高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省保定市博野縣2025屆高三下學期3月質量檢測數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2.在復平面內，復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，在復平面內，復數對應的點與復數對應的點關于實軸對稱，所以.故選：B.3.已知向量，，，若，則實數（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由，，，得，，又，所以，解得.故選：A.4.已知焦點在x軸上的雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則（）A.1 B. C. D.1或【答案】A【解析】因為雙曲線的焦點在x軸上，所以，即.又雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以，即，解得或（舍）.故選：A.5.已知一種物質的某種能量N與時間t的關系為，其中m是正常數，若經過時間，該物質的能量由減少到，則再經過時間，該物質的能量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設的能量為，則，又經過時間，該物質的能量由減少到，所以，所以，則再經過時間時，該物質的能量為.故選：C.6.已知函數，若方程在上恰有6個實數解，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，令，得，當時，，令，要想在上恰有6個實數解，則，解得，即m的取值范圍是.故選：D.7.將編號為4個小球隨機放入編號為的4個凹槽中，每個凹槽放一個小球，則至少有1個凹槽與其放入的小球編號相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將編號為的4個小球隨機放入編號為的4個凹槽中，共有種放法，4個凹槽與其放入小球編號互不相同的有種放法，所以至少有1個凹槽與其放入小球編號相同的概率是.故選：C.8.如圖，已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線與E交于點M，N兩點，垂直平分，若，則的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為垂直平分，所以，，且平分，所以，所以.由橢圓的定義知，在中，，所以，解得.由橢圓的定義得，在中，由余弦定理得，即，化簡得，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某農業研究所為了解種植新品種玉米的畝產量情況，從某地區隨機抽查100畝種植新品種玉米的畝產量（單位：kg），整理出如下統計表：畝產量頻數102020155已知這100畝的畝產量均在內，根據表中數據，下列結論正確的是（）A.這100畝種植新品種玉米的畝產量的極差介于400kg至600kg之間B.這100畝種植新品種玉米的畝產量的中位數大于1100kgC.估計該地區種植新品種玉米的畝產量不低于1000kg的占比為D.估計該地區種植新品種玉米的畝產量的平均值介于1150kg至1200kg之間【答案】AC【解析】由表中數據可知，這100畝種植新品種玉米的畝產量的極差小于等于，大于，故A正確；由表可知，，所以畝產量的中位數小于1100kg，故B錯誤；估計該地區種植新品種玉米畝的產量不低于1000kg的占比為，故C正確；根據表中數據，畝產量在的有，估計該地區種植新品種玉米的畝產量的平均數，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數，則（）A.當時，有兩個極值點 B.，使得為單調函數C.當時， D.，的圖象恒有對稱中心【答案】ABD【解析】函數的定義域為R，求導得，對于A，當時，，方程有兩個不等實根，有兩個極值點，A正確；對于B，當時，，函數為增函數，B正確；對于C，當時，令，解得或，函數在上單調遞增，又，因此，C錯誤；對于D，，因此的圖象恒關于點對稱，D正確.故選：ABD11.在正四棱臺中，，則下列說法正確的是（）A.若正四棱臺內部存在一個與棱臺各面均相切的球，則該棱臺的側棱長為B.若正四棱臺的各頂點均在一個半徑為的球面上，則該棱臺的體積為C.若正四棱臺的側棱長為，Q為的中點，過直線且與直線平行的平面將棱臺分割成體積不等的兩部分，則其中較小的部分的體積為12D.若，點P在四邊形ABCD內，，則動點P的軌跡長度為【答案】AC【解析】對于A，如圖（1），設H，G，I，K分別為棱，，AD，BC的中點，則，，當正四棱臺內部存在內切球時，球的大圓O為等腰梯形HGIK的內切圓，根據切線長定理，可知即正四棱臺側面的高，則側棱長為，A正確；對于B，當正四棱臺的外接球半徑為時，其上,下底面均為球的截面圓對應的內接正方形，截面圓的半徑分別為，，因為，，故截面圓均為外接球的小圓，設O為外接球球心，，為截面圓的圓心，則為正四棱臺的高，如圖（2），此時截面圓,在球心同側，如圖（3），此時截面圓,在球心兩側，因此符合要求的是2個體積不同的棱臺，故B錯誤；對于C，當側棱長為時，正四棱臺的高為，根據條件可作出符合題意的截面，如圖（4）所示，截面下方的多面體體積，根據截面性質，可以得出S，T，Z分別為棱AB,AD,的中點，且，故，同理可得，所以，因正四棱臺體積為，故截面上方多面體的體積為12，故其中較小部分的體積為12，C正確；對于D，過作平面ABCD，垂足為M，由題知，若，則，由勾股定理得，故點P的軌跡為以M為圓心，以為半徑的圓在正方形ABCD內部部分，如圖（5），其中，故，又，由勾股定理得，由于，所以，故，故動點P的軌跡長度是，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若展開式中的常數項為，則實數______.