第2節空間幾何體表面積與體積1/33最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺表面積和體積計算公式.2/331.多面體表(側)面積

多面體各個面都是平面，則多面體側面積就是全部側面面積之和，表面積是側面積與底面面積之和.知

識

梳

理3/332.圓柱、圓錐、圓臺側面展開圖及側面積公式2πrl

圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝_______S圓錐側＝______S圓臺側＝_________πrlπ(r1＋r2)l4/333.空間幾何體表面積與體積公式S底h4πR25/336/331.思索辨析(在括號內打“√”或“×”)解析(1)錐體體積等于底面面積與高之積三分之一，故不正確.(2)球體積之比等于半徑比立方，故不正確.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√診

斷

自

測7/332.(必修2P27練習1改編)已知圓錐表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓半徑為(

)解析由題意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).答案

B8/33答案

A9/33答案B10/335.(·天津河西區質檢)已知一個四棱錐底面是平行四邊形，該四棱錐三視圖如圖所表示(單位：m)，則該四棱錐體積為________m3.答案

211/33考點一空間幾何體表面積【例1】(1)(·全國Ⅱ卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成幾何體三視圖，則該幾何體表面積為(

)A.20π B.24π C.28π D.32π12/33(2)(·全國Ⅰ卷)某多面體三視圖如圖所表示，其中正視圖和側視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體各個面中有若干個是梯形，這些梯形面積之和為(

)A.10 B.12 C.14 D.1613/33解析(1)幾何體是圓錐與圓柱組合體，設圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由三視圖知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.14/33答案(1)C

(2)B15/33規律方法1.由幾何體三視圖求其表面積：(1)關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間位置關系及度量大小.(2)還原幾何體直觀圖，套用對應面積公式.2.(1)多面體表面積是各個面面積之和；組合體表面積注意銜接部分處理.(2)旋轉體表面積問題注意其側面展開圖應用.16/33【訓練1】(1)某幾何體三視圖如圖所表示，則該幾何體表面積等于(

)17/33A.17π B.18π C.20π D.28π18/33解析

(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所表示.19/33答案

(1)B

(2)A20/33考點二空間幾何體體積21/33(2)(·山東卷)一個由半球和四棱錐組成幾何體，其三視圖如圖所表示.則該幾何體體積為(

)22/33答案

(1)C

(2)C23/33規律方法1.求三棱錐體積：等體積轉化是慣用方法，轉換標準是其高易求，底面放在已知幾何體某一面上.2.求不規則幾何體體積：慣用分割或補形思想，將不規則幾何體轉化為規則幾何體以易于求解.3.若以三視圖形式給出幾何體，則應先依據三視圖得到幾何體直觀圖，然后依據條件求解.24/33【訓練2】(1)某幾何體三視圖如圖所表示，且該幾何體體積是3，則正視圖中x值是(

)(2)(·鄭州質檢)已知三棱錐四個面都是腰長為2等腰三角形，該三棱錐正視圖如圖所表示，則該三棱錐體積是________.25/3326/33考點三多面體與球切、接問題(典例遷移)【例3】

(經典母題)(·全國Ⅲ卷)在封閉直三棱柱ABC－A1B1C1內有一個體積為V球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V最大值是(

)27/33解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球體積V最大，則球與直三棱柱部分面相切，若球與三個側面相切，設底面△ABC內切圓半徑為r.球與三棱柱上、下底面相切時，球半徑R最大.答案

B28/33【遷移探究

】

若本例中條件變為“直三棱柱ABC－A1B1C16個頂點都在球O球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O表面積.

解將直三棱柱補形為長方體ABEC－A1B1E1C1，

則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1外接球.

∴體對角線BC1長為球O直徑.故S球＝4πR2＝169π.29/33規律方法1.與球相關組合體問題，一個是內切，一個是外接.球與旋轉體組合通常是作它們軸截面解題，球與多面體組合，經過多面體一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐三條側棱兩兩垂直，可結構長方體或正方體確定直徑處理外接問題.30/33【訓練3】(1)(·全國Ⅰ卷)已知三棱錐S－ABC全部頂點都在球O球面上，SC是球O直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC體積為9.則球O表面積為________. (2)(·佛山一中月考)已知A，B是球O球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上動點.若三棱錐O－ABC體積最大值為36，則球O表面積為(

) A.36π B.64π C.144π D.256π31/33解析(1)如圖，連接OA，OB，因為SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，O