高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省江門市2025屆高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則.故選：D.2.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.5【答案】B【解析】由數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，得，解得，由，得數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故選：B3.現(xiàn)有編號為的4個小球和4個盒子，把4個小球隨機(jī)放進(jìn)4個盒子里，每個盒子裝1個小球，則恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把4個小球隨機(jī)放進(jìn)4個盒子里，每個盒子裝1個小球的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為，恰好有2個小球與盒子的編號相同的事件含有的基本事件數(shù)為，所以恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為.故選：A4.記為等比數(shù)列前項(xiàng)和．若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，可得，所以，，所以，.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，因此，所以.故選：B6.在矩形中，成等差數(shù)列，，則矩形的周長為（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】因?yàn)椋?故，又成等差數(shù)列，所以,即①,在矩形中，由②,將①式代入②式解得：或(舍去)，把結(jié)果代入①式得，故矩形的周長為,故選：C7.已知邊長為1的正方形繞邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個圓柱，點(diǎn)和分別是圓柱上底面和下底面的動點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，三角形的面積為設(shè)點(diǎn)P到平面的高為h，又，要使三棱錐體積的最大，則需h最大，根據(jù)圖形可得，當(dāng)，且時，h最大，最大為1，.故選：B8.在中，已知，是上的點(diǎn)，平分，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：因?yàn)槠椒?，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)到邊、的距離相等，因?yàn)?，設(shè)，則，由可得，可得，在中，由余弦定理可得，故，由正弦定理可得，所以，，易知為銳角，則，所以，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知（常數(shù)）的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A.B.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256C.展開式中的系數(shù)為D.若展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1024，則第6項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】ACD【解析】由，則其展開式的通項(xiàng)為，對于A，根據(jù)題意可得，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；對于B，由，則展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故B錯誤；對于C，由解得，則展開式中的系數(shù)為，故C正確；對于D，令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和，解得，可得展開式的通項(xiàng)為，即每項(xiàng)系數(shù)均為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，易知展開式中第項(xiàng)為二項(xiàng)式的中間項(xiàng)，則其系數(shù)最大，故D正確.故選：ACD.10.已知曲線，則（）A.曲線關(guān)于軸對稱B.曲線圍成圖形的面積為C.曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值為D.若點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，則的最大值為1【答案】AD【解析】對于A，令是曲線上的任意一點(diǎn)，即，則成立，即點(diǎn)在曲線上，因此曲線關(guān)于軸對稱，A正確；當(dāng)時，，即，是以為圓心，2為半徑的圓在直線及上方的半圓，當(dāng)時，，即，是以為圓心，為半徑的圓在直線及下方部分，對于B，曲線在直線及上方的半圓面積為，B錯誤；對于C，曲線在直線及下方部分上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離最大值為，C錯誤；對于D，表示曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)確定直線斜率的，觀察圖形知，當(dāng)過點(diǎn)的直線與曲線在軸下方部分相切時，直線斜率最大，設(shè)此切線方程為，則，解得，所以的最大值為1，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)，其中，則（）A.函數(shù)是周期函數(shù)B.當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)镃.當(dāng)時，是函數(shù)圖象的對稱軸D.當(dāng)時，函數(shù)在上有零點(diǎn)【答案】ABD【解析】對于A，依題意，，由，，得，因此函數(shù)是周期函數(shù)，A正確；對于B，，而，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，B正確；對于C，，當(dāng)時，，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，關(guān)于不對稱，C錯誤；對于D，，，，又函數(shù)在R上的圖象連續(xù)不斷，因此函數(shù)在上有零點(diǎn)，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線C：在點(diǎn)M（1，e）處的切線方程為_____________．