高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷1.、互為共軛復(fù)數(shù)，，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋⒒楣曹棌?fù)數(shù)，∴，所以=2.故選：B.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】由題意設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差分別為，因，所以，從而.故選：D.3.將序號(hào)分別為1，2，3，4，5五張參觀券全部分給甲，乙，丙，丁四人，每人至少1張，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，那么不同分法的種數(shù)是（）A6 B.24 C.60 D.120【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、將連號(hào)的兩張參觀券分給甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4種情況，

②、將剩下的3張參觀券分給其他三人，有種分法，

則有種不同的分法；

故選:B．4.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，故，故選：A.5.在棱長(zhǎng)為的正方體中，與其各棱都相切的球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】棱長(zhǎng)為的正方體的棱切球，其半徑為面對(duì)角線的一半，即：，所以該球的表面積.故選：.6.已知向量與的夾角為，且滿(mǎn)足，，則在上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】向量在上的投影為，向量在上的投影向量為.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線與一條漸近線垂直，垂足為，交雙曲線右支于點(diǎn)，，則離心率（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)，不妨取其中一條漸近線，由兩直線垂直，斜率乘積為-1有，過(guò)的直線的方程為，聯(lián)立上述兩直線可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)椋瑒t，故，由直線的方程為得N點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，化簡(jiǎn)得，故，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.8.已知，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，令，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，有最大值，而，由此可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知的最大值又，所以，所以，解得，所以，即的取值范圍是.故選：B.9.在的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為C.第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.展開(kāi)式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為【答案】ABD【解析】由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得，A選項(xiàng)正確；令，得，B選項(xiàng)正確；時(shí)，的展開(kāi)式共項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，，，為負(fù)數(shù)，，，，，為正數(shù)，故展開(kāi)式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為，令，得，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為3 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】，對(duì)選項(xiàng)A：函數(shù)的最大值為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：函數(shù)的最小正周期為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，則，函數(shù)單調(diào)遞增，正確；故選：BCD.11.甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)榧坠拗杏?個(gè)紅球、2個(gè)黑球，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；因?yàn)椋裕虼诉x項(xiàng)D正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)B不正確，故選：ACD12.已知的面積為，，則=____．【答案】【解析】,，解得,所以，∴,∴,故答案為：.13.已知拋物線頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則____．【答案】1【解析】設(shè)，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，由得,將代入拋物線中得所以，故答案為：114.若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：15.已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）由，可得，又，所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，，設(shè)，前n項(xiàng)和為，，，兩式相減得，，得，.16.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有個(gè)紅球，個(gè)白球的甲箱和裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出個(gè)球，在摸出的個(gè)球中，若都是紅球，則獲獎(jiǎng).（1）求顧客抽獎(jiǎng)次能獲獎(jiǎng)的概率；（2）若顧客有次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在次抽獎(jiǎng)中將的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記事件{甲、乙兩箱中摸出球都是紅球}，則.即顧客抽獎(jiǎng)次能獲獎(jiǎng)的概率為；（2）由題可知，，，.故的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望為.17.如圖，矩形與梯形所在的平面垂直，，，，，P為的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)椋矫嫫矫妫矫嫫矫?平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕诰匦沃校琍為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋鶕?jù)勾股定理逆定理可得．因?yàn)椋矫妫云矫鍱PF，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)C，F(xiàn)E所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面DPC的法向量為，由得令，則．同理可得平面BCD的一個(gè)法向量為．設(shè)平面BCD與平面DPC的夾角為，故，即平面BCD與平面DPC夾角的余弦值為．18.已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且其離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的斜率不為零的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線AC，BD交于一點(diǎn)P，M為線段PB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，問(wèn)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．解：（1）由題意可知，，解得：，，，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，，，，，聯(lián)立，得，，，，所以，，聯(lián)立直線和方程，得，，所以，得，，即因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，所以.所以是定值，且定值為.19.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.解：（1）由已知，的定義域?yàn)椋遥虼水?dāng)時(shí)，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）（i）由（1）知，，令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且，故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不