第4節(jié)直線、平面平行判定及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和了解空間中線面平行相關性質(zhì)與判定定理；2.能利用公理、定理和已取得結(jié)論證實一些相關空間圖形平行關系簡單命題.1/391.直線與平面平行(1)直線與平面平行定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.知

識

梳

理2/39(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外________________________________平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線任一平面與此平面______與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b一條直線與此平面內(nèi)一條直線交線3/392.平面與平面平行(1)平面與平面平行定義沒有公共點兩個平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內(nèi)兩條________與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β相交直線4/39性質(zhì)定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)直線______于另一個平面α∥β，a?α?a∥β假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們_______平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b平行交線5/393.與垂直相關平行判定(1)a⊥α，b⊥α?________.(2)a⊥α，a⊥β?________.a∥bα∥β6/39[慣用結(jié)論與微點提醒]1.平行關系轉(zhuǎn)化2.平面與平面平行六個性質(zhì)(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面.(2)夾在兩個平行平面間平行線段長度相等.7/39(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得對應線段成百分比.(5)假如兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面相互平行.(6)假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)兩條直線，那么這兩個平面平行.8/39診斷自測1.思索辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(

)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a直線有沒有數(shù)條.(

)(3)假如一個平面內(nèi)兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

)(4)假如兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)兩條直線平行或異面.(

)9/39解析(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯誤.(2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a直線只有一條，故(2)錯誤.(3)假如一個平面內(nèi)兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√10/392.以下命題中，正確是(

) A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)任何直線平行 C.若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α解析依據(jù)線面平行判定與性質(zhì)定理知，選D.答案

D11/393.設α，β是兩個不一樣平面，m是直線且m?α.“m∥β”是“α∥β”(

) A.充分而無須要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也無須要條件解析當m∥β時，可能α∥β，也可能α與β相交.當α∥β時，由m?α可知，m∥β.∴“m∥β”是“α∥β”必要不充分條件.答案

B12/394.(必修2P56練習2改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1中點，則BD1與平面AEC位置關系為________.解析連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，O為BD中點，E為DD1中點，所以EO為△BDD1中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行13/395.用一個截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分別于E，F(xiàn)，G，H四點，已知A1A>A1C1，則截面形狀能夠是________(把你認為可能結(jié)果都填上).解析由題意知，當截面平行于側(cè)棱時所得截面為矩形，當截面與側(cè)棱不平行時，所得截面是梯形.答案矩形或梯形14/396.(·麗水月考)設α，β，γ為三個不一樣平面，a，b為直線. (1)若α∥γ，β∥γ，則α與β關系是________； (2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α與β關系是________.

解析

(1)由α∥γ，β∥γ?α∥β. (2)a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β.

答案

(1)平行(2)平行15/39考點一線面、面面平行相關命題真假判斷【例1】

(一題多解)(·全國Ⅰ卷)如圖，在以下四個正方體中，A，B為正方體兩個頂點，M，N，Q為所在棱中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行是(

)16/39解析

法一

對于選項B，如圖(1)所表示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項C，D中都有AB∥平面MNQ.所以A項不正確.圖(1)圖(2)17/39法二

對于選項A，其中O為BC中點(如圖(2)所表示)，連接OQ，則OQ∥AB，因為OQ與平面MNQ有交點，所以AB與平面MNQ有交點，即AB與平面MNQ不平行.A項不正確.答案

A18/39規(guī)律方法

(1)判斷與平行關系相關命題真假，必須熟悉線、面平行關系各個定義、定理，不論是單項選擇還是含選擇項填空題，都能夠從中先選出最熟悉最輕易判斷選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.(2)①結(jié)合題意結(jié)構(gòu)或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.②尤其注意定理所要求條件是否完備，圖形是否有特殊情況，經(jīng)過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.19/39【訓練1】

(·金華測試)設m，n是兩條不一樣直線，α，β，γ是三個不一樣平面，給出以下四個命題： ①若m?α，n∥α，則m∥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.

其中是真命題是________(填上正確命題序號).解析

①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤.答案

②20/39考點二直線與平面平行判定與性質(zhì)(多維探究)命題角度1直線與平面平行判定【例2－1】

(·全國Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC中點.(1)證實：MN∥平面PAB；(2)求四面體N－BCM體積.21/39又AD∥BC，故TN綉AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.22/3923/39命題角度2直線與平面平行性質(zhì)定理應用(1)證實：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH面積.24/39(1)證實因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，所以GH∥EF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA＝PC，O是AC中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.25/39因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD.所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH高.由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，26/39規(guī)律方法

(1)判斷或證實線面平行慣用方法有：①利用反證法(線面平行定義)；②利用線面平行判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；③利用面面平行性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；④利用面面平行性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行直線.常利用三角形中位線、平行四邊形對邊或過已知直線作一平面找其交線.27/39(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.28/3929/39(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD中點，∴FH∥PD，又PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE中點，H是CD中點，∴OH∥AD，又∵AD?平面PAD，OH?平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.30/39考點三面面平行判定與性質(zhì)(變式遷移)【例3】

(經(jīng)典母題)如圖所表示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.31/39證實

(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1中點，∴GH是△A1B1C1中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.32/39又G，E分別為A1B1，AB中點，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.33/39【變式遷移1】

如圖，在本例條件下，若點D為BC1中點，求證：HD∥平面A1B1BA.證實如圖所表示，連接A1B.∵D為BC1中點，H為A1C1中點，∴HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.34/39解連接A1B交AB1于O，連接OD1.35/39規(guī)律方法

(1)判定面面平行主要方法①利用面面平行判定定理.②線面垂直性質(zhì)(