高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省部分示范校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.?C.? D.【答案】B【解析】等價(jià)于且，故解不等式得，所以，，所以可得：?，.故ACD錯(cuò)，B對(duì).故選：B.2.若復(fù)數(shù)是方程的兩個(gè)不同的根，則（）A. B. C. D.9【答案】A【解析】設(shè).則，因?yàn)?，所以解得或不妨設(shè)，則.故選：A.3.某校高三學(xué)生的?？紨?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，按照，，，的比例將考試成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個(gè)等級(jí).若小張的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉?，則他的等級(jí)是（）附：，，.A.優(yōu)秀 B.良好 C.合格 D.基本合格【答案】B【解析】由題得，，所以，，，，因，，所以，根據(jù)比例成績大于分為優(yōu)秀，因?yàn)?，根?jù)比例成績?cè)诘街g的為良好，，根據(jù)比例成績?cè)诘街g的為合格，，根據(jù)比例成績小于分為基本合格，因?yàn)樾埖臄?shù)學(xué)成績?yōu)榉?，則他的等級(jí)是良好.故選：B.4.已知，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】D【解析】因?yàn)?，所?所以所以，因?yàn)?則，所以，所以.所以3.故選：D5.若函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槎x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，由于，可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以即，即，則，該不等式組無解，所以解集為.故選：D.6.已知正方體的棱長為2，平面截正方體所得的圖形為六邊形，設(shè)該六邊形的周長為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接,由于平面，平面，故，又平面，故平面，又平面，故，,則，同理可得,平面，故平面，由于平面，故平面平面，平面與平面的交線為,平面與平面的交線為，故，同理可得故平面如圖陰影部分，，同理可得,故六邊形周長為定值，所以B正確.故選：B7.在正項(xiàng)無窮數(shù)列中，若，則是，，成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以充分性成立；因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，所?因?yàn)椋?，即，所以必要性成?故選:C.8.已知拋物線，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得切線斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的的切線方程為，即，與聯(lián)立，消去得，故，即，設(shè)，為的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，，設(shè)直線，的斜率分別為，，，，因?yàn)椋裕瑒t，故，，則，，得到，，，由兩點(diǎn)間距離公式得，，，，，故B正確.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則（）A.若，則B.若，則C.若取得最大值，則D.若，則在上的投影向量為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，則，則，解得，所以A正確；對(duì)于B，若，則，所以，解得，所以B正確；對(duì)于C，，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以在上的投影向量為，所以D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，的零點(diǎn)之間距離的最小值為，則（）A.B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.的解集為【答案】BC【解析】由已知得，的最小正周期為，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以B正確；令，得.所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以C正確；因，由，可得，即，所以，或，而當(dāng)時(shí)，，故只需，由可得，解得，因?yàn)椋剩虼?，的解集為，D錯(cuò).故選：BC.11.我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）．在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)定點(diǎn)，，，是平面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)滿足的的軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，滿足的的軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，則（）A.關(guān)于軸、軸對(duì)稱 B.當(dāng)不在軸上時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，縱坐標(biāo)的最大值大于 D.當(dāng)，有公共點(diǎn)時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)，由，得，將代入得到，將將代入得到，所以關(guān)于軸、軸均對(duì)稱，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)不在軸上時(shí)，與不共線，可以作為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得：，解得：，此時(shí)，即，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由，得為橢圓，且，其方程為，所以，代入，得，所以，因?yàn)?