專題16不等式選講11/29600分基礎(chǔ)考點(diǎn)&考法700分綜合考點(diǎn)&考法考點(diǎn)75證實(shí)不等式基本方法

考點(diǎn)74絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用綜合問(wèn)題19分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用

22/29600分基礎(chǔ)考點(diǎn)&考法考法1絕對(duì)值不等式解法考法2絕對(duì)值三角不等式應(yīng)用考點(diǎn)74絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用3/29考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用1．絕對(duì)值不等式解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|(a≠c)不等式，能夠利用兩邊平方方法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來(lái)求解．(2)絕對(duì)值不等式|x|<a與|x|>a解集．不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a??|x|>ax>a或x<－ax≠0R2．絕對(duì)值三角不等式4/291．絕對(duì)值不等式解法2．絕對(duì)值三角不等式考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用5/29考法1絕對(duì)值不等式解法(1)零點(diǎn)劃分區(qū)間法(慣用方法)：若不等式含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值而且含有未知數(shù)，通常先求出每個(gè)絕對(duì)值原數(shù)值等于零未知數(shù)值(即零點(diǎn))，然后將這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，此時(shí)數(shù)軸被零點(diǎn)分成了若干個(gè)區(qū)間．在每一個(gè)區(qū)間里，每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式有一個(gè)確定符號(hào)，此時(shí)利用絕對(duì)值定義能夠去掉絕對(duì)值符號(hào)．原不等式解集就是這若干個(gè)區(qū)間上不等式解集并集．

【注意】每個(gè)區(qū)間上解集應(yīng)該是該區(qū)間子集．普通地，n個(gè)零點(diǎn)把數(shù)軸分成n＋1段．(2)幾何法：利用絕對(duì)值幾何意義求解．

(3)數(shù)形結(jié)正當(dāng)：結(jié)構(gòu)函數(shù)y＝f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，利用函數(shù)圖象求解．考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用6/297考法1絕對(duì)值不等式解法考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用7/298考法1絕對(duì)值不等式解法考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用8/299考法1絕對(duì)值不等式解法[課標(biāo)全國(guó)Ⅰ·24，10分]已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.

(1)畫(huà)出y＝f(x)圖象；(2)求不等式|f(x)|＞1解集．

例1考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用9/29考法2絕對(duì)值三角不等式應(yīng)用

絕對(duì)值三角不等式定理慣用來(lái)處理與最值相關(guān)恒成立問(wèn)題．

不等式解集為R是指不等式恒成立問(wèn)題，而解集為?不等式對(duì)立面也是不等式恒成立問(wèn)題(如f(x)>m解集是?，則f(x)≤m恒成立)，這兩類問(wèn)題都能夠轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即f(x)<a恒成立?

a>f(x)max，

f(x)>a恒成立?a<f(x)min.【解析】將上述不等式轉(zhuǎn)化為|x－2|－|x－5|>a，只需要求|x－2|－|x－5|最小值，利用絕對(duì)值三角不等式即可求得．∵||x－2|－|x－5||≤|(x－2)－(x－5)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)(x－2)(x－5)≥0時(shí)等號(hào)成立，∴－3≤|x－2|－|x－5|≤3.∵|x－2|－|x－5|>a解集為R，∴a<－3.已知關(guān)于x不等式|x－2|－|x－5|－a>0解集為R，則實(shí)數(shù)a取值范圍是

．考法例【點(diǎn)撥】絕對(duì)值三角不等式在處理形如|x－a|＋|x－b|或|x－a|－|x－b|最值問(wèn)題(恒成立問(wèn)題)時(shí)非常方便．(－∞，－3)考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用10/29考法2絕對(duì)值三角不等式應(yīng)用[課標(biāo)全國(guó)Ⅲ·24，10分]已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求a取值范圍．【解】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.所以f(x)≤6解集為{x|－1≤x≤3}．(2)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，當(dāng)x＝1/2(1)時(shí)等號(hào)成立，

【點(diǎn)撥】對(duì)于絕對(duì)值三角不等式，易忽略等號(hào)成立條件．對(duì)|a＋b|≥|a|－|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab<0且|a|>|b|時(shí)，等號(hào)成立，對(duì)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)|a|≥|b|且ab≥0時(shí)左邊等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)右邊等號(hào)成立．例2所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3等價(jià)于|1－a|＋a≥3.①當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1－a＋a≥3，無(wú)解．當(dāng)a>1時(shí)，①等價(jià)于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a取值范圍是[2，＋∞)．考點(diǎn)77絕對(duì)值不等式解法及其應(yīng)用11/29600分基礎(chǔ)考點(diǎn)&考法考法3基本不等式及其應(yīng)用考法4柯西不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)75證實(shí)不等式基本方法

