高級中學名校試題PAGEPAGE1貴州省六盤水市2023-2024學年高二下學期期末數學試題注意事項：1．答題前，務必在答題卡上填寫姓名和準考證號等相關信息并貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試題卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B2.若復數，則（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】，則，故選：B3.記等差數列的前項和為，若，則（）A.13 B.45 C.65 D.130【答案】C【解析】，故選：C.4.甲、乙兩位學生的5次化學考試成績如下表：學生第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908999乙8990918892下列結論正確的是（）A.甲的極差小于乙的極差 B.乙的平均數大于甲的平均數C.乙的成績比甲的成績更穩定 D.甲的中位數小于乙的中位數【答案】C【解析】對于A項，甲的極差為：，乙的極差為：，則A項錯誤；對于B項，甲的平均數為：，乙的平均數為：，則B項錯誤；對于C項，根據極差，易知乙的成績比甲的成績更穩定，故C項正確；對于D項，甲的成績從小到大排成一列為：，其中位數為：，乙的成績從小到大排成一列為：，其中位數為：，故D項錯誤，故選：C5.已知為銳角，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為銳角，，所以，聯立，解得，因為，所以，所以.故選：A6.關于的方程對應的曲線不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當時，方程為：，對應的圖象為選項A，當時，方程為：，對應的圖象為選項B，當時，方程為：，得，對應的圖象為選項C，選項D圖形是四條線段，沒有方程與之對應，故選：D7.已知線段的長度為4，動點與點的距離是它與點的距離的倍，則面積的最大值為（）A. B.8 C. D.【答案】A【解析】以的中點為坐標原點，所在直線為軸建立直角坐標系，設，且，由，得，化簡得的軌跡方程為圓，半徑，如下圖，有．故選：A8.如圖，從一個半徑為的圓形紙板中剪出一塊最大的正三角形紙板，并將此正三角形紙板折疊成一個正四面體，則該正四面體外接球的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圓內最大正三角形即圓內接正三角形.設該圓內接正三角形的半徑為，邊長為，則，解得，如圖，設折疊后正四面體的棱長為，高為，則，過點作平面，為底面正三角形的中心，連接，則在中，由正弦定理得，則，所以高，設正四面體外接球球心，于是外接球的半徑，在中，，則，所以，解得，則其外接球的表面積為．故選：B.二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則（）A.函數的圖象關于點對稱B.函數的最小正周期為C.函數在區間上有且僅有一個零點D.將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象【答案】AD【解析】對于A，因為，所以的圖象關于點對稱，A正確；對于B，因為，所以是函數的周期，B錯誤；對于C，因為，所以在區間至少有兩個零點，C錯誤；對于D，將函數的圖象向左平移個單位長度后得，即，D正確.故選：AD10.已知函數，則（）A.與互為反函數B.若是函數的極值點，則C.若，則D.點在曲線上，點在曲線上，則【答案】ACD【解析】對于A，由對數定義可知，所以與互為反函數，A正確；對于B，，則，若是函數的極值點，則必有，即，兩邊取對數得，B錯誤；對于C，作出的圖象如圖：因為與的圖象關于直線對稱，直線與直線垂直，所以直線與和的交點關于直線與的交點對稱，聯立求解可得，所以，C正確；對于D，由上圖和對稱性可知，的最小值等于點到直線的最小距離的2倍，當過點的切線平行于直線時，點到直線的距離最小，令解得，所以此時點坐標為，所以的最小值為，所以，D正確.故選：ACD11.圓錐曲線具有豐富的光學性質．雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點處發出的光線，經過雙曲線在點處反射后，反射光線所在直線經過另一個焦點，且雙曲線在點處的切線平分．如圖，對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線過點，其左、右焦點分別為．若從發出的光線經雙曲線右支上一點反射的光線為，點處的切線交軸于點，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的方程為B.過點且垂直于的直線平分C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，因為雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線方程為，所以，解得，得到雙曲線的方程為，正確，對于B，如圖，由題知，，所以，若，所以，正確，對于C，記，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，錯誤，對于D，因為，，由，得，又，得到，得到，從而有，得到，由，得到，從而有，解得，正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，若，則______．【答案】-2【解析】因為，所以，得，解得，故答案為：-213.現有3名男同學和2名女同學，從中抽取3名同學去兩個不同的地方參加志愿者服務活動，且每個地方至少要有1名男同學，則不同的分配方式共有______種．【答案】30【解析】抽取3名同學可以分為兩類：當抽取2名男生，1名女生時，分配方法數為：，當抽取3名男生時，分配方法數為：，則總的方法數為：，故答案為：3014.已知函數的定義域為，且．若，則______．【答案】2024【解析】幾何法：由得的圖象關于直線對稱；由，得的圖象關于點對稱；再根據可作出的一個符合要求的函數圖象如下，從而．代數法：由得；結合得；于是，從而；于是，所以函數是周期為4的周期函數．由，得，所以；由，得，所以；由，得，從而；從而，所以．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內角所對的邊分別為，已知，且．（1）求的值；（2）若點滿足，求的長度．解：（1）由，得，從而，將代入得．（2）方法1：，將代入得，解得．因為，所以，由余弦定理得．方法2：將代入得，解得．因為，所以，兩邊平方得，所以．16.某兒童醫院用甲、乙兩種療法治療小兒脾胃虛弱．采用有放回的簡單隨機抽樣方法對治療情況進行檢查，得到如下數據：抽到接受甲種療法的患兒55名，其中未治愈10名；抽到接受乙種療法的患兒45名，其中治愈30名．（1）請補全如下列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好；療法療效合計未治愈治愈甲乙合計（2）從接受乙種療法的患兒中，按照療效采用比例分配的分層隨機抽樣法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人，求這3人中未治愈人數的分布列及期望；附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）列聯表如下：療法療效合計未治愈治愈甲104555乙153045合計2575100零假設為：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異．根據列聯表中的數據，經計算得到根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為兩種療法效果沒有差異．（2）抽樣比為，未治愈人數為2人，治愈人數為4人隨機變量的所有可能取值為．所以隨機變量的分布列為012從而，所以隨機變量的期望為1．17.已知長方體中，．（1）在長方體中，過點作與平面平行的平面，并說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，所作平面為平面．理由如下：因為為平行四邊形，所以，而平面平面，得平面，同理得平面，而平面，所以平面平面．（2）方法1：以點坐標原點建系如圖，則，．，設平面的法向量為，則，即令，則，所以，設與平面所成的角為，則．方法2：設點到平面的距離為，依題，因為，所以，從而，解得，設與平面所成的角為，則．18.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）在數列中，是曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標．證明：數列是等比數列，并求數列的前項和．解：（1）因為，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為．（2），曲線在點處的切線方程為，令得，于是（為常數），所以是首項為1，公比為的等比數列．由得，于是，所以．19.定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”．如圖，為橢圓的“共軛點對”，已知，且點在直線上，直線過原點．（1）求直線的方程；（2）已知是橢圓上的兩點，為坐標原點，且．（i）求證：線段被直線平分；（ii）若點在第二象限，直線與相交于點，點為的中點，求面積的最大值．解：（1）由已知，點在直線