第2講數(shù)列求和問題專題四數(shù)列、推理與證實(shí)1/53熱點(diǎn)分類突破真題押題精練2/53Ⅰ熱點(diǎn)分類突破3/53熱點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化求和有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.4/53例1

(·山東省平陰縣第一中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是公比大于0等比數(shù)列，且b1＝－2a1＝2，a3＋b2＝－1，S3＋2b3＝7.(1)求數(shù)列{an}和{bn}通項(xiàng)公式；解答5/53解設(shè)數(shù)列{an}公差為d，{bn}公比為q，且q>0，由題易知，

a1＝－1，b1＝2，∴an＝－2n＋1，bn＝2n.6/53解答思維升華7/53解由(1)知，an＝－2n＋1，bn＝2n，∴Tn＝(c1＋c3＋c5＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn)＝n＋(c2＋c4＋…＋cn)，令Hn＝c2＋c4＋c6＋…＋cn，8/53以上兩式相減，得9/5310/53當(dāng)n(n≥3)為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，n＝1也適合上式.11/53思維升華在處理普通數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把普通數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)組成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)組成等比數(shù)列，清楚正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí)，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)是正負(fù)交替，所以普通需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最終再驗(yàn)證是否能夠合并為一個(gè)公式.12/53證實(shí)13/5314/53得nan＋1＝2(n＋1)an＋n(n＋1)，由a1>0及遞推關(guān)系，可知an>0，15/5316/53(2)求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn.解答17/53∴an＝n·2n－n，Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)2n－1＋n×2n－[1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n]，設(shè)Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)2n－1＋n×2n，

①則2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n＋n×2n＋1，

②由①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋118/53∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2，19/53熱點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.20/53(1)求數(shù)列{an}和{bn}通項(xiàng)公式；解答21/53解因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，又因?yàn)閍3＝5，所以a1＝1，所以an＝2n－1.所以bn＝－2bn－1，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為－2等比數(shù)列，所以bn＝(－2)n－1.22/53(2)設(shè)cn＝an|bn|，求數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和Tn.解因?yàn)閏n＝an|bn|＝(2n－1)2n－1，所以Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)2n－1，2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，兩式相減，得－Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)2n＝1＋2n＋1－4－(2n－1)2n＝－3＋(3－2n)2n，所以Tn＝3＋(2n－3)2n.解答思維升華23/53思維升華(1)錯(cuò)位相減法適合用于求數(shù)列{an·bn}前n項(xiàng)和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列.(2)所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減.要注意是相減后得到部分求等比數(shù)列和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù).(3)為確保結(jié)果正確，可對(duì)得到和取n＝1,2進(jìn)行驗(yàn)證.24/53(1)求數(shù)列{an}與{bn}通項(xiàng)公式；解答25/53解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n∈N*)，檢驗(yàn)a1＝1，滿足an＝2n－1(n∈N*).且bn>0，∴2bn＋1＝bn，26/53(2)設(shè)cn＝anbn，求數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和Tn.解答27/5328/5329/53熱點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中各項(xiàng)分別裂開后，一些項(xiàng)能夠相互抵消從而求和方法，主要適合用于(其中{an}為等差數(shù)列)等形式數(shù)列求和.30/53例3

(屆山東省青島市二模)在公差不為0等差數(shù)列{an}中，

＝a3＋a6，且a3為a1與a11等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；解設(shè)數(shù)列{an}公差為d，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋10d)，

②∵d≠0，由①②解得a1＝2，d＝3.∴數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝3n－1.∴(a1＋d)2＝a1＋2d＋a1＋5d，

①解答思維升華31/53思維升華裂項(xiàng)相消法基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)形式，從而在求和時(shí)到達(dá)一些項(xiàng)相消目標(biāo)，在解題時(shí)要善于依據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消條件.32/53解答思維升華33/53思維升華慣用裂項(xiàng)公式34/53(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；解答35/5336/53解答37/5338/5339/53Ⅱ真題押題精練40/53真題體驗(yàn)1.(·全國Ⅱ)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝______.答案解析1241/53解析設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，則1242/532.(·天津)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}通項(xiàng)公式；12解答43/53解設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，等比數(shù)列{bn}公比為q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因?yàn)閝>0，解得q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，

①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，

②聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式為bn＝2n.1244/53(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}前n項(xiàng)和(n∈N*).12解答45/53解設(shè)數(shù)列{a2nb2n－1}前n項(xiàng)和為Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，

③4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，

④③－④，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8，1246/53押題預(yù)測(cè)答案解析押題依據(jù)數(shù)列通項(xiàng)以及求和是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，也是《考試綱領(lǐng)》中明確提出知識(shí)點(diǎn)，年年在考，年年有變，變是試題外殼，即在題設(shè)條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問題慣用方法有規(guī)律可循.121.已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝

，其前n項(xiàng)和為Sn，若存在M∈Z，滿足對(duì)任意n∈N*，都有Sn<M恒成立，則M最小值為_____.1押題依據(jù)47/531248/532.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝a(Sn－an＋1)(a為常數(shù)，且a>0)，且4a3是a1與2a2等差中項(xiàng).(1)求{an}通項(xiàng)公式；解答押題依據(jù)錯(cuò)位相減法求和是高考重點(diǎn)和熱點(diǎn)，本題先利用an，Sn關(guān)系求an，也是高考出題常見形式.12押題依據(jù)49/53解當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a(S1－a1＋1)，所以a1＝a，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝a(Sn－an＋1)，

①Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，

②12故{an}是首項(xiàng)a1＝a，公比為a等比數(shù)列，所以an＝a·an－1＝an.故a2＝a2，a3＝a3.由4a3是a1與2a2等差中項(xiàng)，可得8a3＝a1＋2a2，50/53即8a3＝a＋2a2，因?yàn)閍≠0，整理得8a2－2a－1＝0，即(2a－1)(4a＋1)＝0，1251/53解答1252/5312所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)×2n－1＋(2n＋1)×2n