第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1/45第17課曲線切線2/45課前熱身3/45激活思維4/45－15/45ln2－16/454.(選修22P16習(xí)題3改編)若函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線斜率為________．【解析】因?yàn)榍€y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處切線方程為y＝2x＋1，所以g′(1)＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切線斜率為4.47/451.導(dǎo)數(shù)幾何意義導(dǎo)數(shù)f′(x0)幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線斜率，即k＝_______________，對應(yīng)地，切線方程為______________________．2.解與曲線切線相關(guān)問題普通步驟：第一步，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；第二步，計(jì)算切線斜率為____________；第三步，寫出切線方程___________________；第四步，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問題求解．知識梳理f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)k＝f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)8/45課堂導(dǎo)學(xué)9/45導(dǎo)數(shù)與曲線切線方程例110/45【解答】(1)因?yàn)閒′(x)＝x2，所以在點(diǎn)P(2，4)處切線斜率k＝f′(2)＝4，所以曲線在點(diǎn)P(2，4)處切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.11/4512/45【精關(guān)鍵點(diǎn)評】處理這類問題，一定要分清楚是“在某點(diǎn)”還是“過某點(diǎn)”處切線．在某點(diǎn)處切線比很好求，過某點(diǎn)處切線，普通要先設(shè)出切線坐標(biāo)，然后經(jīng)過解方程方法解出該切點(diǎn)坐標(biāo)，最終利用點(diǎn)斜式求出直線方程．13/45變式14/4515/4516/4517/45【精關(guān)鍵點(diǎn)評】(1)曲線在某點(diǎn)處切線斜率是該曲線對應(yīng)函數(shù)在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義．在此題中，點(diǎn)P湊巧在曲線S上，求過點(diǎn)P切線方程，卻并非說切點(diǎn)就是點(diǎn)P.(2)對于曲線切線問題，一定要注意題目所給條件；當(dāng)已知切點(diǎn)位置時(shí)，能夠直接求導(dǎo)數(shù)，然后將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，即能夠得到切線斜率；當(dāng)已知切線經(jīng)過某一個(gè)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該設(shè)出切點(diǎn)，求解出切線方程，再利用切線經(jīng)過切點(diǎn)求解．18/45導(dǎo)數(shù)幾何意義綜合應(yīng)用例219/4520/4521/45令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0，2x0)，22/4523/4524/451－e25/4526/4527/4528/4529/4530/4531/45令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x交點(diǎn)為(2x0－1，2x0－1)；直線x＝1與直線y＝x交點(diǎn)為(1，1)，32/45 已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處切線方程；(2)若直線l為曲線y＝f(x)切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；備用例題33/45【解答】(1)由函數(shù)f(x)解析式可知點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上，所以f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以在點(diǎn)(2，－6)處切線斜率為k＝f′(2)＝13，所以切線方程為y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.34/4535/4536/4537/45【精關(guān)鍵點(diǎn)評】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：(1)函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值是切線斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．(2)切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它公共點(diǎn)．38/45(3)曲線y＝f(x)“在”點(diǎn)P(x0，y0)處切線與“過”點(diǎn)P(x0，y0)切線區(qū)分：曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在時(shí)，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一一條切線；曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(x0，y0)切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P能夠是切點(diǎn)，也能夠不是切點(diǎn)，而且這么直線可能有多條．39/45課堂評價(jià)40/451.(·南通二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y＝lnx在x＝e(e為自然對數(shù)底數(shù))處切線與直線ax－y＋3＝0相互垂直，則實(shí)數(shù)a值為________．－e41/45－342/4543/454.若曲線f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y軸切線，則實(shí)數(shù)a取值范圍是__________．(－∞，0)44/455.已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，問：這兩條曲線是否存在一個(gè)公共點(diǎn)，使得在這一點(diǎn)處，兩條曲線切線相互垂直？并說明理由．【解答】設(shè)兩條曲線一個(gè)公共點(diǎn)為P(x0，y0)，則在點(diǎn)P處兩條曲線切線斜率分別為k1＝cosx0