高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省邯鄲市2024-2025學年高一下學期3月聯考數學試卷一、單選題.1.若，則實數的值為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】因為，則，解得.故選：A.2.如圖，已知為平行四邊形內一點，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故選：A.3.已知的內角所對的邊分別是，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，且，則，所以.故選：D.4.已知非零向量，滿足，若，則在方向上的投影向量坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先，向量的坐標為(2，0)，其模長為2，因此，根據條件，即它們的數量積為零：，展開數量積：，即：，因此：，代入已知條件：，因此，在方向上的投影向量坐標為(2，0).故選：B.5.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則是直角三角形，其中，，故的面積為.故選：B．6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿足必要性，綜上“”是“”充分不必要條件.故選：A.7.已知與均為單位向量，其夾角為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為與均為單位向量，其夾角為，由，可得，所以，所以，所以，由，，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以的取值范圍是.故選：D.8.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容．用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則正十二面體的總曲率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】正十二面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正十二面體在各頂點的曲率為，由于正十二面體有20個頂點，故其總曲率為.故選：B.二、多選題.9.下列說法中正確的是（）A.各側棱都相等的棱錐為正棱錐B.長方體是直四棱柱C.用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面【答案】BD【解析】對于A，各側棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，所以A錯誤；對于B，易知長方體的側棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；對于C，根據圓臺的定義，用一個平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺，故C錯誤；對于D，球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面，故D正確．故選：BD.10.已知為復數，則下列結論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】A選項，因為，所以，故A正確；B選項，設，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項，當時，有成立，但此時為實數，故C錯誤；D選項，設，，由于，則，即，故，由，得，則，故當時，的最小值為1，故D正確．故選：ABD.11.已知中，所對的邊分別為，且滿足，則下列說法正確的是（）A.為等腰三角形 B.C.的面積是 D.的周長是【答案】AC【解析】由正弦定理，知，又，則，將代入，得，，又，當且僅當時，等號成立．因為為三角形的內角，所以，可得，故A正確，B錯誤．又由正弦定理知，則三角形的面積，周長為，故C正確，D錯誤．故選：AC.三、填空題.12.若是關于的實系數方程的一個復數根，則__________.【答案】【解析】因為是關于的實系數方程的一個復數根，所以是關于的實系數方程的另一個復數根，因此.13.在中，若，，三角形的面積，則外接圓的直徑為__________．【答案】【解析】根據題意可得，解得；則，即；所以外接圓的直徑為.14.在邊長為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點，如圖所示．點P為弧上任意一點，向量最大值為______．【答案】【解析】過作交于點，根據投影向量的概念可得，設，所以，當與半圓相切時，取得最大值，此時最大，過作交于點，連接，當取得最大值時，且，因為，正方形邊長為4，則，，所以，所以，則，所以，得，所以的最大值為.所以最大值為.四、解答題.15.（1）在中，已知，，．求．（2）在中，已知，，．求．（3）銳角中，角所對應的邊分別為，，，，求.解：（1）在中，由余弦定理，可得，所以.（2）在中，由正弦定理得，因此.（3）在中，由正弦定理得，即，解得，又為銳角三角形，所以，所以.16.已知是平面內兩個不共線的非零向量，，，，且三點共線．（1）求實數的值；（2）若，，求的坐標；（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點的坐標．解：（1）因為，，所以，因為三點共線，所以存在實數使得，即，又因為是平面內兩個不共線的非零向量，所以，解得.（2）由（1）可知，，所以，若，，則.（3）由四點按逆時針順序構成平行四邊形可得，設，則，由（2）得，所以，解得，所以.17.在中，內角的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．解：（1）因為，所以，所以，，因為，所以．（2）由正弦定理得，所以，所以，因為，所以，因為這樣的有兩解，即關于的三角方程在時有兩解，所以，所以．18.在中，角所對的邊分別為.（1）若，求的面積S；解：（1）由，得.由正弦定理得.所以，因為，所以.在中，，由余弦定理，得，解得.所以.即的面積S為.（2）因為為角C平分線，，所以.在中，，所以，由，得，所以.因為，所以由基本不等式，得，所以，當且僅當時取等號.所以的最小值為.19.三角形在數學中是十分常用的圖形，將向量運用在三角形中同時會迸發出火花!（1）如圖1，在中，，點是上一點，且滿足：，以點為