第1講等差數列與等比數列專題四數列、推理與證實1/43熱點分類突破真題押題精練2/43Ⅰ熱點分類突破3/43熱點一等差數列、等比數列運算1.通項公式等差數列：an＝a1＋(n－1)d；等比數列：an＝a1·qn－1.2.求和公式4/433.性質若m＋n＝p＋q，在等差數列中am＋an＝ap＋aq；在等比數列中am·an＝ap·aq.5/43答案解析√6/43解析由題設可得log2a9＋log2a2009＝2，即b9＋b2009＝2，由等差數列通項性質，可得b9＋b2009＝b1＋b2017＝2，7/43答案解析解析因為a3＋a5＋a7＝a3＋a3q2＋a3q4＝6(q4＋q2＋1)＝78，得q4＋q2－12＝0，得q2＝3或q2＝－4(舍去)，則a5＝a3q2＝6×3＝18，故選B.思維升華(2)(屆四川省成城市診療性檢測)在等比數列{an}中，已知a3＝6,a3＋a5＋a7＝78，則a5等于A.12 B.18 C.24 D.36√8/43思維升華在進行等差(比)數列項與和運算時，若條件和結論間聯絡不顯著，則均可化成關于a1和d(q)方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以降低計算量.9/43答案解析跟蹤演練1

(1)(·河北省曲周縣第一中學模擬)設等差數列{an}前n項和為Sn，若S4＝－4，S6＝6，則S5等于A.0 B.－2 C.4 D.1√10/43答案解析ln211/43熱點二等差數列、等比數列判定與證實數列{an}是等差數列或等比數列證實方法(1)證實數列{an}是等差數列兩種基本方法：①利用定義，證實an＋1－an(n∈N*)為一常數；②利用等差中項，即證實2an＝an－1＋an＋1(n≥2).12/43(2)證實{an}是等比數列兩種基本方法13/43例2

(屆東北三省三校聯考)已知數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，數列{bn}滿足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n.(1)證實：{an－n}為等比數列；證實

∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，又a1－1＝2，∴{an－n}是以2為首項，2為公比等比數列.證實思維升華14/43思維升華判斷一個數列是等差(比)數列，也能夠利用通項公式及前n項和公式，但不能作為證實方法.15/43解答思維升華16/43解由(1)知an－n＝(a1－1)·2n－1＝2n，∵bn＋1＝bn＋an－n，∴bn＋1－bn＝2n，當n＝1時，b1＝2，∴bn＝2n，17/4318/43跟蹤演練2

(屆吉林省長白山市模擬)在數列{an}中，設f(n)＝an，且f(n)滿足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，且a1＝1.證實證實由已知得an＋1＝2an＋2n，∴bn＋1－bn＝1，又a1＝1，∴b1＝1，∴{bn}是首項為1，公差為1等差數列.19/43解答(2)求數列{an}前n項和Sn.解由(1)知，bn＝

＝n，∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，兩邊乘以2，得2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，兩式相減得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.20/43熱點三等差數列、等比數列綜合問題處理等差數列、等比數列綜合問題，要從兩個數列特征入手，理清它們關系；數列與不等式、函數、方程交匯問題，能夠結合數列單調性、最值求解.21/43例3

已知等差數列{an}公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求數列{an}通項公式an與前n項和Sn；解由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，解答22/43(2)將數列{an}前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來次序恰為等比數列{bn}前3項，記{bn}前n項和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn<Tm＋λ恒成立，求實數λ取值范圍.解答思維升華23/43解由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，設等比數列{bn}公比為q，∴{Tm}為遞增數列，得4≤Tm<8.24/43故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使對任意n∈N*總有Sn<Tm＋λ，則10<8＋λ，得λ>2.即實數λ取值范圍為(2，＋∞).25/43思維升華(1)等差數列與等比數列交匯問題，慣用“基本量法”求解，但有時靈活地利用性質，可使運算簡便.(2)數列項或前n項和能夠看作關于n函數，然后利用函數性質求解數列問題.(3)數列中恒成立問題能夠經過分離參數，經過求數列值域求解.26/43跟蹤演練3

(·北京)已知等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}通項公式；解設等差數列{an}公差為d.因為a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.解答27/43解答(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解設等比數列{bn}公比為q，所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.28/43Ⅱ真題押題精練29/43真題體驗1.(·全國Ⅰ改編)記Sn為等差數列{an}前n項和.若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}公差為_____.4答案解析1234解析設{an}公差為d，解得d＝4.30/432.(·浙江改編)已知等差數列{an}公差為d，前n項和為Sn，則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”______條件.充要答案解析123431/43解析方法一

∵數列{an}是公差為d等差數列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，則21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，則10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”充要條件.123432/43方法二

∵S4＋S6＞2S5?S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)?a6＞a5?a5＋d＞a5?d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”充要條件.123433/433.(·北京)若等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則

＝_____.1答案解析1234解析設等差數列{an}公差為d，等比數列{bn}公比為q，則由a4＝a1＋3d，∴q＝－2.34/4332解析設{an}首項為a1，公比為q，1234答案解析35/43押題預測答案解析押題依據等差數列性質和前n項和是數列最基本知識點，也是高考熱點，能夠考查學生靈活變換能力.12341.設等差數列{an}前n項和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0最大自然數n值為A.6 B.7 C.12 D.13√押題依據36/43123解析∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差數列公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴滿足Sn>0最大自然數n值為12.437/432.(·安慶模擬)等比數列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4為12a3和2a5等差中項，則{an}公比等于A.3 B.2或3C.2 D.6答案解析押題依據等差數列、等比數列綜合問題可反應知識利用綜合性和靈活性，是高考出題重點.123√4押題依據38/43解析設公比為q,5a4為12a3和2a5等差中項，可得10a4＝12a3＋2a5,10a3q＝12a3＋2a3q2，得10q＝12＋2q2，解得q＝2或3.又a3－3a2＝2，所以有a2q－3a2＝2，所以有q＝2，故選C.123439/43答案解析押題依據本題在數列、方程、不等式交匯處命題，綜合考查學生應用數學能力，是高考命題方向.1234√押題依據40/43解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(不合題意，舍去)，123441/43押題依據先定義一個新數列，然后要求依據定義條件推斷這個新數列一些性質或者判斷一個數列是否屬于這類數列問題是近年來高考中逐步興起一類問題，這類問題普通形式新奇，難度不大，常給人耳目一新感覺.4.定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上函數f(x)，假如對于任意給定等比數列{an}，{f(an)}仍是等比數列，則稱f(x)為“保等比數列函數”.現有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上以下函數：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