24.2.2直線和圓的位置關系

第3課時切線長定理

一、新課導入

1.導入課題：

情景：如圖，紙上有一個⊙O,PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO將紙對折，設

與點A重合的點為B.

問題1：OB是⊙O的半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？

問題2：猜一猜圖中的PA與PB有什么關系？∠APO與∠BPO有什么

關系？

這節課我們繼續探討圓的切線的性質——切線長定理(板書課題).

2.學習目標：

（1）知道什么是圓的切線長，能敘述并證明切線長定理.

（2）會作三角形的內切圓，知道三角形內心的含義和性質.

（3）能用切線長定理和三角形內心的性質來解決簡單的問題.

3.學習重、難點：

重點：切線長定理及其運用.

難點：切線長定理的應用及如何作三角形的內切圓.

二、分層學習

1.自學指導：

(1)自學內容：教材第99頁“思考”之前的內容.

(2)自學時間：8分鐘.

(3)自學方法：完成探究提綱.

(4)探究提綱：

①過⊙O外一點P畫⊙O的切線.動手畫圖，看看這樣的切線能作幾條？能作兩條.

②在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長叫做這點到圓的切線長，

如圖的線段PA與線段PB的長就是點P到⊙O的切線長.

③PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？你能證明它們成立嗎？

PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL證明Rt△AOP≌Rt△BOP,進而得

出結論.

④分別用文字語言和幾何語言寫出切線長定理.

文字語言：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

幾何語言：∵PA切⊙O于點A,PB切⊙O于點B.

∴PA=PB,OP平分∠APB.

2.自學：學生結合自學指導進行自學.

3.助學：

（1）師助生：

①明了學情：看學生能否順利完成定理的證明.

②差異指導：根據學情確定指導方案.

（2）生助生：小組內相互交流、研討.

4.強化：

（1）切線長定理及它的證明.

（2）交流：在提綱④的幾何圖形中，若連接AB交OP于點C，則圖中有哪些垂直關

系？哪些全等三角形？若設線段OP與⊙O的交點為D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O

的半徑長嗎？

解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.設⊙O

的半徑為r,則OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.

解得r=3.即⊙O的半徑長為3.

1.自學指導：

(1)自學內容：教材第99頁“思考”到第100頁的內容.

(2)自學時間：8分鐘.

(3)自學方法：閱讀，畫圖，推理，猜想.

(4)自學參考提綱：

①如圖，作與△ABC的三邊都相切的⊙I.

因為⊙I與BA,BC都相切，所以點I在∠ABC的平分線上；

因為⊙I與CA,CB都相切，所以點I在∠ACB的平分線上；

所以點I是∠ABC與∠ACB平分線的交點.

a.作∠ABC的平分線，∠ACB的平分線，交于點I；

b.過I作ID⊥BC于D，以I為圓心，ID為半徑畫圓，則⊙I即為所求.

②三角形的內切圓是指與三角形各邊都相切的圓，內切圓的圓心叫三角形的內心.它是

三角形三條角平分線的交點，它到各條邊的距離都相等.

③已知：如圖，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的內切圓分別和BC、

AC、AB切于點D、E、F，求AF、BD和CE的長.

設AF=x,則AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.

由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.

解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.

2.自學：同學們可結合自學指導進行自學.

3.助學：

（1）師助生：

①明了學情：關注學生是否清楚三角形內切圓的作圖思路.

②差異指導：注意幫助學生理清前后知識間的聯系.

（2）生助生：生生互動，交流，研討.

4.強化：

(1)三角形內切圓的作圖和內心的概念和性質.

(2)如圖，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，點O是△ABC的內心，求∠BOC的

度數.

解：∵點O是△ABC的內心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，

111

∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB=×（50°+75°）＝62.5°.

222

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.

三、評價

1.學生的自我評價（圍繞三維目標）：這節課你學到了哪些知識？掌握了哪些解題方法？

2.教師對學生的評價：

(1)表現性評價：點評學生學習的態度、積極性、學習的方法、效果及存在的問題等.

(2)紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學反思）:本節課的教學是直線與圓的位置關系的繼續，從探究切

線長定理開始，通過如何作一個三角形的內切圓，引出三角形的內切圓和三角形內心的概念，

經歷這些探究過程，能使學生掌握圖形的基本知識和基本技能，并能解決簡單的問題.

(時間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎鞏固（70分）

1.(10分)如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，且AB=11cm，

BC=14cm，CA=13cm，則AF的長為（C）

A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm

2.(10分)如圖，點O是△ABC的內心，若∠BAC=86°，則∠BOC=（C）

A.172°B.130°C.133°D.100°

3.(10分)如圖，已知VP、VQ為⊙T的切線，P、Q為切點，若VP=3cm，則VQ=3cm.

若∠PVQ＝60°，則⊙T的半徑PT＝3cm.

4.(20分)如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC=25°，

求∠P的度數.

解：∵PA是⊙O的切線.

∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.

∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.

∵PB是⊙O的切線，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.

∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.

5.(20分)如圖，一個油桶靠在墻邊，量得WY=1.65m,并且xY⊥WY,這個油桶底面半徑

是多少?

解：設圓心為O，連接OW,Ox.

∵YW,Yx均是⊙O的切線，

∴OW⊥WY,Ox⊥xY，

又∵xY⊥WY,∴∠OWY＝∠OxY＝∠WYx＝90°，

∴四邊形OWYx是矩形，又∵OW=Ox.

∴四邊形OWYx是正方形.∴OW=WY=1.65m.

即這個油桶底面半徑是1.65m.

二、綜合應用（15分）

6.(15分)△ABC的內切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.（提示：設△

ABC的內心為O，連接OA、OB、OC）

解：設△ABC的內心為O，連接OA、OB、OC.

則

SABCSAOBSBOCSAOC

11111

ABrBCrACrABBCACrlr.

22222

三、拓展延伸（15分）

7.(15分)如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、