高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省承德市NT20名校聯合體2025屆高三下學期第一次調研考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∵，，∴.故選：B.2.復數z滿足，則在復平面內復數z對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意知，則在復平面內復數z對應點為，該點位于第一象限.故選：A.3.設等差數列的前n項和為，若，則（）A.33 B.44 C.55 D.66【答案】C【解析】由等差數列前n項和公式可知.故選：C.4.若展開式的二項式系數之和為，則展開式中含項的系數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵展開式的二項式系數之和為，∴，故，∴展開式的第項為，由得，∴，即含項的系數為.故選：B.5.已知向量，，滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，即，∴，故，∴向量在向量上的投影向量為.故選：C.6.已知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，母線與底面所成的角為，則圓臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知圓臺的高為.設球心到上底面圓心的距離為h，則，解得.則，所以圓臺的外接球的表面積為.故選：D.7.已知函數的最小正周期為，則以下說法正確的是（）A.的值域為B.在上單調遞增C.在上有兩個極大值點D.是的一個對稱中心【答案】C【解析】因為的最小正周期為，則，所以，作出的圖象如圖所示.由圖可知的值域為，故A錯誤；在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；在上有兩個極大值點，分別是，，故C正確；函數沒有對稱中心，故D錯誤.故選：C.8.定義在上的函數滿足，且，則（）A.有極大值無極小值 B.有極小值無極大值C.既有極大值又有極小值 D.既無極大值又無極小值【答案】D【解析】由知，設函數，則.則，c為常數.所以.又，則，..設，，當時，，當時，，則在單調遞減，在單調遞增，所以的最小值為，即.所以在上單調遞增，既無極大值又無極小值.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.在一個不透明的袋子里裝有編號為1，2，3的3個白球和編號為4，5的2個紅球.這五個小球除顏色外完全相同.現從中不放回地抽取2次，每次抽取一個小球，則下列說法正確的是（）A.第二次抽到紅球的概率為B.在抽取過程中，至少有一次抽到紅球的概率為C.若已知第二次抽到的是紅球，則第一次也抽到紅球的概率為D.設抽到紅球的個數為X，則【答案】AD【解析】第二次抽到紅球的概率為，故A正確；至少有一次抽到紅球的概率為，故B錯誤；已知第二次抽到的是紅球，則第一次也抽到紅球的概率為，故C錯誤；X可能取值為0，1，2，，，故，故D正確.故選：AD.10.已知圓，點是圓C上的任意一點，則以下說法正確的是（）A.的取值范圍是 B.的最大值為3C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AD【解析】由題可知圓的圓心為，半徑為1.設，則，又點是圓C上的任意一點，所以，解得，所以的最大值為，最小值為，故A正確；設，，則，，當時，取最大值，故B錯誤；表示點P到點的距離，因為圓心到點的距離為，故最大值為，最小值為，故C錯誤；，表示點P到直線距離的倍.因為圓心到直線的距離為，故點P到直線距離的最小值為，故的最小值為，故D正確.故選：AD.11.已知平行六面體中，各棱長均為，，則以下說法正確的是（）A.B.異面直線和所成角的余弦值為C.四棱錐的體積為D.與三棱錐各棱均相切的球的體積為【答案】BCD【解析】由空間向量數量積的定義可得，同理可得，因為，所以，所以，故A錯誤；因為，則，，所以，所以，異面直線和所成角的余弦值為，故B正確；四棱錐的體積為平行六面體體積的，平行六面體的高即為正四面體的高，如下圖所示：設點在平面的射影為點，則為正的中心，由正弦定理可得，，菱形的面積為，所以平行六面體的體積為，所以四棱錐的體積為，故C正確；三棱錐為正四面體，棱長為6，設正四面體的棱切球球心為，且也為其外接球球心，則，則，即，解得，取線段的中點，連接，則，且，所以，正四面體的棱切球的半徑為，故球的體積為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量Ⅹ服從正態分布，且，則______.【答案】【解析】設，由正態分布密度曲線的對稱性可知，，.所以，解得.即.故答案為：.13.中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，且，那么邊______.【答案】【解析】由正弦定理可知，又，那么，解得，由余弦定理，解得或.當時，，所以，那么，，，所以為等腰直角三角形，不滿足題意.故答案為:.14.雙曲線的左、右焦點分別為，，直線軸且與雙曲線C在第一象限交于點P.設內切圓半徑為r，若，則雙曲線C的離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】設內切圓E與分別相切于點M，N，Q，則，且，，，所以，因為直線的傾斜角為，所以，所以因為，由雙曲線的定義可知，，所以，即，所以，，所以，那么，即.兩邊同時除以，則，解得或，又，則e的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.中角所對的邊分別為，，.（1）若，求的面積；（2）求的最大值.解：（1）當時，，∵，∴，，由正弦定理得，，即，故，∴.（2）∵，∴，故，∴，∵，∴，∵，∴或，∴或（舍），∴，∵，∴，故，∴當時，有最大值，最大值為.16已知函數，.（1）若，求函數在點處的切線方程；（2）若函數有最大值，且最大值為，求a的值.解：（1），，若，則，那么切線的斜率，又，所以切線方程為，即；（2），.①若，恒成立，所以在單調遞增.②若，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，取得最大值，則，即，令則，令，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，即恒成立，則在上單調遞增，又，所以要使，那么.17.中小學教師資格考試每半年考一次，2025年上半年的考試于3月8日進行.考試分為筆試和面試兩項，只有筆試成績合格時，才可繼續參加面試，筆試成績兩年有效，兩項成績均合格方可獲得證書.李華同學報名參加今年上半年的考試，若他不放棄每次考試，直到能拿到教師資格證為止.根據以往模擬情況，李華筆試成績每次合格的概率均為，面試成績每次合格的概率均為，假設各次考試成績合格與否均互不影響.（1）求他今年能取得教師資格證書的概率；（2）某培訓機構今年共有100人參加培訓，若以李華今年取得教師資格證的概率作為每個學員今年成功取得證書的概率.設今年該培訓機構能成功取得教師資格證的人數為k的概率為，求取最大值時k的值.解：（1）設“筆試第次考試合格”為事件，“面試第次考試合格”為事件，，則今年能拿到證書的事件為，，，所以他今年能取得教師資格證書的概率為.（2）依題意，今年取得教師資格證的人數，則，，由，解得，當時，，當時，，所以取最大值時18.在四棱錐中，平面，底面是菱形，且，E，F分別為，的中點.（1）若平面與平面的交線為l，證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）若平面與線段交于點M，求的長.（1）證明：如圖所示，連接，因為E，F分別是，的中點，所以，平面，平面，那么平面，又平面，平面平面，所以；（2）解：因為底面為菱形，，設中點為G，易知，，兩兩互相垂直，故以點A為坐標原點，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意，所以，，，，，，顯然平面的法向量可以是，而，，設平面的法向量為，則，令，解得，，所以可取，故所以平面與平面所成角的余弦值為；（3）解：設，則C，E，M，F四點共面.，由（2）知平面的法向量為，則，即，解得，所以.19.在平面直角坐標系中，對于任意一點，總存在一個點滿足關系式，則稱為平面直角坐標系中的伸縮變換.（1）若曲線的方程為.（i）求經過伸縮變換后所得到曲線的標準方程；（ii）設曲線的左、右頂點分別為A，B，過點的直線與曲線交于M，N兩點，直線與交于點T，證明：點T在一條定直線上；（2）已知，拋物線經過伸縮變換，得到拋物線，設，，.求數列的前n項和.解：（