，所以，解得：或舍去，D正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某市在2025高考模擬測試評(píng)卷中，實(shí)行雙評(píng)加抽樣三評(píng)的評(píng)卷方法.已知收到有效的數(shù)學(xué)答卷為5萬份，有效的物理答卷為3萬份，有效的化學(xué)答卷為2.5萬份.若雙評(píng)后利用分層抽樣的方法抽取210份樣卷進(jìn)行三評(píng)，則應(yīng)抽取數(shù)學(xué)樣卷的份數(shù)為______.【答案】100【解析】由題意，應(yīng)抽取數(shù)學(xué)樣卷的份數(shù)為.故答案為：10013.若雙曲線虛軸的上、下端點(diǎn)分別位于圓的外部與內(nèi)部，其中為的半焦距，則離心率的一個(gè)取值可以為__________.【答案】2（答案不唯一?滿足即可）【解析】由題得虛軸的端點(diǎn)分別為，，因?yàn)樘撦S的上，下端點(diǎn)分別位于圓的外部與內(nèi)部，所以0解得，即，即，則，故的取值范圍為，則可取.故答案為：（答案不唯一?滿足即可）14.已知半徑為1的球內(nèi)切于上、下底面半徑分別為，的圓臺(tái)，若，則圓臺(tái)表面積的最小值為__________.【答案】【解析】作出圓臺(tái)與內(nèi)切球的軸截面如圖，過作于點(diǎn)，易得，，，則，則，同理得，則在中，，解得，因?yàn)椋?，所以圓臺(tái)的表面積，設(shè)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求；（2）若，求的取值范圍.注：.解：（1）因?yàn)椋?，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?所以，所以，即，即的取值范圍為.16.如圖，在多面體中，為正三角形，平面，平面，平面，，，分別為與的重心.（1）求證：，且平面平面；（2）若，，直線與平面所成的角為，求到平面的距離.證明：（1）延長交于，延長交于，連接，由，分別為與的重心，得，分別為對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)，則，由平面，平面，平面，得，則，點(diǎn)四點(diǎn)共面，由，，得，則；由平面，平面，得，而為正三角形，即，又平面，因此平面，而平面，則平面平面，所以平面平面.（2）解：由，平面，得平面，而平面，則，，而，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，過作于，則，由平面，平面，得平面平面，直線是在平面內(nèi)的射影，因此為直線與平面所成的角，，，而，則，，又，則，連接，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以到平面的距離為.17.在直角坐標(biāo)系中，已知為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，的斜率之積為.（1）求的軌跡的方程；（2）若，經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，求證：.（1）解：設(shè)，因?yàn)椋本€的斜率之積為.所以，化簡得，即的方程為.（2）證明：由題知直線的斜率不為零，設(shè)的方程為，聯(lián)立與，得，顯然判別式，設(shè)，所以，設(shè)直線的斜率分別為，所以，即，即，所以.18.已知函數(shù).（1）證明：，；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（1）證明：欲證，，即證，，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，成立.（2）解：令，所以，①當(dāng)時(shí)，，，所以，即在時(shí)無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即在時(shí)無零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，因此可得時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即時(shí)，，，單調(diào)遞減；時(shí)，，，單調(diào)遞增，又，，所以在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即成立，所以在上無零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn).19.將數(shù)列中的各項(xiàng)隨機(jī)排列后構(gòu)成一個(gè)數(shù)列為，則稱是的一個(gè)“隨機(jī)數(shù)列”；若中的各項(xiàng)均滿足，則稱是的“完全隨機(jī)數(shù)列”，記的“完全隨機(jī)數(shù)列”的個(gè)數(shù)為.（1）直接用表示的最小值和最大值；（不需要寫出過程）（2）分別計(jì)算，并證明：是公比為的等比數(shù)列；（3）若從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列，記此數(shù)列是的“完全隨機(jī)數(shù)列”的概率為，證明：.解：（1）最小值為，最大值為.（2）顯然；當(dāng)時(shí)，為數(shù)列1，2，則其完全隨機(jī)數(shù)列必為2，1，故；當(dāng)時(shí)，為數(shù)列，則完全隨機(jī)數(shù)列可以為或，故；當(dāng)時(shí)，為數(shù)列，為得到數(shù)列的完全隨機(jī)數(shù)列，可先排1，有3種排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3種排法，剩下的兩個(gè)數(shù)字只有1種排法，由乘法原理可得.當(dāng)數(shù)列有項(xiàng)時(shí)，其“完全隨機(jī)數(shù)列