【答案】【解析】因?yàn)椋郧芯€斜率為，切線方程為，13.已知是第三象限角，則曲線的離心率的取值范圍為________．（用區(qū)間表示）【答案】【解析】因?yàn)槭堑谌笙藿?，則，曲線的方程可化為，曲線為雙曲線，且，，所以，雙曲線的離心率為.故答案為：.14.在某平臺開展闖關(guān)贏獎品活動中，用戶每次進(jìn)入新的一關(guān)都有一次抽獎機(jī)會．已知用戶在第一關(guān)抽到獎品的概率為．從第二關(guān)開始，若前一關(guān)沒抽到獎品，則這一關(guān)抽到獎品的概率為；若前一關(guān)抽到獎品，則這一關(guān)抽到獎品的概率為．記用戶第關(guān)抽到獎品的概率為，則的最大值為________．【答案】【解析】依題意，，記用戶第關(guān)抽到獎品為事件，當(dāng)時，，，，，于是，則，而，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即，當(dāng)為奇數(shù)時，，則；當(dāng)為偶數(shù)時，，數(shù)列是遞減數(shù)列，，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.東湖公園統(tǒng)計(jì)連續(xù)天入園參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：日期月日月日月日月日月日第天4參觀人數(shù)（1）建立關(guān)于的回歸直線方程，預(yù)測第天入園參觀人數(shù)；（2）東湖公園只開放南門、北門供游客出入，游客從南門、北門入園的概率相同，且從同一個門出園的概率為，從不同一個門出園的概率為．假設(shè)游客從南門、北門出入公園互不影響，如果甲、乙兩名游客從南門出園，求他們從同一個門入園的概率．附：參考數(shù)據(jù)：，，，．解：（1）參考公式：回歸直線方程，其中，．由最小二乘法公式可得，則，所以，關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時，，因此，預(yù)測第天入園參觀人數(shù)約為千人.（2）記事件甲、乙兩名游客從南門出園，事件甲、乙兩名游客從同一個門入園，則，如果甲、乙都從南門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲、乙都從北門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲從南門入園，乙從北門入園，且都從南門出園，其概率為，如果甲從北門入園，乙從南門入園，且都從南門出園，其概率為，，由條件概率公式可得.因此，如果甲、乙兩名游客從南門出園，則他們從同一個門入園的概率為.16.如圖，在斜棱柱中，底面為菱形，，．（1）證明：；（2）若，求的長度．（1）證明：過點(diǎn)作平面，垂足為，連接，如下圖：因?yàn)?，，，所以，則，因?yàn)槠矫妫矫妫?，因?yàn)?，所以，則，可得點(diǎn)在線段的中垂線上，即，所以共面，易知，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：連接，記，連接，如下圖：在中，由，且，則，由（1）可知平面，因平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，在中，，，則，易知，則，所以底面為正方形，由，則.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的極值．解：（1）由，則函數(shù)，易知其定義域?yàn)?，由，則函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，顯然當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在與上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減.（2）由時，則函數(shù)，可得，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）易知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)上單調(diào)遞增，此時無極值；當(dāng)時，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，由函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的極大值為，綜上，當(dāng)時，函數(shù)無極值；當(dāng)時，函數(shù)的極大值為，無極小值.18.已知橢圓的焦距為，以橢圓短軸一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，過點(diǎn)的直線分別交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)始終在第一象限且與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線分別交軸于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）證明：．（1）解：由橢圓短軸一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，得，則，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線方程為，，，由點(diǎn)在第一象限且與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，得直線關(guān)于軸對稱，，由消去得，則，，直線方程為，令，得，所以點(diǎn).（3）證明：由（2）知，，，由，得，因此，所以.19.意大利畫家達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．在17世紀(jì)，惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利等得到懸鏈線方程是，其中c為參數(shù)．當(dāng)時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)．相應(yīng)地就有雙曲正弦函數(shù)．已知三角函數(shù)的三個關(guān)系式：①平方關(guān)系：；②二倍角關(guān)系：；③導(dǎo)數(shù)關(guān)系：（1）類比關(guān)系式①②③，寫出和之間的三種關(guān)系式（不需要證明）；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列滿足，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．解：（1）雙曲函數(shù)關(guān)系式①平方關(guān)系：；②二倍角關(guān)系：；③導(dǎo)數(shù)關(guān)系