【答案】1【解析】由二項式展開式的通項為，令，可得，代入通項公式可得，解得.故答案為：1.13.已知，，則________.【答案】【解析】由，得，，則.故答案為：14.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則面積的最大值為________.【答案】【解析】由余弦定理知，所以，即，因為，當且僅當時等號成立，所以，即，所以.設的面積為S，所以，令，可得，當且僅當時，上式等號成立，即有，解得或（舍去），則，所以，故面積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知各項均為正數的等比數列滿足，，數列為等差數列，滿足，.（1）求數列與的通項公式；（2）若數列和中相同的項由小到大排列組成新數列，求數列的前n項和.解：（1）設各項均為正數的等比數列的公比為，由，得，解得或（舍去），所以.設等差數列的公差為，由，得，解得，則，所以，所以與的通項公式分別為，.（2）設數列的第m項與數列的第k項相同，即，m，，則.要使成立，只需m為偶數，因此數列和中相同的項從小到大依次為，，，，，即是首項為9，公比為的等比數列，所以，.16.某體育研究所為了解居民對2024年巴黎奧運會的關注程度，現隨機抽取了200名居民，統計了他們觀看奧運會的累計時長（單位：小時）如下表：累計時長男性居民515302015105女性居民103025151073合計1545553525178（1）將觀看奧運會的累計時長為20小時及20小時以上的稱為“較為關注奧運賽事”，其余的稱為“不太關注奧運賽事”，請完成下面的列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別與關注賽事程度有關聯；性別關注賽事程度合計不太關注奧運賽事較為關注奧運賽事男性居民女性居民合計（2）將觀看奧運會的累計時長為60小時及60小時以上的稱為“奧運迷”，為進一步了解他們的體育愛好，從樣本中的8名“奧運迷”中，隨機抽取4人進行調研，記抽出的4人中女性居民的人數為X，求X的分布列和數學期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828解：（1）列聯表為性別關注賽事程度合計不太關注奧運賽事較為關注奧運賽事男性居民2080100女性居民4060100合計60140200零假設為：性別與關注賽事程度無關聯，，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷成立，故不能認為性別與關注賽事程度有關聯.（2）X的取值可能為0，1，2，3，則，，，，所以X的分布列為X0123.17.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD，，點E是棱PC的中點，點F是棱PB上的一點，且.（1）求證：；（2）若平面DEF與平面ABCD的夾角的余弦值為，求點A到平面DBE的距離.（1）證明：證明：因為平面ABCD，平面ABCD，所以.又四邊形ABCD為矩形，所以.又，PD，平面PCD，所以平面PCD.又平面PCD，所以.∵，點E是PC的中點，所以.又，PC，平面PBC，所以平面PBC.又平面PBC，所以.又，，DE，平面DEF，所以平面DEF，又平面DEF，所以.（2）解：以D為坐標原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.設，則，，，，.∵點E是棱PC的中點，所以.由平面ABCD，所以是平面ABCD的一個法向量；由（1）知，平面DEF，所以是平面DEF的一個法向量.因為平面DEF與平面ABCD的夾角的余弦值為，所以，解得或（舍）.設平面BDE的一個法向量，又，，所以，即，令，解得，，所以平面BDE的一個法向量.又，所以點到平面DBE的距離.18.已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若函數的圖象在點處的切線方程為.（i）求最小值；（ii）若關于x的方程有兩個根，，證明：.解：（1）因為，則，若，則當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；若，則當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.（2）（i）函數的定義域為，則，則，因為函數的圖象在的切線方程為，所以，則，所以，因為，所以，令，則，令，則，，所以，使，即，則，又，所以在上單調遞增，當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故的最小值為.（ii）由題意可知，，即方程有兩個根，，令，，則，所以，設，由（1）知，在上單調遞增，又，所以，則，由，得，，所以，要證，需證，即證，令，則，令，則，所以在上單調遞增，則，即，則在上單調遞減，所以，因此成立，故，得證.19.已知拋物線，按照如下方式依次構造點：過點作斜率為k（k為常數）的直線與拋物線C相交于，兩點（在x軸的上方）；過點作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點（在x軸的上方），直線和相交于點；過點作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點（在x軸的上方），直線和相交于點；…；過點作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點（在x軸的上方），直線和相交于點；過點作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點（在軸的上方），直線和相交于點.（1）若，求；（2）證明：點，，，…，在一條直線上；（3）記線段的中點為，線段的中點為，線段的中點為，…，線段的中點為，求（用k，n表示）.（1）解：由題知，直線的方程為，聯立消去y，得，則由拋物線定義知.（2）證明：設，且