教學設計

課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA051學科數學年級高一學期第一學期

課題正弦函數、余弦函數的性質應用

書名：普通高中教科書數學必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社A版出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師趙麗艷北京市廣渠門中學教育集團

指導教師李穎北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.利用正弦函數和余弦函數的圖象及性質解決相關的問題；

2.在利用正弦函數和余弦函數的圖象及性質解決相關問題的過程中體會換元的方法;

3.通過解決相關應用問題，提升代數推理的能力，培養數學運算和數學推理的素養.

教學重點：正弦函數和余弦函數的性質的應用.

教學難點：理解正弦函數和余弦函數的性質.

教學過程

時間教學環節主要師生活動

5前面我們學習了正弦函數，余弦函數的圖象及性質，具體研究了

分引入函數的周期性、單調性、最值，本節課我們將利用正余弦函數的圖象

鐘及性質解決相關的應用問題.

例1求下列函數的周期：

(1)y3sinx,xR；（2）ycos2x,xR；

1

（3）y2sin（x）,xR.

26

15（一）

解：（1）xR，有

分例題

鐘

3sinx+2=3sinx.

由周期函數的定義可知，原函數的周期為2.

（2）令z=2x，由xR得zR，且ycosz的周期為2，

即

cos(z+2)=cosz，

于是cos(2x+2)=cos2x，

所以cos2(x+)=cos2x，xR.

由周期函數的定義可知，原函數的周期為.

1

（3）令z=x，由xR得zR，且y2sinz的周期為

26

2，即

2sin(z+2)=2sinz，

11

于是2sin(x+2)=2sin(x)，

2626

11

所以2sin[(x+4)]=2sin(x).

2626

由周期函數的定義可知，原函數的周期為4.

追問：解答完成之后思考，求解的依據是什么？據此求解的步驟

是什么？這些函數的周期與解析式中哪些量有關？

師生活動：對于這些問題，學生能夠求出周期，但是不清楚如何

規范地表達，這是本例的難點所在，教師要基于學生課堂上的生成，

給出分析求解的思路和程序，并加以示范，幫助學生理解.對于周期

問題,求解的步驟如下：

第一步，先用換元法轉換.比如對于“（2）ycos2x,xR”，

令2x=t，所以yf(x)cos2xcost；

第二步，利用已知三角函數的周期找關系.有co（s2+t）cost，

代入可得co（s2+2x）cos2x；

第三步，根據定義變形.變形可得cos（2+x）cos2x，于是就

有f(x+)f(x)；

第四步，確定結論.根據定義可知其周期為π.

周期與自變量的系數有關.仿照上述分析過程可得函數

2

yAsin(x)的周期為T.

一般地，如果函數yf(x)的周期是T，那么函數yf(x)的

T

周期是.

設計意圖：通過例題深化對周期和最小正周期概念的理解，形成

求解的具體步驟，進而幫助學生理解函數yAsin(x)的周期，

為后續學習做準備.

例2下列函數有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、

最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值.

（1）ycosx1,xR;（2）y3sin2x,xR.

解：容易知道，這兩個函數都有最大值、最小值.

（1）使函數ycosx1,xR取得最大值的x的集合，就是

使函數ycosx取得最大值的x的集合

{x|x2k,kZ}；

使函數ycosx1,xR取得最小值的x的集合，就是使函數

ycosx,xR取得最小值的x的集合

{x|x(2k+1),kZ}.

函數ycosx1,xR的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.

（2）令z2x，使函數y3sinz,zR取得最大值的z的集

合，就是使ysinz,zR取得最小值的z的集合

{z|z2k,kZ}.

2

由2xz2k,得xk.所以，使函數

24

y3sin2x,xR，取得最大值的x的集合是

{x|xk,kZ}.

4

同理，使函數y3sin2x,xR取得最小值的x的集合是

{x|xk,kZ}.

4

函數y3sin2x,xR的最大值是3，最小值是-3.

師生活動：學生先獨立完成，然后展示交流解題思路和結果，

學生點明換元法及其重要作用.本例中，對于（1），因為1是確定值，

因此問題轉化為求ycosx的最值；對于（2）令2x=t，轉化為求

y3sint的最值.

設計意圖：鞏固對最值概念的理解，初步感受換元法在求解三角

函數問題中的作用.

例3不通過求值，比較下列各組數的大小：

17

（1）sin（-）與sin（-）；（2）co（s-）與co（s-）.

181054

解：（1）因為-<--0,

21018

正弦函數ysinx在區間[-,0]上單調遞增，所以

2

sin(-)sin(-).

1810

（2）cos(-)=cos=cos(4+)=cos，

5555

1717

cos(-)=cos=cos(4+)=cos.

4444

3

因為0<,且函數ycosx在區間[0，]上單調遞

45

3

減，所以coscos,

45

即

17

cos(-)cos(-).

45

師生活動：學生獨立完成，教師進行指導.本例中，對于（1），

可直接應用函數的單調性求解；對于（2），首先要將所給的角化簡，

使之位于同一個單調區間內，即轉化為第（1）題之后求解.

設計意圖：初步應用函數的單調性解決比較大小的問題

1

例4求函數ysin(x+)，x[2，2的單調遞增區間.

23

1

分析：令zx+，x[2，2，當自變量x的值增大時，

23

z的值也隨之增大，因此若函數ysinz在某個區間上單調遞增，則

1

函數ysin(x+)在相應的區間上也一定單調遞增.

23

124

解：令zx+，x[2，2，則z[，.

2333

24

因為ysinz，z[，的單調遞增區間是[，，

3322

1

且由x+，

2232

5

得x.

33

15

所以，函數ysin(x+)的單調增區間為[，.

2333