1212/29考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法1．基本不等式13/292．柯西不等式

(1)二維形式柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立．

(2)柯西不等式向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)α是零向量或β是零向量或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．(3)二維形式三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么(4)普通形式柯西不等式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)ai＝0或bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個(gè)常數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法14/293．證實(shí)不等式基本方法(1)比較法；(2)綜正當(dāng)與分析法；(3)反證法和放縮法；(4)數(shù)學(xué)歸納法．證實(shí)不等式方法和技巧：(1)假如已知條件與待證實(shí)結(jié)論直接聯(lián)絡(luò)不顯著，可考慮用分析法；假如待證實(shí)命題以“最少”“至多”等方式給出或?yàn)榉穸ㄐ悦}、唯一性命題，則考慮用反證法；假如待證不等式與自然數(shù)相關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等．(2)在必要情況下，可能還需要使用換元法、結(jié)構(gòu)法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題表述和證實(shí)．尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式求解或證實(shí)，其簡(jiǎn)化基本思緒是去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)不等式(組)求解．多以絕對(duì)值幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐一解、并起來(lái)”為簡(jiǎn)化策略．絕對(duì)值三角不等式，則往往作為不等式放縮依據(jù)．考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法15/29合理“拆、拼、湊”，得滿足“正、定、等”三條件式子拆湊成能利用定理形式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最大值或最小值【說(shuō)明】在使用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立條件是一直要注意事情，尤其是連續(xù)使用時(shí)，要求分析每次使用時(shí)等號(hào)是否成立．考法3基本不等式及其應(yīng)用常考方式:1．利用算術(shù)平均—幾何平均定理求代數(shù)式最值2．已知不等式對(duì)變量在某個(gè)范圍內(nèi)恒成立，求不等式中參數(shù)最值3．證實(shí)不等式考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法16/299考法3基本不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法17/29考法3基本不等式及其應(yīng)用(2)【證實(shí)】由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1＜a＜1，－1＜b＜1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)·(1－b2)＜0.所以|a＋b|＜|1＋ab|.考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法18/29考法3基本不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法19/29考法3基本不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法20/29考法4柯西不等式及其應(yīng)用1．慣用放縮法慣用放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)，利用分式性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)、不等式性質(zhì)等．其理論依據(jù)是不等式傳遞性，使用此方法時(shí)，要注意把握放大或縮小度．2．常見(jiàn)放縮技巧考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法21/29考法4柯西不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)78證實(shí)不等式基本方法22/29

700分綜合考點(diǎn)&考法綜合點(diǎn)1分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用綜合問(wèn)題19分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用

23/29綜合點(diǎn)1分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用綜合問(wèn)題19分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用含參不等式中，除主變?cè)膺€有其它參數(shù)變量．對(duì)于含參絕對(duì)值不等式問(wèn)題，求解方法主要是分類討論法．有時(shí)也可利用數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考查兩圖象之間關(guān)系．對(duì)于形如不等式(其中x是主變?cè)琣是參數(shù))：1．利用分類討論法求解集詳細(xì)思緒2．利用數(shù)形結(jié)正當(dāng)求解問(wèn)題詳細(xì)思緒24/29綜合點(diǎn)1分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用1．利用分類討論法求解集詳細(xì)思緒(1)確定關(guān)于x函數(shù)f(x，a)，g(x，a)零點(diǎn)是否存在．(2)若不存在，依據(jù)函數(shù)值符號(hào)去掉絕對(duì)值；若存在，用參數(shù)a表示出來(lái)．(3)討論函數(shù)f(x，a)，g(x，a)零點(diǎn)大小，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為不一樣區(qū)間上普通不等式．(4)依據(jù)已知條件確定普通不等式解集，進(jìn)而求解原不等式．

【注意】對(duì)于含參不等式，假如轉(zhuǎn)化不等式形式或所求不等式解集與參數(shù)取值范圍相關(guān)時(shí)，就必須分類討論．需要注意是①要考慮參數(shù)總?cè)≈捣秶虎谟猛粯?biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分．綜合問(wèn)題19分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用25/29綜合點(diǎn)1分類討論、數(shù)形結(jié)合在含參絕對(duì)值不等式中應(yīng)用2．利用數(shù)形結(jié)正當(dāng)求解問(wèn)題詳細(xì)思緒(1)設(shè)

．(2)確定關(guān)于x函數(shù)f(x，a)，g(x，a)零點(diǎn)是否存在．(3)若不存在，依據(jù)函數(shù)值符號(hào)去掉絕對(duì)值；若存在，