明．【運用】（2）如圖②，當點為中點時，與的數量關系為___________【拓展】（3）如圖③，當點在的延長線上時，、、之間的數量關系為___________；答案一、單選題1．D【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查三角形高線的定義，熟記三角形高線的概念并靈活判斷是解題的關鍵；首先熟悉高線的概念：過三角形的頂點向對邊作垂線，頂點與垂足之間的線段就是三角形的高線，根據高線的概念，判斷選項中線段是否為的高，即可得到答案.【詳解】解：根據三角形高的定義可知，選項D中是的高，故選：D2．B【知識點】畫三角形的高、根據三角形中線求長度、三角形角平分線的定義【分析】本題考查與三角形有關的線段，解題的關鍵是理解三角形的高、中線、角平分線的定義，據此分析即可．【詳解】解：A．三角形的高、中線、角平分線都是線段，故此選項不符合題意；B．三角形的三條高中，至少有一條在三角形的內部，故引選項符合題意；C．鈍角三角形的三條角平分線都在三角形的內部，故此選項不符合題意；D．在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線，故此選項不符合題意．故選：B．3．C【知識點】三角形角平分線的定義、根據三角形中線求面積、畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的高線，角平分線及中線的定義，熟練掌握三角形的高線，角平分線及中線的定義所隱含的數量關系式解答本題的關鍵．根據三角形的高線，角平分線及中線的定義解答即可．【詳解】解：∵分別是三角形的高線，角平分線及中線，∴，，∴正確，C錯誤．故選：C．4．B【知識點】根據三角形中線求長度、三角形角平分線的定義【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形中線的定義，根據題意得，根據這兩個條件判斷所給選項是否正確即可．【詳解】解：∵?ABC的角平分線、中線相交于點O，，①在中，，∴是的角平分線，故①正確；②，所以不是的中線，故②錯誤；③在中，是的中線，故③正確；④不一定等于，那么不一定是的角平分線，故④錯誤；正確的有2個選項①③．故選：B．5．C二、填空題6．【知識點】根據三角形中線求長度【分析】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．根據三角形的中線的概念得到，再根據三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：是?ABC的中線，，的周長為，，，比長，，，，的周長，故答案為：．7．2【知識點】與三角形的高有關的計算問題【分析】本題考查的是三角形的面積計算，掌握三角形的面積公式是解題的關鍵．連接，作于D，于E，于F，根據三角形的面積公式得到，然后代數計算即可．【詳解】如圖所示，連接，作于D，于E，于F，由題意得，，∵，∴，即，解得，，∴這個距離是2．故答案為：2．8．4【知識點】根據三角形中線求面積【分析】本題考查了利用三角形的中線求三角形的面積．根據三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，可得，．【詳解】解：∵是?ABC的中線，?ABC的面積是，∴，∵是?ABC的中線，∴為的中線，即，故答案為：4．9．3【知識點】三角形角平分線的定義、根據三角形中線求長度【分析】本題考查了角平分線，中線等知識．熟練掌握角平分線，中線的定義是解題的關鍵．（1）根據角平分線，中線的定義求解作答即可；（2）由是邊上的中線，可得，由題意知，?ABC的周長為，的周長為，計算求解即可．【詳解】（1）解：∵是的平分線，，∴，∵是邊上的中線，，∴，故答案為：，3；（2）解：∵是邊上的中線，∴，由題意知，?ABC的周長為，的周長為，∴，，故答案為：．10．【知識點】用代數式表示數、圖形的規律、與三角形的高有關的計算問題【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是理解同高的兩個三角形的面積之比等于底邊之比．連接，，，找出延長各邊后得到的三角形與原三角形面積的倍數規律，然后利用規律求延長第次后的面積．【詳解】解：連接，，設，，∵?ABC中邊上的高，與中邊上的高相同，，中邊上的高，與中邊上的高相同，同理可得，，所以；同理得；，，，，∵，∴，解得．故答案為：．三、解答題11．解：∵是?ABC的中線，∴，∵的周長是，∴，∴，∴，∴．12．（1）解：由三角形的三邊關系可知：，即，是偶數，；（2）解：的周長為13，，，，∵BD是?ABC的中線，，，，的周長．13．（1）解：∵，?ABC的面積為24．交于點，∴，解得，∵是邊上的中線，∴（2）∵為的中點，∴∵的周長，的周長，∴與的周長差．14．（1）解：點即為所作；；（2）解：線段即為所作；．15.（1）解：依題意，即為所求作的高，如圖所示：；（2）解：∵，是?ABC的高，∴．（3）解：∵是?ABC的高，且∴，∴，∴．16.（1）解：∵，又∵，，∴，∴；（2）解：∵D是中點，∴，∵，∴，∵，，∴；（3）解：∵，，∴，∵平分，∴．17.（1）解：∵在中，，，∴，∵，，，∴；故答案為：；（2）解：