第5節直接證實與間接證實(供選取)最新考綱1.了解直接證實兩種基本方法——分析法和綜正當；了解分析法和綜正當思索過程和特點；2.了解間接證實一個基本方法——反證法；了解反證法思索過程和特點.1/281.直接證實知

識

梳

理充分內容綜正當分析法定義利用已知條件和一些數學定義、公理、定理等，經過一系列推理論證，最終推導出所要證實結論成立從要證實結論出發，逐步尋求使它成立______條件，直到最終把要證實結論歸結為判定一個顯著成立條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實質由因導果執果索因2/283/282.間接證實間接證實是不一樣于直接證實又一類證實方法，反證法是一個慣用間接證實方法.(1)反證法定義：假設原命題________(即在原命題條件下，結論不成立)，經過正確推理，最終得出矛盾，所以說明假設錯誤，從而證實________________證實方法.(2)用反證法證實普通步驟：①反設——假設命題結論不成立；②歸謬——依據假設進行推理，直到推出矛盾為止；③結論——斷言假設不成立，從而必定原命題結論成立.不成立原命題成立4/28[慣用結論與微點提醒]分析法與綜正當相輔相成，對較復雜問題，經常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間關系，找到處理問題思緒，再利用綜正當證實，或者在證實時將兩種方法交叉使用.5/28診斷自測1.思索辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)分析法是從要證實結論出發，逐步尋找使結論成立充要條件.(

)(2)用反證法證實結論“a>b”時，應假設“a<b”.(

)(3)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾.(

)(4)在處理問題時，慣用分析法尋找解題思緒與方法，再用綜正當展現處理問題過程.(

)6/28解析(1)分析法是從要證實結論出發，逐步尋找使結論成立充分條件.(2)應假設“a≤b”.(3)反證法只否定結論.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√7/28解析

a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案

D8/283.若a，b，c為實數，且a<b<0，則以下命題正確是(

) A.ac2<bc2 B.a2>ab>b2解析a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.答案B9/284.用反證法證實命題：“設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0最少有一個實根”時，要做假設是(

) A.方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根10/28解析因為“方程x3＋ax＋b＝0最少有一個實根”等價于“方程x3＋ax＋b＝0實根個數大于或等于1”，所以要做假設是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根”.答案A11/285.在△ABC中，三個內角A，B，C對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，a，b，c成等比數列，則△ABC形狀為________.∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，12/286.(·紹興檢測)完成反證法證題全過程.設a1，a2，…，a7是1，2，…，7一個排列，求證：乘積p＝(a1－1)·(a2－2)·…·(a7－7)為偶數.

證實：假設p為奇數，則a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數.因奇數個奇數之和為奇數，故有奇數＝____________＝____________＝0.但0≠奇數，這一矛盾說明p為偶數.13/28解析∵a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數，∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也為奇數，即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)為奇數.又∵a1，a2，…，a7是1，2，…，7一個排列，∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式為0，∴奇數＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案

(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)14/28考點一綜正當應用【例1】

已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求證：15/2816/2817/28規律方法用綜正當證題是從已知條件出發，逐步推向結論，綜正當適用范圍：(1)定義明確問題，如證實函數單調性、奇偶性、求證無條件等式或不等式；(2)已知條件明確，而且輕易經過分析和應用條件逐步迫近結論題型.在使用綜正當證實時，易出現錯誤是因果關系不明確，邏輯表示混亂.18/28【訓練1】

設a，b，c均為正數，且a＋b＋c＝1，證實：證實

(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設知(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.19/2820/28考點二分析法應用21/28規律方法

(1)逆向思索是用分析法證題主要思想，經過反推，逐步尋找使結論成立充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解關鍵.(2)證實較復雜問題時，能夠采取兩頭湊方法，即經過分析法找出某個與結論等價(或充分)中間結論，然后經過綜正當證實這個中間結論，從而使原命題得證.22/28只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三內角A，B，C成等差數列，故B＝60°，23/28由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.24/28考點三反證法應用25/2826/28規律方法

(1)當一個命題結論是以“至多”、“最少”、“唯一”或以否定形式出現時，可用反證法來證，反證法關鍵是在正確推理下得出矛盾，矛盾能夠是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等.(2)用反證法證實不等式要把握三點：①必須否定結論；②必須從否定結論進行推理；③推導出矛盾必須是顯著.27/28【訓練3】

(·鄭州一中月考)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求證：a1，a2，a3，a4中最少有一個數大于25.證實假設a1，a2，a3，a4均