高級中學名校試題PAGEPAGE1廣西壯族自治區柳州市2025屆高三三模數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，且，所以，所以實數的取值范圍是，故選:D.2.在復平面內，復數對應的向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由復數對應的向量，則，所以.故選：A3.在等差數列中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設等差數列的公差為，因為，所以，所以，故選:A.4.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，則故選：C.5.在展開式中，的系數為（）A.15 B.90 C.270 D.405【答案】B【解析】在展開式中，的項為，所以所求的系數為90.故選：B6.有男?女教師各1人，男?女學生各2人，從中選派3人參加一項活動，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教師，則不同的選派方案有（）A.10種 B.12種 C.15種 D.20種【答案】C【解析】從6人中任選3人，有種選法，其中，若全選男生或全選學生，有種選法，所以符合題意的選法為種.故選：C7.已知雙曲線.若直線與沒有公共點，則的離心率的范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線為，因為直線與雙曲線無公共點，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為.故選：C8.已知，，設，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即，則，由，得，即，則，，則，因此，所以，即.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.有一組數、、、，這組數的第百分位數是B.在的獨立性檢驗中，若不小于對應的臨界值，可以推斷兩變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過C.隨機變量，若，，則D.以擬合一組數據時，經代換后的經驗回歸方程為，則，【答案】BD【解析】對于A選項，因為，所以，這組數據的第百分位數是，A錯；對于B選項，在的獨立性檢驗中，若不小于對應的臨界值，可以推斷兩變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過，B對；對于C選項，隨機變量，若，，解得，，C錯；對于D選項，以擬合一組數據時，經代換后的經驗回歸方程為，即，可得，故，，D對.故選：BD.10.已知是橢圓的右焦點，是上的一個動點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的長軸長是2B.的最大值是C.的面積的最大值為，其中為坐標原點D.直線與橢圓相切時，【答案】BCD【解析】對于A：由，得，所以橢圓的長軸為，故A錯誤；對于B：由，得，則，，由，得，所以，又二次函數的對稱軸為，所以該函數在上單調遞減，則當時，函數取到最大值，因為，所以的最大值為，故B正確；對于C：由題意得，，所以，即的面積的最大值為，故C正確；對于D：由，消去y，得，因為直線與橢圓相切，只有一個交點，所以，解得，故D正確.故選：BCD.11.我們把稱為雙曲余弦函數，其函數表達式為，相應地雙曲正弦函數的函數表達式為.若直線與雙曲余弦函數曲線和雙曲正弦函數曲線分別相交于點，曲線在點處的切線與曲線在點處的切線相交于點，則（）A.是奇函數B.C.在隨的增大而減小，在隨的增大而增大D.的面積隨的增大而減小【答案】ACD【解析】A：因為偶函數，為奇函數，則是奇函數，故A正確；B：，，故，故B錯誤；C：設，，則，，，，，曲線在點處的切線方程為，即；曲線在點處的切線方程為，即；則，則令，則，得；得，則在上單調遞減，在上單調遞增，故C正確；D：的面積為，故面積隨的增大而減小，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.圓被軸截得的弦長為________．【答案】4【解析】由題設可得圓心坐標為，半徑為，故所求弦長為，故答案為：413.已知為一個圓錐的頂點，是母線，，該圓錐的底面半徑為.、分別在圓錐的底面上，則異面直線與所成角的最小值為______.【答案】【解析】如下圖所示：因為、分別在圓錐的底面上，且為該圓錐的一條母線，所以，異面直線與所成角的最小值為直線與底面所成的角，由圓錐的幾何性質可知，與底面垂直，且為底面內的一條直線，則，所以，異面直線與所成角的最小值為，且，故.故答案為：.14.在中，，，，為內一點，且.若，則的最大值為______.【答案】【解析】如圖，因，所以以為坐標原點，方向為軸建立平面直角坐標系，則,設,則，過點作軸的垂線，垂足為，則，所以，所以，因為，所以，所以，則，，所以，所以當，即時，有最大值為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角的對邊分別為，的面積為.已知.（1）求；（2）求函數在上的單調遞增區間.解：（1）由，由余弦定理，，代入即得：，化簡得：因為，所以.（2），由，解得，又，所以或，所以單調遞增區間為和.16.已知函數.（1）若函數在處有極值，求的值；（2）對任意，在上單調遞增，求的最大值.解：（1）因為，所以，因為函數在處有極值，所以，，得，.從而，，即.解得或，若，則，此時，顯然單調遞增，不存在極值，矛盾.所以只可能，.當，時，.從而對有，這說明此時確實在處取到極小值.故所求的為.（2）①若，則當時，對有.所以在上單調遞減.而，所以不可能在上遞增，不滿足條件；②當時，對任意，有，且等號僅在一點成立.所以單調遞增，故一定在上單調遞增，滿足條件.綜上，的最大值為.17.如圖，已知四棱錐中，頂點在底面上的射影落在線段上（不含端點），，，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，直線與平面所成角為，求的值.（1）證明：由于平面平面故因為，所以底面為直角梯形，故，過，且與相交于，則，又，故,所以,由于平面，，所以平面，（2）解：由題意可知，過作的垂線，垂足為,連接,由于平面平面故，平面，故平面，平面，故，故為二面角的平面角，所以從而.18.某學校有、兩家餐廳，某同學每天都會在這兩家餐廳中選擇一家餐廳用晚餐.已知該同學第一天隨機選擇一家餐廳用晚餐，若在前一天選擇去餐廳的條件下，后一天繼續選擇餐廳的概率為；而在前一天選擇去餐廳的條件下，后一天繼續選擇去餐廳的概率為，如此往復.（1）求該同學第一天和第二天都選擇去餐廳用晚餐的概率；（2）求該同學第二天選擇去餐廳用晚餐的概率；（3）記該同學第天選擇去餐廳用晚餐的概率為，求的通項公式.解：（1）記事件該同學第天去餐廳，則，，，由概率乘法公式可得.（2）由對立事件的概率公式可得，由全概率公式可得.（3）記事件該同學第天去餐廳，則，由題意可知，，，由全概率公式可得，即，則，所以，數列是以為首項，公比為的等比數列，所以，，故.19.已知是拋物線的焦點，過上點的切線交軸于點，過點的直線與交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）比較與的大小，并說明理由；（3）過點直線與交于兩點，，，的延長線分別交于兩點，求點到直線距離的最大值.解：（1）已知點在拋物線上，將點的坐標代入拋物線方程可得：，即，解得，所以拋物線的方程為；（2）拋物線，則，當時，切線斜率，由點斜式可得過點的切線方程為，即；令，可得，所以；由，可得，所以，設直線